2022-2023学年北师大版八年级数学上册2.7二次根式 同步自主达标测试题（含答案）

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《2.7二次根式》同步自主达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．式子中x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥﹣2 C．x＜2 D．x≤﹣2
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．若二次根式与可以合并，则a＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
4．计算2×3的结果是（　　）
A．5 B．5 C．6 D．6
5．下列计算正确的是（　　）
A．2+＝2 B．﹣＝
C．3﹣＝3 D．＝﹣＝3﹣2＝1
6．若，则（x+y）2022等于（　　）
A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1
7．已知a满足|2020﹣a|+＝a，则a﹣20202＝（　　）
A．0 B．1 C．2021 D．2020
8．对于正数x，规定f（x）＝，例如：f（4）＝，，现有以下结论：
①
②f（x）+＝3，则x＝
③f（6）﹣f（5）+f（4）﹣f（3）+f（2）﹣f（1）+
④对于任意的正数a，b，f（a）+f（b）＝1，则ab＝1
⑤f（2022）+f（2021）+ +f（2）+f（1）+
⑥a＝，b＝，记S1＝f（a）+f（b），S2＝f（a2）+f（b2），…，S10＝f（a10）+f（b10），…，S1+S2+ +S2022＝2022
以上结论正确的是（　　）
A．①②③⑤ B．①③④⑥ C．①③⑤⑥ D．②③④⑤
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．化简：＝　 　；＝　 　．
10．当时，代数式a2﹣2a+2的值是 　 　．
11．若a、b、c是三角形的三边长，化简|a﹣b﹣c|+﹣2|c+b﹣a|＝　 　．
12．与的关系是　 　．
13．已知实数m、n在数轴上的对应点如图所示，化简＝　 　．
14．观察下列各式：；；；…
则依次第四个式子是　 　；用n（n≥2）的等式表达你所观察得到的规律应是　 　．
15．计算：＝　 　．
16．计算：＝　 　；的结果是　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．（1）已知a+3与2a﹣15是一个正数的平方根，求a的值；
（2）已知x，y为实数，且y＝﹣+4，求的值．
18．计算：
（1）（﹣+）×（﹣）；
（2）（5+2）×（5﹣2）﹣（2+1）2．
19．已知：x＝﹣2，y＝+2，求：
（1）x2﹣2xy+y2；
（2）x2﹣y2的值．
20．像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请回答下列问题：
（1）化简：①＝　 　，
②＝　 　；
（2）计算：
①＝　 　；
②若，，则＝　 　；
（3）已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
21．小明在解决问题，已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝2﹣．
∴a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题：
（1）分母有理化：＝　 　；
（2）计算：+++…+；
（3）若a＝，求3a2﹣12a+6的值．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵x+2≥0，
∴x≥﹣2．
故选：B．
2．解：A选项，是最简二次根式，符合题意；
B选项，＝2，不符合题意；
C选项，＝，不符合题意；
D选项，＝，不符合题意；
故选：A．
3．解：∵二次根式与可以合并，
∴1﹣a＝3a+2，
∴a＝﹣．
故选：A．
4．解：2×3＝＝6．
故选：D．
5．解：A、2与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
6．解：∵，
∴x﹣2≥0，4﹣2x≥0．
∴x≥2，x≤2．
∴x＝2．
∴＝0+0﹣3＝﹣3．
∴（x+y）2022＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1．
故选：A．
7．解：由题意得：
a﹣2021≥0，
∴a≥2021，
∴|2020﹣a|＝a﹣2020，
∵|2020﹣a|+＝a，
∴a﹣2020+＝a，
∴＝2020，
∴a﹣2021＝20202，
∴a﹣20202＝2021，
故选：C．
8．解：由正数x，规定f（x）＝可知，
①f（2022）＝＝，f（）＝＝，
∴f（2022）+f（）＝+＝1，
因此①正确，符合题意；
②同理当f（x）+＝3时，即+1+x＝3，
解得x＝，x＝＜0（舍去），
因此②不正确，不符合题意；
③f（6）﹣f（5）+f（4）﹣f（3）+f（2）﹣f（1）+f（）﹣f（）+f（）﹣f（）+f（）
＝﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+
＝1﹣1+1﹣1+1﹣1﹣
＝，
因此③正确，符合题意；
④当f（a）+f（b）＝1，即+＝1，
∴1+b+1+a＝（1+a）（1+b），
∴1+b+1+a＝1+a+b+ab，
即ab＝1，
因此④正确，符合题意；
⑤f（2022）+f（2021）+ +f（2）+f（1）+f（）+…+﹣f（）+f（）
＝++…++++…++
＝（+）+（+）+…+（+）+
＝1+1+…+1+
＝2021，
因此⑤不正确，不符合题意；
⑥由新定义的运算可知，
当a＝，b＝时，a2＝，b2＝；a3＝﹣2，b3＝+2；
S1＝f（a）+f（b）
＝+
＝+
＝1，
S2＝f（a2）+f（b2）
＝+
＝+
＝1，
于是S3＝S4＝S5＝…＝S2022＝1，
∴S1+S2+ +S2022＝2022，
因此⑥正确，
综上所述，正确的有①③④⑥，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：＝；
＝＝＝3×8＝24；
故答案为：，24．
10．解：，
∴a﹣1＝，
∴a2﹣2a+2
＝（a﹣1）2+1
＝（）2+1
＝2021+1
＝2022，
故答案为：2022．
11．解：由题意可知：b+c＞a，a+c＞b，c+b＞a，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0，
∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）+|b﹣a﹣c|﹣2（c+b﹣a）
＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣2（c+b﹣a）
＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣2c﹣2b+2a
＝2a﹣2b，
故答案为：2a﹣2b．
12．解：∵＝，
∴的关系是相等．
13．解：由实数m、n在数轴上的对应点位置可知，
m＜0，m+n＜0，n﹣m＞0，
所以
＝﹣m﹣（n﹣m）+（m+n）
＝﹣m﹣n+m+m+n
＝m，
故答案为：m．
14．解：第四个式子是5×＝；用n（n≥2）的等式表达你所观察得到的规律应是n×＝．
故答案为：n×＝．
15．解：
＝6÷3×
＝2×
＝．
故答案为：．
16．解：＝5﹣6＝﹣1；
＝＝＝2+．
故答案为﹣1； ．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：（1）根据平方根的性质得，
a+3+2a﹣15＝0或a+3＝2a﹣15
解得：a＝4或a＝18，
答：a的值为4或18；
（2）满足二次根式与有意义，则
，
解得：x＝9，
∴y＝4，
∴＝+＝5．
18．解：（1）（）×）
＝（）×（﹣）
＝（9）×（﹣）
＝9
＝﹣27+10；
（2）（5+）×（5﹣2）﹣（2+1）2
＝25﹣12﹣（28+4+1）
＝25﹣12﹣28﹣4﹣1
＝﹣16﹣4．
19．解：（1）原式＝（x﹣y）2，
当x＝﹣2，y＝+2时，x﹣y＝﹣4，
∴原式＝16；
（2）原式＝（x﹣y）（x+y），
当x＝﹣2，y＝+2时，x+y＝2，
∴原式＝﹣4×2
＝﹣8．
20．解：（1）①＝＝；
②＝＝，
故答案为：①；②；
（2）①原式＝（﹣1+﹣+…+﹣）（+1）
＝（﹣1）（+1）
＝2021﹣1
＝2020；
②x＝＝＝5+2，y＝5﹣2，
∴xy＝（5+2）（5﹣2）＝1，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝100﹣2＝98，
∴+＝＝98，
故答案为：①2020；②98；
（3）a＞b＞c，
理由如下：＝＝+，＝+，＝+，
则＜＜，
∴a＞b＞c．
21．解：（1）＝＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1；
（3）∵a＝＝＝﹣2，
∴a﹣2＝，
∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5，
∴a2﹣4a＝1，
∴3a2﹣12a+6＝3（a2﹣4a）+6＝9．