2022—2023学年度北师大版九年级数学上册3.1.3用概率判断游戏规则的公平性同步精练 （含答案）

用概率判断游戏规则的公平性
同步精练
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：抛出两个正面——小明赢1分；抛出其他结果——小刚赢1分；谁先得到10分，谁就获胜．这是个不公平的游戏规则，要把它修改成公平的游戏，下列做法中错误的是( )
A．把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”
B．把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”
C．把“小明赢1分”改为“小明赢3分”
D．把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”
2. 甲、乙两人投掷两个普通的正方体骰子，规定掷出“和为7”算甲赢，掷出“和为8”算乙赢，这个游戏是否公平？( )
A．公平 B．对甲有利
C．对乙有利 D．不能判断
3. 在不透明塑料袋里装有一个白色的乒乓球和两个黄色的乒乓球．小明一次从袋里摸出两个球；小刚左手从袋里摸出一个球，然后右手从袋里摸出一个球；小华则先从袋里摸出一个球看一下颜色，又放回袋里，再从袋里摸出一个球．摸出的两个球都是黄色的获胜．你认为这个游戏(　　)
A．不公平，对小明有利 B．公平
C．不公平，对小刚有利 D．不公平，对小华有利
4. 小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么小李获胜的概率为( )
A． B． C． D．
5. 小明和小亮做游戏，先各自在纸上写出一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏(　　)
A．对小明有利 B．对小亮有利
C．公平 D．无法确定对谁有利
6. 甲、乙两人轮流报数，规定第一个人先说“1”或“1，2”，第二个人要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数．这样两人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但是不可以连说三个数，谁先抢到20，谁就得胜，那么这个游戏(　　)
A．是公平的 B．不公平，偏向先报数者
C．不公平，偏向后报数者 D．无法确定
7. 小明和小亮玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．获胜概率大的是(　　)
A．小明 B．小亮 C．两人一样 D．无法确定
8. 某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是( )
A．3 B．4 C．1 D．2
9. A，B两组卡片共5张，A组三张卡片分别写有数字2，4，6，B组两张卡片分别写有数字3，5.这5张卡片除了数字不同外其余均相同．随机地分别从A，B两组卡片中各抽取一张，若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这个游戏规则对甲、乙双方(　　)
A. 不公平，对甲有利
B. 不公平，对乙有利
C. 是公平的
D. 无法确定
10. 在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的四个小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．则这个游戏(　　)
A. 对双方是公平的
B. 不公平，对小明有利
C. 不公平，对小东有利
D. 无法计算
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷， 要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质地、大小均相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座．则该办法________(填“公平”或“不公平”).
12. 小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”小红赢的概率是____，据此判断该游戏________(填“公平”或“不公平”).
13. 把五张大小相同且分别写有1，2，3，4，5的卡片放在一个暗箱中，由甲随机从里面无放回地抽取两张，并记下两个数字之和，若两数字之和为偶数，则甲胜；若两数字之和为奇数，则乙胜．甲、乙获胜的概率分别为________．
14.如图，有四张背面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是_________.
15. 为践行青岛市中小学“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏_________．(填“公平”或“不公平”).
16. 有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转)，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏_________.
三．解答题（共6小题， 56分）
17．(6分) 甲、乙两人用2张红心扑克牌和1张黑桃扑克牌做游戏，规则是：甲、乙各抽取一张，若两张牌是同一花色，则甲胜；若两张牌花色不同，则乙胜．这个游戏公平吗？
18．(8分) 现有A，B两个不透明的袋子，A袋的4个小球分别标有数字1，2，3，4；B袋的3个小球分别标有数字1，2，3.(每个袋中的小球除数字外，其他完全相同)
(1)从A，B两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上数字相同的概率是________；
(2)甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球，若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数，则甲胜；否则乙胜，用列表或画树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平．
19．(8分) 一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球、2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．
(1)请用列表格或画树状图的方法列出所有可能结果．
(2)若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球的颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
20．(10分) 在植树节期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去．
(1)用树状图或列表法求出小王去的概率；
(2)小李说：“这种规则不公平．”你认同他的说法吗？请说明理由．
21．(12分) 如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A.
(1)丫丫随机掷一次骰子，求她跳跃后落回到圈A的概率；
(2)丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．
22．(12分) 小敏的爸爸买了一张某项体育比赛的门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，他拿了八张扑克牌，将数字分别为2，3，5，9的四张牌给了小敏，将数字分别为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下规则做游戏：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌的数字相加，若和为偶数，则小敏去；若和为奇数，则哥哥去．
(1)请用画树状图或列表的方法求小敏去看比赛的概率．
(2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
参考答案
1-5DBDAC 6-10BBDAC
11. 不公平
12. ，不公平
13. ，
14.
15. 不公平
16. 公平
17. 解：不公平。
列表如下：
甲　乙 红1 红2 黑
红1 红1，红1 红1，红2 红1，黑
红2 红2，红1 红2，红2 红2，黑
黑 黑，红1 黑，红2 黑，黑
共有9种等可能的情况，两张牌是同一花色的有5种情况，两张牌花色不同的有4种情况，∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， >，故甲获胜的概率大，即游戏不公平．
18. 解：(1)
(2)画树状图如图：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中两人摸到小球的数字之和为奇数的有6种，两人摸到小球的数字之和为偶数的也有6种，∴P(甲获胜)＝P(乙获胜)＝，∴这个规则对甲、乙两人是公平的．
19. 解：(1)所有可能结果如下表：
红1 红2 白1 白2
红1 (红2，红1) (白1，红1) (白2，红1)
红2 (红1，红2) (白1，红2) (白2，红2)
白1 (红1，白1) (红2，白1) (白2，白1)
白2 (红1，白2) (红2，白2) (白1，白2)
(1)不公平．理由如下：由(1)知共有12种等可能的结果，其中摸到两个小球的颜色相同的有4种，摸到两个小球的颜色不同的有8种，∴甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝.∴这个游戏对甲、乙双方不公平．
20. 解：(1)画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，∴P(小王去)＝.
(2)认同．理由如下：∵P(小王去)＝，P(小李去)＝，≠，∴这种规则不公平．
21. 解：(1)丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率＝
(2)这个游戏规则不公平．理由如下：画树状图为：
由树状图可知共有16种等可能的结果，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数为5，所以甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率＝，因为＜，所以这个游戏规则不公平
22. 解：(1)根据题意，可以画出如下树状图：
或者，根据题意也可以列出下表：
　 小敏 哥哥　 2 3 5 9
4 (4，2) (4，3) (4，5) (4，9)
6 (6，2) (6，3) (6，5) (6，9)
7 (7，2) (7，3) (7，5) (7，9)
8 (8，2) (8，3) (8，5) (8，9)
从树状图(或表格)可以看出，所有可能出现的结果共有16个，这些结果出现的可能性相等．而和为偶数的结果共有6个，所以小敏去看比赛的概率为＝.
(2)由(1)知小敏去看比赛的概率为，哥哥去看比赛的概率为1－＝.因为＜，所以哥哥设计的游戏规则不公平．
公平的游戏规则如下：若数字之和小于或等于10，则小敏(哥哥)去，若数字之和大于或等于11，则哥哥(小敏)去，这样两人去看比赛的概率都为，那么游戏规则就是公平的．或者：如果将八张牌中的2，3，4，5四张牌给小敏，而余下的6，7，8，9四张牌给哥哥，则和为偶数或奇数的概率都为，那么游戏规则也是公平的．(只要满足两人手中数字为偶数或奇数的牌的张数相等即可)