数学北师大版（2019）必修第一册4.1对数的概念 教案

第四章　对数运算与对数函数
第1节　对数的概念
4.1.1对数的概念
前面学习了指数运算和指数函数，对数是在指数运算基础上定义的一种新的运算，也可以认为是一种新形式的数，是指数运算的深化。利用指数式与对数式的互化，体会转化思想在对数计算中的作用，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，来帮助学生理解对数的概念。将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，为学生学习对数函数的性质打下基础。
(1)知识目标：
掌握对数式和对数运算的概念，灵活运用指数式与对数式的互化进行简单的对数运算；掌握常用对数和自然对数的概念。
(2)核心素养目标：
掌握好指数式与对数式的联系，有助于理解对数式的含义、熟练进行对数运算，通过对数运算的学习，可以提升学生的数学抽象、数学运算等核心素养。
(1) 指数式与对数式之间的互相转化关系；
(2) 对数的定义及相关概念，常用对数、自然对数的概念；
(3) 利用指数式与对数式的关系进行简单的对数运算。
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一、知识引入
思考讨论：
(1)对于指数，是大家熟悉的实数运算，显然，如果问题转化为：若，则
提示：.
(2)第三章提到，经测算薇甘菊侵害田地面积(单位hm2)与年数（年）的关系式为
.其中为侵害面积的初始值
现在，设经过年后，薇甘菊的侵害面积会增长到原来的5倍，可得
即
如何求的值呢？
提示：这是一种已知幂，求指数的运算，这就是下面要讲的对数运算.
二、新知识
1、一般的，如果(且)的次幂等于，即，那么叫作以为底的对数，
记作
即以为底的对数等于
其中，叫做对数的底数，叫作真数.
例如：，则；，则
思考（2）中 ，.
注意：
①给定底数后，对数运算是指数运算的逆运算
如：，则；
②
其中底数 且，真数
对数式，表示的是一个数，即“的多少次方等于的那个数”
故；
③由对数的概念易知：；；
2、在对数运算中，经常用到两个特殊底数的对数
底数的对数，叫作常用对数 ，简记为
底数（是一个无理数，）的对数，叫作自然对数 ，简记为
如：，
例1.将下列指数式改写为对数式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：由对数的定义，得
(1)； (2)；
(3)； (4).
例2.将下列对数式改写成指数式：
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：由对数的定义，得
（1）； （2）；
（3）； （4）.
例3.求下列各式中的值：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6).
解：由对数的定义，得
(1)；
(2)，∴
(3)，因为底数，，∴；
(4)；
(5)；
(6).
思考讨论（综合练习）
(1)求下列各式中的取值范围：
①； ②.
(2) 求下列各式中的值：
① ②
提示：(1) ①由对数式有意义，则，即，∴；
②由对数式有意义，则,得
即，∴．
(2) ①由对数的定义，，解得.
②，所以，解得
三、课堂练习
教材P98，练习1、2、3.
四、课后作业
教材P98，习题4-1：A组第1、2、3，B组第1题.
掌握对数式与指数式的关系，可以正确进行对数式的运算，也是理解对数运算性质的关键。
因为指数，所以真数，即对数式（且）有意义的条件为。