第二章 直线和圆的方程 章末测试（提升）（答案）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－，则|MN|＝( D )
A．10 B．180 C．6 D．6
2、直线l过点P(2，－1)且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l的方程为( C )
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋2y＝0或x－y－3＝0 D．x＋y－1＝0或2x＋y－3＝0
3、两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为( D )
A. B. C．7 D.
4、经过点(1，0)且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( B )
A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
5、已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0, l2：x＋ay＋2＝0, 其中a∈R, 则“a＝－3”是“l1 ⊥ l2”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6、若动点M，N(x2，y2)分别在直线x＋y＋7＝0与直线x＋y＋5＝0上移动，则MN的中点P到原点距离的最小值为( C )
A．2 B．3 C．3 D．2
7、若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( A )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
8、自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( D )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9、已知A(1，2)，B(－3，4)，C(－2，0)，则下列说法正确的是( BCD )
A．直线x－y＝0与线段AB有公共点
B．直线AB的倾斜角大于135°
C．△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为y＝2
D．△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x－4y＋7＝0
10、若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法正确的有( ABD )
A．直线l2的斜率为定值
B．当c＝25时，|PQ|的最小值为
C．当|PQ|的最小值为1时，c＝20
D．c≠10
11、已知圆C1：x2＋y2＝r2与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有( ABC )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a
D．y1＋y2＝2b
12、设，为正数，若直线被圆截得弦长为4，则（ BCD ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，则该圆过点(3，5)的最短弦长为___4_____．
14、把直线x－y＋－1＝0绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是_____y＝x___．
15、已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点与原点O的最短距离是_____1___．
16、过点P的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，此时直线l的方程为___x＋y－3＝0 _____，∠ACB＝________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分10分)已知直线l经过点P(－2，1)，且与直线x＋y＝0垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．
解：(1)由题意得直线l的斜率为1，
故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
(2)由直线m与直线l平行，
可设直线m的方程为x－y＋c＝0(c≠3)，
由点到直线的距离公式得＝，
即|c－3|＝2，解得c＝1或c＝5.
故直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0.
18、已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，
所以BC的方程为＝，
即x＋2y－4＝0.
(2)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，
所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
19、已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为
2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，
解得λ＝或λ＝2.
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由
解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
所以dmax＝|PA|＝.
20、(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)若直线l与圆C交于不同两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程．
解：(1)圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝5，所以圆C的圆心为C(0，1)，半径r＝，圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝＝<1<，因此直线l与圆C相交．
(2)设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝，
又d＝，∴＝，解得m＝±1，
所以所求直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
21、如图所示，m，n，l是三条公路，m与n是互相垂直的，它们在O点相交，l与m，n的交点分别是M，N，且|OM|＝4，|ON|＝8，工厂A在公路n上，|OA|＝2，工厂B到m，n的距离分别为2，4.货车P在公路l上．
(1)要把工厂A，B的物品装上货车P，问：P在什么位置时，搬运工走的路程最少？
(2)P在什么位置时，工厂B搬运工与工厂A搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)
解：以m，n所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则有A(2，0)，B(－2，－4)，M(0，4)，N(－8，0)，故公路l所在的直线方程为x－2y＋8＝0.
(1)P在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求|PA|＋|PB|的值最小时P的位置．
设点A关于直线l的对称点A′(m，n)，
则解得
所以A′(－2，8)．
又P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时等号成立，此时|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|，点P就是直线A′B与直线l的交点．
联立解得
所以P(－2，3)．
(2)由题意可知，原问题等价于求点P的位置，使||PB|－|PA||的值最大．A，B两点在直线的同侧，P是直线上的点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时||PB|－|PA||取得最大值|AB|，点P即为直线l与直线AB的交点．
又直线AB的方程为y＝x－2，
由得所以P(12，10)．
22、(本小题满分12分)已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
解：(1)由题可知圆M的圆心为M(0，4)，半径r＝2.
设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°.
在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，故|MP|＝＝4.
又|MP|＝ ＝ ，
所以 ＝4，解得b＝0或b＝.
所以点P的坐标为(0，0)或.
(2)设点P的坐标为(2b，b)．
因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆，
且MP的中点坐标为，
所以圆N的方程为(x－b)2＋＝，
即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.
由解得或
所以圆N过定点(0，4)和.第二章 直线和圆的方程 章末测试（提升）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－，则|MN|＝( )
A．10 B．180 C．6 D．6
2、直线l过点P(2，－1)且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l的方程为( )
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋2y＝0或x－y－3＝0 D．x＋y－1＝0或2x＋y－3＝0
3、两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为( )
A. B. C．7 D.
4、经过点(1，0)且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
5、已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0, l2：x＋ay＋2＝0, 其中a∈R, 则“a＝－3”是“l1 ⊥ l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6、若动点M，N(x2，y2)分别在直线x＋y＋7＝0与直线x＋y＋5＝0上移动，则MN的中点P到原点距离的最小值为( )
A．2 B．3 C．3 D．2
7、若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
8、自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9、已知A(1，2)，B(－3，4)，C(－2，0)，则下列说法正确的是( )
A．直线x－y＝0与线段AB有公共点
B．直线AB的倾斜角大于135°
C．△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为y＝2
D．△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x－4y＋7＝0
10、若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法正确的有( )
A．直线l2的斜率为定值
B．当c＝25时，|PQ|的最小值为
C．当|PQ|的最小值为1时，c＝20
D．c≠10
11、已知圆C1：x2＋y2＝r2与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a
D．y1＋y2＝2b
12、设，为正数，若直线被圆截得弦长为4，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，则该圆过点(3，5)的最短弦长为________．
14、把直线x－y＋－1＝0绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是________．
15、已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点与原点O的最短距离是________．
16、过点P的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，此时直线l的方程为________，∠ACB＝________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分10分)已知直线l经过点P(－2，1)，且与直线x＋y＝0垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．
18、已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
19、已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
20、(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)若直线l与圆C交于不同两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程．
21、如图所示，m，n，l是三条公路，m与n是互相垂直的，它们在O点相交，l与m，n的交点分别是M，N，且|OM|＝4，|ON|＝8，工厂A在公路n上，|OA|＝2，工厂B到m，n的距离分别为2，4.货车P在公路l上．
(1)要把工厂A，B的物品装上货车P，问：P在什么位置时，搬运工走的路程最少？
(2)P在什么位置时，工厂B搬运工与工厂A搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)
22、(本小题满分12分)已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
