2022-2023学年人教版九年级数学上册阶段性 第21章—第24章 综合练习题（含答案）

2022-2023学年人教版九年级数学上册阶段性（第21章—第24章）综合练习题（附答案）
一、选择题
1．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若⊙O的半径为5cm，OA＝4cm，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．内含
3．如果﹣1是方程2x2﹣x+m＝0的一个根，则m值（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
4．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（　　）
A．35° B．55° C．65° D．70°
5．在一个不透明的口袋中装有5个白球，若干个黑球，它们除颜色外其它完全相同，已知摸到白球概率为0.2，则袋子中黑球有多少个？（　　）
A．15 B．10 C．5 D．20
6．将抛物线y＝（x﹣1）2+2先向右平移3个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x+2）2+7 D．y＝（x+2）2﹣3
7．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2016年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2018年销量为125.6万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．50.7（1+x）2＝125.6 B．125.6（1﹣x）2＝50.7
C．50.7（1+2x）＝125.6 D．50.7（1+x2）＝125.6
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，PB＝2，则⊙O直径（　　）
A．10 B．8 C．5 D．3
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②当x＝﹣1时，函数有最大值；③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3；④4a+2b+c＞0；⑤2a﹣b＝0；其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．一个盒子内装有大小、形状相同的6个球，其中红球3个、绿球1个、白球2个，任意摸出一个球，则摸到白球的概率是 　 　．
12．已知圆锥的底面直径为4cm，母线长为6cm，则此圆锥的侧面积为　 　．
13．若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围 　 　．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则△ABC的外接圆半径是 　 　．
15．如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上．已知∠C＝80°，则∠EAB＝　 　°．
16．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，边长AB＝2，则正六边形的面积是 　 　．
17．如图，点C在以O为圆心的半圆内一点，直径AB＝4，∠BCO＝90°，∠OBC＝30°，将△BOC绕圆心逆时针旋转到使点C的对应点C′在半径OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）面积为 　 　.（结果保留π）
三、解答题
18．解一元二次方程：x2﹣2x＝9．
19．如图所示，有一建筑工地从10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求水流落地点B离墙的距离OB．
20．已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝　 　．
21．为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A、B、C三类分别装袋投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲、乙各投放了一袋垃圾．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求甲乙投放的垃圾恰好是同类垃圾的概率（要求画出树状图）．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若两个实数根x1，x2满足（x1+1）（x2+1）＝30，求k值．
23．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°．
（1）求证：BE+DF＝EF；
（2）当BE＝1时，求EF的长．
24．如图：以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点交于点G，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E．
（1）求证：CG＝BG；
（2）∠ABD＝30°，CG＝4，求BE的长．
25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值及点P的坐标；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
2．解：∵⊙O的半径为5cm，OA＝4cm，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．
故选：A．
3．解：由题意得：
把x＝﹣1代入2x2﹣x+m＝0，
则2×（﹣1）2﹣（﹣1）+m＝0，
解得：m＝﹣3；
故选：D．
4．解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C＝35°，
∴∠AOB＝2∠C＝70°．
故选：D．
5．解：设黑球个数为x个，
∵摸到白色球的频率稳定在0.2左右，
∴口袋中得到白色球的概率为0.2，
∴，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解．
故黑球的个数为20个．
故选：D．
6．解：将抛物线y＝（x﹣1）2+2先向右平移3个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线解析式是y＝（x﹣1﹣3）2+2﹣5，即y＝（x﹣4）2﹣3，
故选：B．
7．解：设年平均增长率为x，可列方程为：
50.7（1+x）2＝125.6，
故选：A．
8．解：如图，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝8，
∴∠OPC＝90°，PC＝CD＝4，
∴在直角△OPC中，OC2＝42+（OC﹣2）2，
解得，OC＝5．
∴AB＝2OC＝10．
故选：A．
9．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴b＝2a＜0，2a﹣b＝0，故⑤正确，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，函数有最大值，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），而对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ 3，0），
∴当x＝1或x＝﹣3时，函数y的值都等于0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解是：x1＝1，x2＝﹣3，所以③正确；
∵x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，所以④错误，
综上，正确的有②③⑤．
故选：C．
10．解：当0≤x≤2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于H，
由题意可得BP＝AQ＝x，
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，∠BAC＝60°＝∠ACD，
∴HQ＝x，
∴△APQ的面积＝y＝（2﹣x）×x＝﹣（x﹣1）2+；
当2＜x≤4时，如图2，过点Q作QN⊥AC于N，
由题意可得AP＝CQ＝x﹣2，
∴NQ＝（x﹣2），
∴△APQ的面积＝y＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x﹣2）2，
∴该图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴在2＜x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y有最大值为，
故选：A．
二、填空题
11．解：由题意得：从盒子中任意摸出一个球共有6种等可能性的结果，其中，摸到白球的结果有2种，
则摸到白球的概率为，
故答案为：．
12．解：圆锥的侧面积＝×2π×2×6＝12π（cm2）．
故答案为12πcm2．
13．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝0有两个实数根，
∴（﹣1）2+4k≥0且k≠0，
解得k≥且k≠0．
故答案为：k≥且k≠0．
14．解：作△ABC的外接圆⊙O，
∵∠C＝90°，
∴AB是⊙O直径，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝42+32，
∴AB＝5，
∴△ABC的外接圆半径是：r＝AB＝2.5，
故答案为：2.5．
15．解：∵△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，
∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，
∵点D正好落在BC边上，
∴∠C＝∠ADC＝80°，
∴∠CAD＝180°﹣2×80°＝20°，
∵∠BAE＝∠EAD﹣∠BAD，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴∠EAB＝20°．
故答案为：20．
16．解：连接OA，OB，作OG⊥AB交AB于点G
由题意得中心角∠AOB＝60°则∠AOG＝30°，
△AOB为等边三角形OA＝AB＝2，
根据垂径定理得AG＝＝1，
由勾股定理得，
．
故答案为：．
17．解：∵∠BCO＝90°，∠OBC＝30°，
∴OC＝OB＝1，BC＝，
则边BC扫过区域的面积为：＝＝π．
故答案为：π．
三、解答题
18．解：x2﹣2x＝9，
x2﹣2x+1＝9+1，
（x﹣1）2＝10，
，
，
．
19．解：（1）可建立如图所示坐标系，
由题知A（0，10），顶点坐标M（1，），
设y＝a（x﹣1）2+，
将（0，10）代入，
得a＝10﹣＝﹣，
即y＝﹣（x﹣1）2+＝﹣（x2﹣2x+1）+＝﹣x2+x+10；
（2）将y＝0代入得：﹣x2+x+10＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1（舍去），
即OB＝3米．
20．解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）连接OB，延长AO交BC于D，如图，设⊙O的半径为r，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AD垂直平分BC，
∴OD＝4，BD＝CD＝3，
在Rt△OBD中，OB＝＝5，
∴S⊙O＝π 52＝25π．
故答案为25π．
21．解：（1）∵垃圾要按A，B，C三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，
∴甲投放的垃圾恰好是A类的概率为：；
（2）如图所示：
由图可知，共有9种可能结果，其中甲投放的垃圾与乙投放的垃圾是同一类的结果有3种，
所以甲投放的垃圾与乙投放的垃圾是同一类的概率为＝．
22．（1）证明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0
∴无论k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+k，
∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝30，
∴k2+k+2k+1+1＝30，
解得：k1＝﹣7，k2＝4．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠D＝∠ABE＝∠C＝90°，
如图，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
由旋转得∠FAG＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，∠BAG＝∠DAF，BG＝DF，AG＝AF，
∵∠ABG+∠ABE＝180°，
∴点G、B、E在同一条直线上，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAG＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE+BG＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF．
（2）解：设EF＝x，
∵BC＝CD＝3，BE＝1，
∴DF＝EF﹣BE＝x﹣1，CE＝BC﹣BE＝2，
∴CF＝CD﹣DF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴EF的长为．
24．解：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CF⊥AB，
∴∠ACB＝∠CFB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBF，
∴∠A＝∠BCF，
∵∠A＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CBD，
∴CG＝BG；
（2）连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∵＝，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°，
∴＝，
∵CE∥BD，
∴∠E＝∠DBA＝30°，
∴AC＝CE，
∴，
∵∠A＝∠BCF＝∠CBD＝30°，
∴∠BCE＝30°，
∴BE＝BC，
∵CG＝4，
∴BC＝，
∴BE＝．
25．解：（1）将点A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）代入抛物线y＝ax2+bx+5，
得：，
解得：，
∴该抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①；
（2）①令y＝0，得x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5，
∴点C（﹣1，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，将点B、C的坐标代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+1…②，
如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），
∴PG＝t+1﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4，
∴S△PBC＝PG （xC﹣xB）＝×（﹣t2﹣5t﹣4）×3＝﹣t2﹣t﹣6＝﹣（t+）2+，
∵ ＜0，
∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为，此时P（﹣，﹣）；
②∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴顶点D（﹣3，﹣4），
设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴点H在BC的中垂线上，
∵线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式得﹣＝﹣（﹣）+m，
解得：m＝﹣4，
∴直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，
设直线CD的解析式为y＝k′x+b′，把C（﹣1，0），D（﹣3，﹣4）代入得：，
解得：，
∴直线CD的解析式为：y＝2x+2…④，
联立③④得：，
解得：，
∴点H（﹣2，﹣2），
设直线BH的解析式为y＝k″x+b″，则，
解得：，
∴直线BH的解析式为：y＝x﹣1…⑤，
联立①⑤得，
解得：，（舍去），
故点P（﹣，﹣）；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），
故点P（0，5）；
综上所述，点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．