3.2函数的基本性质跟踪练习（答案）
一、单选题
1、下列函数中为偶函数的是( C )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋
2、下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是( B )
A.y= B.y=2x-1 C.y=-x D.y=x2-3x
3、函数f(x)＝－x的图像( C )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
4、如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)＋f(－1)的值为( A )
－2 B．2 C．1 D．0
5、已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2019)＝k，则f(－2019)＝( D )
A．k B．－k C．1－k D．2－k
6、若函数f(x)=ax+1在R上是减函数,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是( B )
A.[2,+∞) B.(-∞,2] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
7、设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( A )
A．f(－π)>f(3)>f(－2) B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(3)>f(－2)>f(－π) D．f(3)>f(－π)>f(－2)
8、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝4x－1，则在(1，3)上，f(x)≤1的解集是( C )
A． B．
C． D．[2，3)
二、多选题
9、设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有( BC )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|＋g(x)是偶函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
10、已知函数f(x)=x2的值域是[0,4],则它的定义域可能是( AD )
A.[-1,2] B.[-3,2] C.[-1,1] D.[-2,1]
11、设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ABC ）
A． B． C．0 D．1
12、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ACD ）
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
三、填空题
13、已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为____5____．
14、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝___－x2－x＋1_____．
15、若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________.
16、已知f(x)在定义域内是减函数,且f(x)>0,在其定义域内,下列函数为增函数的是 ②③ .(填序号)
①y=a+f(x)(a为常数);②y=a-f(x)(a为常数);③y=;④y=[f(x)]2.
解答题
17、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2－x3； (2)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；
解：(1)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的．
∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，
∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x).
故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．
(2)函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．
18、(1)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，则当x＜0时，求f(x)的表达式.
(2)已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，求f(x)的表达式
解：∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∵当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，
∴当x＜0，即－x＞0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)·(－x－2)]＝－x(x＋2)，
∴当x＜0时，f(x)＝－x(x＋2).
(2)当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为偶函数，
∴f(x)＝－x＋1.
19、已知f (x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，用定义证明函数的单调性并求函数f (x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f (x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝时，f (x)＝x＋＋2，
任取1≤x1则f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)＋＝.
因为1≤x11，
所以2x1x2－1>0.
又x1－x2<0，所以f (x1)所以f (x)在[1，＋∞)上是增函数，
所以f (x)在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝.
(2)因为在区间[1，＋∞)上，f (x)＝>0恒成立，
所以
等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
因为φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，φ(x)取最大值为φ(1)＝－3，所以a>－3.故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．
20、设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
解：(1)由题意得f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x).
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
21、已知定义在R上的函数f (x)满足：①f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1；②当x>0时，f (x)>－1.
(1)求f (0)的值，并证明f (x)在R上是增函数；
(2)若f (1)＝1，解关于x的不等式f (x2＋2x)＋f (1－x)>4.
解：(1)令x＝y＝0，得f (0)＝－1.
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f (x1－x2)>－1.
又f (x1)＝f ((x1－x2)＋x2)＝f (x1－x2)＋f (x2)＋1>f (x2)，所以函数f (x)在R上是增函数．
(2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.
由f (x2＋2x)＋f (1－x)>4，得f (x2＋x＋1)>f (3)．
又函数f (x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1.
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
22、已知函数在定义域上单调递增
(1)求的取值范围；
(2)若方程存在整数解，求满足条件的的个数.
解：(1)任取，且,
则，
因为，则，
因为函数在定义域上单调递增，
所以，在上恒成立，
所以在上恒成立，
∴，，
所以.
(2)因为，
所以，即，
解得：（舍去），或，
因为大于，不大于的整数有个，
所以方程存在整数解，满足条件的有个．3.2函数的基本性质跟踪练习
一、单选题
1、下列函数中为偶函数的是( )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋
2、下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y= B.y=2x-1 C.y=-x D.y=x2-3x
3、函数f(x)＝－x的图像( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
4、如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
－2 B．2 C．1 D．0
5、已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2019)＝k，则f(－2019)＝( )
A．k B．－k C．1－k D．2－k
6、若函数f(x)=ax+1在R上是减函数,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是( )
A.[2,+∞) B.(-∞,2] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
7、设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )
A．f(－π)>f(3)>f(－2) B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(3)>f(－2)>f(－π) D．f(3)>f(－π)>f(－2)
8、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝4x－1，则在(1，3)上，f(x)≤1的解集是( )
A． B．
C． D．[2，3)
二、多选题
9、设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|＋g(x)是偶函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
10、已知函数f(x)=x2的值域是[0,4],则它的定义域可能是( )
A.[-1,2] B.[-3,2] C.[-1,1] D.[-2,1]
11、设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
12、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
三、填空题
13、已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
14、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________．
15、若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________.
16、已知f(x)在定义域内是减函数,且f(x)>0,在其定义域内,下列函数为增函数的是 .(填序号)
①y=a+f(x)(a为常数);②y=a-f(x)(a为常数);③y=;④y=[f(x)]2.
解答题
17、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2－x3； (2)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；
18、(1)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，则当x＜0时，求f(x)的表达式.
(2)已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，求f(x)的表达式
19、已知f (x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，用定义证明函数的单调性并求函数f (x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f (x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
20、设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
21、已知定义在R上的函数f (x)满足：①f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1；②当x>0时，f (x)>－1.
(1)求f (0)的值，并证明f (x)在R上是增函数；
(2)若f (1)＝1，解关于x的不等式f (x2＋2x)＋f (1－x)>4.
22、已知函数在定义域上单调递增
(1)求的取值范围；
(2)若方程存在整数解，求满足条件的的个数.
