课件26张PPT。2.1.2空间中直线与直线
之间的位置关系永州市第四中学 伍达志制作
2013.4.20 在平面内，两条不重合的直线之间有几种位置关系?
在空间中，两直线有几种位置关系呢?
（一）创设情境 形成概念 1．提出问题：数学是对现实世界的抽象与概括
学会用数学的眼光观察周围世界！醒“士”恒言：请同学们观察生活中的“直线”及其关系！观察模型：
在如图所示的长方体中，棱CC’所在的直线与直线BA’位置关系如何？A、空间中不相交的两条直线；
B、某平面内的一条直线和这平面
外的直线；
C、分别在不同平面内的两条直线；
D、不在同一平面内的两条直线。
E、不同在任何一个平面内的两条直线；
请你为异面直线选择合适的定义！概念形成
（1）没有公共点的两条直线是异面直线．
（2）平面内一点与平面外一点的连线，
和平面内的直 线一定是异面直线．
（3）分别在两个平面内的两条直线是异面直线．
（4）在空间既不平行也不相交的直线是异面直线．
（5）和同一直线都是异面直线的两条直线是异面直线
（6）不在平面内的两条直线是异面直线．
（7）不可能在同一平面内的两条直线是异面直线．
定义：不同在任何一个平面内的两条 直线 叫做异面直线。 2．完成下面的判断题，巩固概念：有且仅有一个公共点
在同一平面内,没有公共点不同在任何一个平面内,
没有公共点请你试着从不同角度对空间直线位置关系分类？空间两条直线的位置关系：①从有无公共点的角度分类：有且仅有一个公共点------------- 相交直线 共面直线----------------- 相交直线 ②从是否共面的角度分类 没有公共点------------- 平行直线 异面直 线 异面直线 -----------------不同在任何一个平面内 平行直线 空间直线位置关系分类3.异面直线的画法:通常用一个或两个平面来衬托异面直线
不同在任何一个平面的特点 4.探究:
下图是一个正方体的展开图，若还原成正方体，则AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?
３对：AB，CD; AB，GH; EF，GH1.试一试：取一块长方形纸片ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸片沿EF折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?BD（二）直观感知，操作确认，灵活运用2.观察：3．问题：能否再举出生活中与此相关的实例？
并由此归纳结论。公理４ 平行同一条直线的两条直线互相平行.讨论:公理4说明空间平行直线具有传递性，在逻辑推理中公理4有何理论作用？ 判断空间两条直线平行的依据。例1 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。5.探究(1)若再加条件AC=BD,会是怎样的四边形?(2)若更换条件 ,会是怎样的四边形?4．公理应用 1.提问:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？ 在空间又如何？（三）类比推广，探究应用观察: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ 的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?B'D'B'经过观察分析，我们可以得到什么结论? ． 等角定理 空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 图形：符号：如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′，a′b′ 则这两条线所成的锐角θ（或直角），θ 称为异面直线a，b所成的角。？平移注意:①与O的选取无关; ②将空间角转化为平面角2.两条异面直线所成的角异面直线夹角的求解过程：若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直（异面垂直）。记作a⊥b归纳：异面直线所成角θ的取值范围： 3．提出问题：由平面中两条直线垂直的定义，能否
类比得到异面直线垂直的定义？4．探究： 有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？
（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，
那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？（1）例 2 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所成的角：1）AB与CC1；2）A1 B1与AC；3）A1B与D1B1。 9 0°4 5°6 0°练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角；
2、与直线 垂直的棱有多少条？1、异面直线的概念及画法。
2、空间直线的平行关系。
3.等角定理定理
4.异面直线所成的角
猛回头平面图形的结论，对于立体图形
有些适用，有些 不适用，注意验证.警世钟课后思考题：
1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（ ）。
（A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）不平行
2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的
异面直线的对数是（ ）对。
（A）6 （B）3 （C）8 （D）12
3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以
确定（ ） 平面。
（A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个4．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．作业设计：
教材P51 ：A 6 ，B 1《空间两条直线的位置关系》教学设计
永州市第四中学 伍达志 2013.4.20
三维教学目标
1．知识与能力：
（1）理解异面直线的概念；
（2）了解空间中两条直线的三种位置关系，知道异面直线、
异面直线的夹角以及直线垂直的概念；
（3）能正确理解平行公理和等角定理，并会运用进行相关的推理证明。
（4） 通过对比空间和平面两直线间的位置关系之间异同和联系，逐步提高将立体图形转为平面图形的能力以及空间想象能力、观察归纳能力、类比推理能力．
2.过程与方法：
（1）．以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，
认识空间中两直线的位置关系；
（2）．通过“直观感知——操作确认——思维辩证”的认知过程展开，得到平行公理和等角定理．
3．情感、态度、价值观：
通过师生交流，学生活动，让学生感知数学，体验数学．在学习空间中两直线间的位置关系时，逐步提高辩证唯物主义观点和公理化思想。
教学重点
异面直线的概念及异面直线所成的角的概念及异面直线所成的角求法
教学难点
理解异面直线概念，作异面直线所成的角．
教学方式
问题引导，操作实验，合作探究，师生互动，计算机辅助教学．
教学构思
1．数学新课程改革的一个重要理念是：“把现代技术作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具，使学生从大量繁杂、重复的运算中解放出来，将更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去”，在本节课的设计上，我力图充分体现这一教学理念，制作了一个既能反映本节课教学要求和主线，又有一定的灵活性和交互能力的课件，将一些抽象的空间图形和位置关系直观的演示出来，使学生更容易接受和理解。
2．在本课中对异面直线的判定定理和异面直线所成角都没有进行严格的证明，主要是让学生感知数学、体验数学，训练学生的数学思维能力；在判断两条直线是否异面和求简单的两条异面直线所成角的练习中，只要求学生理解并能得出结论即可，不需要进行严格的格式书写。在教学中增加了实例的示范，让学生体会数学来自于生活，数学也服务于生活。
3．数学主要是发现问题，解决问题。本节课主要以问题贯穿始终，用问题引导学生思考，促使学生积极思考和参与，达到本节课的教学目标。
4．动手实践，探究合作是新课标的理念。在课前让学生每人准备一个长方形纸片和一个正方体模型，以备上课作实验；在异面直线所成角的概念形成和公理4的归纳，各安排了一个实验，让学生去体验数学，自己发现解决问题的途径，结合对问题的思考很自然的将空间问题平面化，达到变难为易的处理效果。
5.借用古典，导入和结束，增加课堂趣味性，加深同学们对知识点印象。
教学过程
（一）创设情境 形成概念：
1．提出问题：
思考 在平面内，两条不重合的直线之间有几种位置关系? 空间中的两条直线呢？
醒“士”恒言:
利用数学是对现实世界的抽象与概括
学会用数学的眼光观察周围世界！
课件展示学校生活实例，从图片中抽象出空间中直线的位置关系．
让学生观察空间图形中直线的位置关系，直观感受空间中的两条直线间的位置关系．
让学生观察长方体中线段A1B所在直线与线段CC1所在直线的位置关系如何？
先给出几种判断，让学生根据自己的理解选择合适的异面直线的定义：
不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线。
引导学生总结出空间中两条直线的三种位置关系并进行分类：
2．完成下面的判断题，巩固概念：
（1）没有公共点的两条直线是异面直线．
（2）平面内一点与平面外一点的连线，和平面内的直线一定是异面直线．
（3）分别在两个平面内的两条直线是异面直线．
（4）在空间既不平行也不相交的直线是异面直线．
（5）和同一直线都是异面直线的两条直线是异面直线．
（6）不在平面内的两条直线是异面直线．
（7）不可能在同一平面内的两条直线是异面直线．
答案：（4）（7）正确，其余错误．
对于错误的叙述，在课件中给出相应的图形，帮助学生理解．
3．异面直线的画法：
4．探究
下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？
设计意图：提出问题，调动学生思考．设计醒“士”恒言目的是活跃气氛，调动同学们的积极性和学习兴趣，同时告诉大家数学来自生活；通过生活中实例展示，抽象出空间中两条直线的位置关系，给学生直观感知．练习从不同的角度帮助学生加深对概念的理解．培养学生的空间图形与平面图形之间的相互转换的能力．
（二）直观感知，操作确认，灵活运用
1．试一试：取一块长方形纸片ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸片沿EF折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?
2．观察：长方体中，， ，与什么关系？
3．问题：能否再举出生活中与此相关的实例？
学生归纳平行的传递性，得出公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行．
并能用图形、文字、符号三种数学语言的相互转化：
平行于同一条直线的两条直线相互平行．
学生讨论，思考公理4的作用：判断两条直线平行的依据．
4．公理4的应用，引导学生注意空间图形与平面图形之间的联系与区别
例1 如图 ，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
5．探究：
（1）在上例题中，若再加条件AC=BD,会是怎样的四边形?
设计意图：
通过动手操作、观察使学生形成对公理4的直观感知，然后再从理性层面上确认，例题和探究是公理4的应用，培养学生的空间想象能力和推理能力．
（三）类比推广，探究应用
1．提出问题：在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？空间中，结论是否仍然成立？
观察: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ 的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?
学生借助长方体观察，与平面时类比并加以推广得出定理：
定理 空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
并能用图形、文字、符号三种数学语言的相互转化：
空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
或．
2 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线 ，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b 所成的角．（或夹角）
注意:①异面直线a与b 所成的角与O的选取无关;
②将空间角转化为平面角
异面直线夹角的求解过程：
3．提出问题：
由平面中两条直线垂直的定义，能否类比得到异面直线垂直的定义？
如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条直线相互垂直．
记作：．
归纳：异面直线所成角θ的取值范围：
4．探究：
（1）在长方体中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？
（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
可以提示学生借助教室、课本等实例观察．
例 2 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对棱所在直线所成的角：
（1）AB与CC1 （2）A1B1与AC（3）A1与D1B1
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角；
2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
设计意图：
由于等角定理和直线夹角问题在平面图形中都有接触，因此可以通过类比推广的形式得到，也能让学生更好的认识平面图形与立体图形的异同，以及两者的内在联系，逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力．探究和例题3使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的直线与直线的位置关系，使学生初步掌握依据定义、定理对空间图形进行推理论证、计算的方法．
（四）课堂小结
猛回头：1、异面直线的概念及画法。
2、空间直线的平行关系。
3.等角定理定理
4.异面直线所成的角
警世钟：平面图形的结论，对于立体图形
有些适用，有些 不适用，注意验证.
设计意图：
借用古典书名，归纳本节课的知识要点和要注意的问题，活跃课堂气氛，与导入遥相呼应，给同学们留下深刻印象!
（五）课后思考题：
1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（ ）。
（A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）不平行
2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的
异面直线的对数是（ ）对。
（A）6 （B）3 （C）8 （D）12
3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以
确定（ ） 平面。
（A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
4．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．
（六）课外作业：第51页A 6，B 1.
