反比例函数专题[上学期]

反比例函数专题
　　本节的常见题型有：
　　1．反比例函数的定义与性质的运用；
　　2．反比例函数与代数知识的综合；
　　3．反比例函数与几何知识的综合．
　　现分别举例予以解析．
　　1．反比例函数的定义与性质的运用
例1　当n取什么值时，y＝（n2＋2n）是反比例函数？它的图象在第几象限内？在每个象限内，y随x的变化而变化的情况怎样？
　　分析：
　　根据反比例函数的定义y＝（k≠0）可知，要使y＝（n2＋2n）是反比例函数，必须且只需n2＋n≠0，0且n2＋2n－1＝－1．
　　解：
要使y＝（n2＋2n）是反比例函数，则必有
　　　　
　　∴　
　　故当n＝－1时，y＝（n2＋2n）是反比例函数，y＝－．
　　又　k＝－1＜0，故双曲线分别在第二、四象限内，并且在每个象限内，y随x的增大而增大．
　　点评：
　　（1）判断一个函数是否反比例函数，唯一的标准就是看它是否符合定义，即k≠0，自变量是指数为1．本例运用的是反比例函数定义另一种表示形式y＝kx－1（k≠0）．
　　（2）反比例函数的图象是双曲线，分布在两个不同的象限，它们关于原点对称，但不相交．
　　（3）与本题类似的其他变式题有：
　　当a为何值时，y＝（a2＋2a），是反比例函数，且图象在第二、四象限？
　　答案：
　　a＝－1．
例2　在同一直角坐标系中，正比例函数y＝（m－1）x与反比例函数y＝的图象的大致位置不可能是　（　　）
（A）　　　　　（B）　　　　　（C）　　　　　（D）
　　分析：
　　两种函数解析式中都由其比例系数决定着图象的位置与升降，故讨论比例系数的符号是关键．
　　解：
　　当，即m＞1时，
　　正比例函数y＝（m－1）x的图象经过第一、三象限，
　　反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限；
　　当时，不等式组无解；
　　当，即m＜0，两函数的图象都在第二、四象限；
　　当，即0＜m＜1时，
　　正比例函数y＝（m－1）x的图象经过第二、四象限，
　　反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限．
　　综上所述，两函数图象不可能的位置是（D）．
　　点评：
　　（1）上述解法是用不等式组的知识对两种图象的各种可能情形进行全面分类讨论，再从中排除不能适合的选项．这个过程是从“数”转化为“形”的过程，体现了数形结合的重要思想．
　　（2）与本题类似的其他变式题有：
　　满足函数y＝ax2＋c（c＞0）和y＝（a＜0）的图象是　（　　）
　　答案：D．
　　2．反比例函数与代数知识的综合
例3　已知y＝y1－y2，y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x＝－1时y＝－5；
x＝1时y＝1，求y与x之间的函数关系式．
　　分析：
　　由y1与x成反比例，可设y1＝（k1≠0），由y2与x2成正比例，可设y2＝k2x2（k2≠0），再将y1，y2代入已知等式y＝y1－y2，并利用x，y的两组对应值求出解析式．
　　解：
　　∵　由y1与x成反比例，
　　∴　设y1＝（k1≠0），
　　同理设y2＝k2x2（k2≠0），
　　∴　y＝y1－y2＝－k2x2．
　　把，，分别代入上式，可得
　　　　
　　解得　
　　∴　y与x的函数解析式是y＝－2x2．
　　点评：
　　（1）依题意写出y1与x，y2与x间的一般函数解析式是解本题的关键，这里还要分清正比例函数、正比例关系间的区别与联系．
　　（2）y1，y2两个函数的比例系数不一定相同，因此在设y1，y2的一般函数解析式时，比例系数应设为不同的字母k1和k2．
　　（3）与此题类似的变式题有：
　　①已知y＝y1－y2，y1与x的算术平方根成正比例，y2与x2成反比例，且当x＝1时y＝0，当x＝2时y＝，求y与x间的函数解析式．
　　②已知反比例函数y＝的图象上有一点P，它的横坐标m与纵坐标n是方程t2－4t－2＝0的两个根．（1）求k的值；（2）求点P与原点O的距离．
例4　已知关于x的方程x2－3x＋2k－1＝0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且反比例函数y＝的图象的两个分支在各自的象限内，y随x的增大而减小，求满足上述条件的整数k的值．
　　分析：
　　本例求k时应同时考虑一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，反比例函数的性质，并把结果取整数．
　　解：
　　设方程x2－3x＋2k－1＝0的两个根为x1，x2，则
　　　　，
　　即　
　　∴　
　　解得
　　　　k≤．　　　　　　　①
　　又反比例函数y＝的图象的两个分支在各自象限内，y随x的增大而减少，
　　∴　1＋2k＞0，
　　∴　k＞－．　　　　　　　②
　　综合①、②得　－＜k≤．
　　∴　整数k为0或1．
　　点评：
　　（1）本例综合了一元二次方程与反比例函数知识，解题时千万别疏漏了对Δ≥0这个隐含条件的考虑．
　　（2）与此题类似的变式题有：
　　如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，（1）利用图中条件，求反比例函数与一次函数的的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
　　3．反比例函数与几何知识的综合
例5　（1）如图，直线l经过A（0，1），与x轴正方向夹角为30°，求它的解析式；（2）一个反比例函数的图象位于第二、四象限，且它在第四象限的一支与直线l只有一个交点，求它的解析式．
　　分析：
　　（1）关健是通过含30°的Rt△求出B点坐标；（2）的关键是要运用一元二次方程的Δ＝0求出待定系数k．
　　解：
　　（1）由题设∠OBA＝30°，在Rt△BOA中，OA的长为1，
　　∴　AB＝2，OB＝．
　　∴　B点坐标为（，0）.
　　设直线l的解析式为y＝kx＋b，分别把点A（0，1），B（，0）的坐标代入
y＝kx＋b中，得.
　　解之，得　
　　故所求直线l的解析式为
　　　　y＝x－1．
　　（2）设反比例函数的解析式为y＝，由于双曲线与直线l只有一个交点，
　　所以方程组只有一组实数解．
　　∴　x－1＝，即x2－x－k＝0有两个相等的实数根．
　　∵　Δ＝（－1）2－4××（－k）＝0，
　　解得k＝－，此时反比例函数过第二、四象限．
　　∴　函数解析式为y＝－．
　　点评：
　　（1）反比例函数与几何知识结合的问题，要充分利用几何图形的性质求值．
　　（2）函数图象的交点问题一般都是转化为一元二次方程根的判别式予以判定，这是常见思路．因本例反比例函数分布在第二、四象限，故要对k值进行检验．
　　（3）与本题类似的其他变式题有：
　　已知一次函数y＝－x＋8和反比例函数y＝（k≠0）．（1）k满足什么条件时，这两个在同一直角坐标系中的图象有两个交点？（2）设（1）中的两个交点为A，B，比较
∠AOB与90°角的大小．
例6　如图，在直角坐标系中，y＝x＋m与双曲线y＝，在第一象限交于点A，与x轴交于点C，又AB垂直于x轴，垂足为B，且S△AOB＝1．（1）求m的值；（2）求
△ABC的面积．
　　分析：
　　求直线与双曲线交点坐标是解本题的关键．S△AOB＝OB·BA，此时因A点在第一象限，OB、BA的长与A的横、纵坐标分别相等．
　　解：
　　（1）设点A（x，y）（x＞0，y＞0），因点A在比曲线y＝上，
　　∴　xy＝m．
　　又　S△AOB＝OB·BA＝xy＝1．
　　∴　m＝1，即m＝2．
　　（2）联立直线与双曲线的解析式，得方程组
　　解得
　　　　，（舍去）．
　　∴　A（－1，＋1）
　　由y＝x＋2，令y＝0，得x＝－2．
　　∴　C点坐标为（－2，0）．
　　∴　BC＝︱―1―（－2）︱＝＋1．
　　∴　S△ABC＝AB·BC＝（＋1）（＋1）＝2＋．
　　点评：
　　（1）对反比例函数y＝（k≠0）进行变形，可得xy＝k，这表明双曲线上每一点的横、纵坐标的乘积等于比例系数k．这个变形对于由反比例函数图象上的点，过此点作x轴垂线得到的垂足，以及原点构成的三角形面积十分有用，如本例中S△AOB＝．所有这类三角形面积都相等，为．这个规律请记住．类似地，由双曲线上的点及原点构成的三角形面积也适用于这个规律．
　　（2）由比曲线上一点作x轴、y轴的垂线，由此点，两个垂足及原点围成的矩形面积也具有类似的规律，不妨试着找一找．
　　（3）与本题类似的其他变式题有：
　　①如图，在y＝的图象上有关于原点对称的两点A和B，AC平行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为S，则　（　　）
　　（A）S＝1 （B）1＜S＜2 （C）S＝2 （D）S＞2
　　②如图，P是反比例函数y＝图象上的一点，由P分别向x轴、y轴引垂线，得阴影部分面积为3，则这个反比例函数的解析式是__________．
例7　如图，已知C，D是双曲线y＝在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A，B两点，且C，D的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），连结OC、OD：
　　（1）求证y1＜OC＜y1＋．
　　（2）若∠BOC＝∠AOD＝a，tan a＝，OC＝，求直线CD的解析式．
　　（3）在（2）条件下，双曲线上是否存在一点P，使得S△POC＝S△POD？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．
　　分析：
　　本例综合性较强，（1）中要联想到把y1转化为线段长；（2）要利用锐角三角函数和勾股定理、函数性质进行转化；（3）要运用“角平分线上的点到角两边距离相等”与“等底等高的三角形面积相等”等性质．
　　（1）证明：过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG＝y1，OG＝x1．
　　∵　点C（x1，y1）在双曲线y＝上，
　　∴　x1＝．
　　∵　在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG＋OG，
　　∴　y1＜OC＜y1＋．
　　（2）解：在Rt△GCO中，∠GCO＝∠BOC＝a，
　　tan a＝＝，即＝，y1＝3x1，
　　∵　OC2＝OG2＋CG2，OC＝，
　　∴　10＝，即10＝．
　　解之，得
　　　　x1＝±1．
　　∵　负值不合题意，
　　∴　x1＝1，y1＝3.
　　∴　点C的坐标为（1，3）．
　　∵　点C在双曲线y＝上，
　　∴　3＝，即m＝3．
　　∴　双曲线的解析式为y＝．
　　过点D作DH⊥x轴，垂足为H，则DH＝y2，OH＝x2．
　　在Rt△ODH中，tan a＝＝＝，即x2＝3y2．
　　又y2＝，则3＝3，
　　解之，得
　　　　y2＝±1．
　　∵　负值不合题意，
　　∴　y2＝1，x2＝3．
　　∴　点D的坐标为（3，1）．
　　设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则有，
　　解得
　　∴　直线CD的解析式为y＝－x＋4．
　　（3）解双曲线y＝上存在点P，使得S△POC＝S△POD，这个点P就是∠COD的平分线与双曲线y＝的交点．
　　证明如下：
　　∵　点P在∠COD的平分线上，
　　∴　点P到OC、OD的距离相等．
　　又OD＝＝＝＝OC．
　　∴　S△POC＝S△POD．
　　点评：
　　（1）对这类综合性问题，善于根据已知条件和结论进行合理的联想、转化是解题的关键，对于（3）这样的探求性问题，先要判断出结论，再予以证明或说理．
　　（2）与本题类似的其他变式题有：
　　如图，直线AB过点A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0），反比例函数y＝的图象与AB交于C、D两点，P为双曲线y＝上任一点，过P作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R，请分别按（1）、（2）、（3）的要求解答问题．
　　（1）若m＋n＝0，当n为何值时，△AOB的面积最大？最大值是多少？
　　（2）若S△AOC＝S△COD＝S△DOB，求n的值．
　　（3）在（2）条件下，过O、D、C三点作抛物线，当此抛物线的对称轴为x＝1时，矩形PROQ的面积是多少？