安徽省合肥市重点中学2022-2023学年高二上学期9月入学考试数学试题（含答案）

合肥市重点中学2022-2023学年高二上学期9月入学考试
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．若, 则“”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．按从小到大顺序排列的 9 个数据: 10,16,25,33,39,43, m, 65,70, 若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73 , 则等于（ ）
A．40 B．45 C．48 D．62
3．设是两条不同的直线,是两个不同的平面, 则下列命题正确的是（ ）
A．若, 则 B．若, 则
C．若, 则 D．若, 则
4．已知长方体的表面积是, 过同一个顶点的三条棱长之和是, 则它的体对角线长是（ ）
A． B． C． D．
5．三棱锥中,是棱的中点, 若, 则值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．
6．锐角的三个内角所对的边分别是, 某数学兴趣小组探究该三角形时, 提出以下四个论断: 甲:; 乙:; 丙:; 丁:．若上述四个论断中有且只有一个是正确的, 则正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．如图, 在平面四边形中,, 则向量在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线, 且满足．若, 当时, 总有, 则满足的实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分）
9．表示空气质量指数,的数值越小, 表明空气质量越好.当的数值不大于100 时称 空气质量为“优良”,大于100时称空气质量为“污染”, 某地2022 年8月1日到 20 日数值的统计数据的折线图如下, 则下列说法正确的是（ ）
A．这 20 天中,有 10 天空气质量为“优良”, 上旬的空气质量比中旬的好
B．这 20 天中,空气质量最好的是 8 月 15 日, 最差的是 8 月 19 日
C．这 20 天的数值的中位数大于 100
D．这 20 天的数值中,上旬数值的方差小于中旬数值的方差
10．设复数（为虚数单位）, 是的共轭复数, 则下列说法正确的是（ ）
A．若, 则 B．若, 则
C． D．
11．半正多面体亦称“阿基米德多面体”, 是由边数不全相同的正多边形围成的多面体, 体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体, 是由正方体切截而成的, 它由八个正三角形和六个正方形围成 （如图所示）, 若它所有棱的长都为2, 则（ ）
A．平面 B．该二十四等边体的体积为
C．与的夹角为 D．该二十四等边体的外接球的表面积为
12．在中,是的中点, 则下列说法正确的是（ ）
A．若, 点在线段的延长线上, 则
B．若是的中点,与相交于点, 则
C．若点在线段上, 则的值可以是
D．若是线段上一动点, 则为定值
三、填空题（本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分）
13．已知函数和函数的图像相交于三点, 则的面积为_____.
14．若实数满足, 则的最小值是_____.
15．定义:两个向量的叉乘的模为表示向量与的夹角．在正中, 若,则_____.
16．在空间四边形中,, 二面角的平面角为为的中点, 则与所成的角为_____．若点为的重心, 则_____.
四、解答题 （本大题共 5 小题,, 共 44 分）
17．（1） 定理证明: 请用向量方法证明余弦定理;
（2） 定理应用:如图,在平面四边形中,,求的长.
18．如图所示, 在平行四边形中,, 沿着它的对角线将折起, 使与成角, 求此时、间的距离.
19．乒乓球比赛规定, 一局比赛, 双方比分在 10 平前, 一方连续发球两次后, 对方再连续发球两次, 依次轮换, 每次发球, 胜方得 1 分, 负方得 0 分．设在甲、乙的比赛中, 每次发球, 发球方得 1 分的概率为0.6, 各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中, 甲先发球.
（1）求开始第四次发球时, 甲、乙的比分为 1 比 2 的概率;
（2）求开始第五次发球时, 甲得分始终领先的概率.
20．如图, 在四棱锥中, 平面平面是等边三角形, 已知 .
（1） 设是上的一点, 求证: 平面平面;
（2） 求四棱锥的体积.
21．定义:若对定义域内任意,都有（为正常数）,则称函数为“距”增函数.
（1） 若, 试判断是否为 “ 1 距” 增函数, 并说明理由;
（2）若是“距”增函数, 求的取值范围;
（3）若, 其中,且为“ 2 距”增函数, 求的最小值.
合肥市重点中学2022-2023学年高二上学期9月入学考试
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1 2 3 4 5 6 7 8
A C C D A C B A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11 12 13 14
ACD ABC BD ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13． 14． 15． 16．；
四、解答题（本大题共5小题，8+8+8+8+12，共44分）
17．解：（1）证明：设，
由三角形法则有，所以，
所以，
即．
（2）因为，所以，
因为，由余弦定理得，
所以，由正弦定理，得．
18．解：在平行四边形中，因为，所以，同理可得，
在空间四边形中，因为与成角，所以或，
又，
所以
所以当时，，此时B，D两点间的距离为2；
当时，，此时B，D两点间的距离为．
19．解：（1）记“第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，”为事件；
“第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，”为事件；
“第3次发球，甲得1分”为事件A；
“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为事件B．
，
，
；
（2）记“开始第5次发球时，甲得分领先”为事件C，
，
，
．
20．解：（1）取的中点E，连接，因为是等边三角形，所以．
因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
又平面，所以，在中，，
所以，由勾股定理的逆定理知，，又，
所以平面，因为平面，所以平面平面．
（2）过点D作交于点F，
在中，，所以，
因为，所以梯形的面积是，因为是等边三角形，且边长为4，所以，因为平面，所以是四棱锥的高，
所以四棱锥的体积．
21．解析：（1）任意，
因为，所以，所以，即是“1距”增函数；
（2），因为是“a距”增函数，所以恒成立，因为，所以在R上恒成立，
所以，解得；
（3）因为，且为“2距”增函数，
所以恒成立，即时，恒成立，
所以，当时，，即恒成立，所以，得；
当时，，得恒成立，
所以，得，
综上可得，，
又，因为，所以，
当时，若取最小值为0；
当时，若取最小值，
因为在R上是单调递增函数，
所以当的最小值为1；当时，的最小值为，
即．