第四讲-函数的概念及三要素
知识点一、函数的概念及区间
1、函数的定义：
设,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：→为从集合到集合的一个函数，记作，.
2、函数的定义域与值域：
函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．
3、相同函数：①定义域；②对应法则；③值域
4、函数表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
（4）分段函数:若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
5、区间概念(为实数，且)
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
注：集合与区间
定义
符号
考点一、函数的概念
【典型例题】
1、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2、设函数若，则实数的值为 .
【答案】
3、设函数若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】
由题意或，解得，当或，解得，或，故．
【变式练习】
1、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
2、设定义域为的函数，且，则的值所组成的集合是 .
【答案】
设函数,若,则实数的取值范围是 .
【答案】
知识点二、函数的定义域有关问题
1、求函数定义域的一般原则：
①如果为整式，其定义域为实数集
②如果为分式，其定义域是使分母不为的实数集合
③如果是二次根式（偶次根式），其定义域使根号内的式子大于等于的实数集合
④如果是由以上几部分构成，其定义域使使各部分式子都有意义的实数集合
⑤的定义域是
2、复合函数的定义域的求法
① 已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围
②已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围
考点二、求函数定义域
【典型例题】
1、函数的定义域为 ．
【答案】
2、函数定义域为，则实数的范围是 ．
【答案】
3、已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4、已知函数的定义域为，则的定义域为__________.
【答案】
5、已知的定义域是，求的定义域．
【答案】
【变式练习】
1、函数的定义域为 ．
【答案】
2、若函数的定义域是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
3、若函数的定义域是，则函数的定义域是 ．
【答案】
4、已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.
【答案】
5、已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】
知识点三、求函数解析式
1、代入法：已知的解析式，要求，将解析式两边的用代替
2、待定系数法：已知函数的类型，可根据类型设出解析式，再确定系数即可
3、配凑法：已知的解析式，要求.第一从的解析式中拼凑出，即用来表示，第二是将解析式两边的用代替
4、换元法：令（注意的取值范围），再求的解析式，然后再用代替即可
5、方程组法： 已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的，得到关于及的方程组，解之即可
考点三、求函数解析式
【典型例题】
1、已知是二次函数，且，求.
【答案】
2、已知，则 ．
【答案】
3、若，求.
【答案】
4、已知，求.
【答案】
【变式练习】
1、求下列函数的解析式：
已知是一次函数，且，求.
【答案】或
（2）已知，则 ．
【答案】
（3）若，求
【答案】
（4）已知，求
【答案】
考点四、求函数值域
【典型例题】
1、画出函数图像，并求出函数的值域（用区间表示）.
【答案】
2、（1）函数的值域为 ．
（2）
【答案】（1）；（2）
3、求函数，的值域.
【答案】
【变式练习】
1、画出函数图像，并求出函数的值域（用区间表示）.
【答案】
2、求下列函数的值域：
（1） （2）
【答案】 【答案】
3、求函数的值域.
【答案】
考点五、已知值域求参
【典型例题】
1、已知函数的值域为，则实数的取值范围是__________.
【答案】
2、已知函数在的值域为，则的取值范围__________.
【答案】
【变式练习】
1、若函数的值域为，则的取值范围是 ．
【答案】
2、已知函数若定义域和值域均为，则实数的值是 .
【答案】
【模拟训练】
1、下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
2、已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3、已知函数的定义域为R，则的取值范围是 ．
【答案】
4、设函数，若，则实数的值为__________；
若，则实数的取值范围为__________.
【答案】 ；
5、求函数的定义域.
【答案】
6、求下列函数的解析式：
（1）已知，则 ．
【答案】
（2）若函数满足，求的解析式.
【答案】
（3）已知，求.
【答案】
（4）已知一次函数，求．
【答案】或
7、函数的值域为 ．
【答案】
8、已知实数,函数,若,则实数的值为_________.
【答案】
9、已知函数的值域为，且关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
【答案】1
10、已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】第四讲-函数的概念及三要素
知识点一、函数的概念及区间
1、函数的定义：
设,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：→为从集合到集合的一个函数，记作，.
2、函数的定义域与值域：
函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．
3、相同函数：①定义域；②对应法则；③值域
4、函数表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
（4）分段函数:若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
5、区间概念(为实数，且)
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
注：集合与区间
定义
符号
考点一、函数的概念
【典型例题】
1、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2、设函数若，则实数的值为 .
3、设函数若，则实数的取值范围是 .
【变式练习】
1、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2、设定义域为的函数，且，则的值所组成的集合是 .
设函数,若,则实数的取值范围是 .
知识点二、函数的定义域有关问题
1、求函数定义域的一般原则：
①如果为整式，其定义域为实数集
②如果为分式，其定义域是使分母不为的实数集合
③如果是二次根式（偶次根式），其定义域使根号内的式子大于等于的实数集合
④如果是由以上几部分构成，其定义域使使各部分式子都有意义的实数集合
⑤的定义域是
2、复合函数的定义域的求法
① 已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围
②已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围
考点二、求函数定义域
【典型例题】
1、函数的定义域为 ．
2、函数定义域为，则实数的范围是 ．
3、已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4、已知函数的定义域为，则的定义域为__________.
5、已知的定义域是，求的定义域．
【变式练习】
1、函数的定义域为 ．
2、若函数的定义域是，则实数的取值范围是 ．
3、若函数的定义域是，则函数的定义域是 ．
4、已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.
5、已知函数的定义域为，求函数的定义域．
知识点三、求函数解析式
1、代入法：已知的解析式，要求，将解析式两边的用代替
2、待定系数法：已知函数的类型，可根据类型设出解析式，再确定系数即可
3、配凑法：已知的解析式，要求.第一从的解析式中拼凑出，即用来表示，第二是将解析式两边的用代替
4、换元法：令（注意的取值范围），再求的解析式，然后再用代替即可
5、方程组法： 已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的，得到关于及的方程组，解之即可
考点三、求函数解析式
【典型例题】
1、已知是二次函数，且，求.
2、已知，则 ．
3、若，求.
4、已知，求.
【变式练习】
1、求下列函数的解析式：
已知是一次函数，且，求.
（2）已知，则 ．
（3）若，求
（4）已知，求
考点四、求函数值域
【典型例题】
1、画出函数图像，并求出函数的值域（用区间表示）.
2、（1）函数的值域为 ．
（2）
3、求函数，的值域.
【变式练习】
1、画出函数图像，并求出函数的值域（用区间表示）.
2、求下列函数的值域：
（1） （2）
3、求函数的值域.
考点五、已知值域求参
【典型例题】
1、已知函数的值域为，则实数的取值范围是__________.
2、已知函数在的值域为，则的取值范围__________.
【变式练习】
1、若函数的值域为，则的取值范围是 ．
2、已知函数若定义域和值域均为，则实数的值是 .
【模拟训练】
1、下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
2、已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3、已知函数的定义域为R，则的取值范围是 ．
4、设函数，若，则实数的值为__________；
若，则实数的取值范围为__________.
5、求函数的定义域.
6、求下列函数的解析式：
（1）已知，则 ．
（2）若函数满足，求的解析式.
（3）已知，求.
（4）已知一次函数，求．
7、函数的值域为 ．
8、已知实数,函数,若,则实数的值为_________.
9、已知函数的值域为，且关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
10、已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
