2022-2023学年北师大版八年级 数学上册1.2 一定是直角三角形吗 课堂提升训练（含答案）

2022-2023学年度初中数学北师大版 八年级上册
课堂提升训练
第一章　勾股定理
2　一定是直角三角形吗
基础过关全练
知识点1　勾股定理的逆定理
1.(2022广东深圳桂园中学期中)以下列各组线段为边作三角形,能构成直角三角形的是(　　)
A.2,3,4　　　　　　 B.6,8,10
C.5,8,13　　　　　　D.12,13,14
2.(2021浙江金华期中)若△ABC的三边长a,b,c满足|a-3|+|4-b|+(c-5)2
=0,则△ABC是(　　)
A.直角三角形　　　　　　B.等腰三角形
C.等边三角形　　　　　　D.等腰直角三角形
3.(2022独家原创)边长为8,15,17的△ABC内有一点P到三边的距离均为d,则d的值为　　　　.
4.阅读以下解题过程:
已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①
∴c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2),②
∴c2=a2+b2,③
∴△ABC为直角三角形.④
(1)上述解题过程从哪一步开始出现错误 该步的序号为　　　　;
(2)错误的原因是　 ;
(3)本题正确的结论是　 .
5.(课本P9变式题)如图所示的一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,
AD⊥DC,AB=13 m,BC=12 m,求这块地的面积.
知识点2　勾股数
6.下列五组数:①4、5、6;②0.6、0.8、1;③7、24、25;④8、15、17;
⑤9、40、41,其中是勾股数的组数为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
7.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a,b,c的方程,满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),
(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现,4=1×(3+1),
12=2×(5+1),24=3×(7+1),……,分析上面规律,第5个勾股数组为　　　　　.
能力提升全练
8.(2021四川成都双流一中期中,9,)古埃及人曾经用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距,4个结间距,5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一角便是直角,这样做的道理是(　　)
A.直角三角形两个锐角互余
B.三角形内角和等于180°
C.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形
9.(2022河南省实验中学期中,6,)下列条件中,不能判定一个三角形是直角三角形的是(　　)
A.三个角的度数比为1∶2∶3 B.三条边的长度比为1∶2∶3
C.三条边满足关系a2+c2=b2 D.三个角满足关系∠B+∠C=∠A
10.(2021广西玉林中考,16,)如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,则乙船沿　　　　方向航行.
11.(2019北京中考,12,)如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=　　　　°(点A,B,P是网格线的交点).
12.(2022广东河源紫金期中,23,)某学校有一块如图所示的四边形空地,各边的长度已测量(单位:m),∠B=90°,现计划在空地内种草.
(1)请说明△ACD是直角三角形;
(2)若每平方米草地造价30元,这块空地全部种草的费用是多少元
13.(2022四川成都锦西中学月考,17,)如图,已知等腰△ABC的底边BC=17 cm,D是腰BA延长线上一点,连接CD,且BD=15 cm,CD=8 cm.
(1)判断△BDC的形状,并说明理由;
(2)求△ABC的周长.
14.(2019河北中考,21,)已知整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.
尝试　化简整式A;
发现　A=B2,求整式B;
联想　由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n>1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.
填写下表中B的值:
直角三角 形三边长 n2-1 2n B
勾股数组Ⅰ 8
勾股数组Ⅱ 35
素养探究全练
15.[直观想象]若正整数a,b,c满足a2+b2=c2,则称(a,b,c)为一组“勾股数”.
观察下列两类“勾股数”:
第一类(a是奇数):(3,4,5);(5,12,13);(7,24,25);……
第二类(a是偶数):(6,8,10);(8,15,17);(10,24,26);……
(1)请再写出两组勾股数,每类各写一组;
(2)分别就a为奇数、偶数两种情形,用a表示b和c,并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”.
16.[逻辑推理]在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边的长,当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2≠c2时,利用代数式比较a2+b2和c2的大小关系,可以判断△ABC的形状(按角分类).
(1)请你通过画图探究并判断:当△ABC的三边长分别为6、8、9时,△ABC是　　　　三角形;当△ABC的三边长分别为6、8、11时,△ABC是　　　　三角形;
(2)小明同学根据上述探究进行猜想:“当a2+b2>c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2当a=7,b=24时,c在什么范围内取值,△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形
答案全解全析
基础过关全练
1.B　根据勾股定理的逆定理,验证两条较短线段长的平方和是否等于最长线段的平方即可,只有B选项符合,故选B.
2.A　∵|a-3|+|4-b|+(c-5)2=0,
∴a-3=0,4-b=0,c-5=0,
∴a=3,b=4,c=5,
∵a2+b2=32+42=25,c2=52=25,
∴a2+b2=c2,
由勾股定理的逆定理可知,△ABC是直角三角形.
故选A.
3.3
解析　∵82+152=289=172,
∴△ABC是直角三角形.
∵△ABC内有一点P到三边的距离均为d,
∴d×8+d×15+d×17=×8×15,
∴d=3,
故答案为3.
4.(1)③　(2)不能确定a2-b2是不是等于0
(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形
解析　∵a2c2-b2c2=a4-b4,
∴c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2),
∴(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0,
∴a2-b2=0或c2-(a2+b2)=0,当a2-b2≠0时,c2=a2+b2,此时△ABC是直角三角形,
当a2-b2=0,即a=b时,△ABC是等腰三角形,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形,故从第③步开始出现错误,其原因是不能确定a2-b2是不是等于0.
5.解析　如图,连接AC.
∵AD=4 m,CD=3 m,AD⊥DC,∴AC=5 m.
∵122+52=132,∴△ACB为直角三角形,
∴S△ACB=AC·BC=×5×12=30 m2,
又S△ACD=AD·CD=×4×3=6 m2,
∴这块地的面积=S△ACB-S△ACD=30-6=24 m2.
6.B　①中42+52≠62;②中的数不全是正整数;③中72+242=252;④中82+152=172;⑤中92+402=412.故有3组勾股数.
7.(11,60,61)
解析　在勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),…中,4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),……,所以第4组勾股数组中间的数为4×(9+1)=40,故对应的勾股数组为(9,40,41);
第5组勾股数组中间的数为5×(11+1)=60,故对应的勾股数组为(11,60,61),故答案为(11,60,61).
能力提升全练
8.D　设相邻两个结点的距离为m,则此三角形的三边长分别为3m、4m、5m,
∵(3m)2+(4m)2=(5m)2,
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.(如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形)
故选D.
9.B　B选项中,设三边长分别为x、2x、3x(x≠0),
∵x2+(2x)2=5x2,(3x)2=9x2,5x2≠9x2,
∴三条边的长度比为1∶2∶3的三角形不是直角三角形.
故选B.
10.北偏东50°
解析　由题意可知AP=12海里,BP=16海里,AB=20海里,
∵122+162=202,
∴△APB是直角三角形,且∠APB=90°,
由题意知∠APN=40°,
∴∠BPN=90°-∠APN=90°-40°=50°,
即乙船沿北偏东50°方向航行.
故答案为北偏东50°.
11.45
解析　如图,延长AP交网格线的边缘于D,连接BD,设每个小正方形的边长为1,
则PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,
∴PD2+DB2=PB2,
∴∠PDB=90°,∴∠DPB=45°,
∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°.
12.解析　(1)证明:连接AC,如图所示,
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=42+32=52,
∴AC=5.
在△DAC中,AC2+AD2=52+122=132,CD2=132,
∴AC2+AD2=CD2,
∴△ACD是直角三角形.
(2)S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC=·BC·AB+AD·AC=×4×3+×12×5=36.
∴这块空地全部种草所需的费用为36×30=1 080(元).
答:这块空地全部种草的费用是1 080元.
13.解析　(1)△BDC是直角三角形.
理由:∵BC=17 cm,BD=15 cm,CD=8 cm,
∴BD2+CD2=BC2,
∴△BDC是直角三角形.
(2)设AB=AC=x cm,则AD=(15-x)cm,
在Rt△ADC中,由勾股定理得AD2+DC2=AC2,
∴(15-x)2+82=x2,
解得x=,
∴AB=AC= cm.
∵BC=17 cm,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=++17=(cm).
14.解析　尝试　A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2.
发现　∵A=B2,B>0,∴B=n2+1.
联想　勾股数组Ⅰ　∵2n=8,∴n=4,∴B=n2+1=42+1=17.
勾股数组Ⅱ　∵n2-1=35,∴B=n2+1=(n2-1)+2=37.
素养探究全练
15.解析　(1)第一组(a是奇数):(9,40,41)(答案不唯一);
第二组(a是偶数):(12,35,37)(答案不唯一).
(2)当a为奇数时,b=,c=;
当a为偶数时,b=-1,c=+1.
证明:当a为奇数时,a2+b2=a2+==c2,∴(a,b,c)是“勾股数”.
当a为偶数时,a2+b2=a2+==c2,
∴(a,b,c)是“勾股数”.
16.解析　(1)如图,当△ABC的三边长分别为6、8、9时,△ABC为锐角三角形;
当△ABC的三边长分别为6、8、11时,△ABC为钝角三角形.
(2)由题意得,a2+b2=72+242=252,
∵c为最长边的长,7+24=31,
∴24①若a2+b2>c2,则c2<252,
∴0∴当24②若a2+b2=c2,则c2=252,
∴c=25,
∴当c=25时,这个三角形是直角三角形;
③若a2+b2252,
∴c>25,
∴当25