数学北师大版（2019）必修第一册1.2.1必要条件与充分条件 教案

第一章 预备知识
第二节 常用逻辑用语
2.1　必要条件和充分条件
常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.本节的内容包括必要条件、充分条件、充要条件，通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
一．教学目标：
理解必要条件，充分条件，充要条件的概念，
2、能够判断命题之间的充分必要关系
二. 核心素养
数学抽象：必要条件，充分条件，充要条件概念抽象概括
逻辑推理：本节内容依初中所学的定理，研究条件和结论的关系，引出本节知识点，从而体
现数学知识的连贯性和逻辑性
3. 数学运算：判断命题之间的充分必要关系；利用充分必要关系求参数
直观想象：讲解本节知识，利用初中所学过的定理，分析它们条件与结论的关系，从而引出
抽象概述了充分，必要的概念，这种教学方式让学生更能直接的理解一个命题中，
条件与结论的关系
5. 数学建模：常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
重点：充分条件、必要条件的概念．
难点：判断命题的充分条件、必要条件。
PPT
一：必要条件与性质定理
（1）知识引入
定理1菱形的对角线互相垂直,即如果四边形为菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直.
定理1是菱形的性质定理，即对角线互相垂直是菱形必有的性质.也就是说，如果能确 定四边形为菱形,那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直，而一旦某个四边形的对 角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形.
思考交流：试用上面的方法分析定理2，定理3
定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
定理3如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形的对应角相等.
（2）必要条件的概述：
一般地，当命题“若p,则q”是真命题时，称q是p的必要条件.也就是说，一旦q不成立,p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的.
例如,在定理1中，“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.
例1:将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述：
平面四边形的外角和是360°；
在平面直角坐标系中,关于(轴对称的两个点的横坐标相同.
解(1) “平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角 和为360°”,所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件；
“在平面直角坐标系中，关于(轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“若平面直 角坐标系中的两个点关于(轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相 同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于(轴对称”的必要条件.
二．充分条件与性质判断
(1)知识引入
定理 4 若 a>0, b>0,则 ab>0.
定理4是说:如果满足了条件a>0, b>0”,一定有结论 ab>0. ,但要注意，使得ab>0 的条件不唯一，例如，由a<0,b<0,也可以判定ab>0.实际上，定理4告诉我们：只要有了 a>0,b>0"这个条件，就可以判定ab>0”.
思考交流：试用上面的方法分析定理5，定理6
定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形.
定理6平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似.
充分条件概述
一般地，当命题“若p则q”是真命题时，称p是q的充分条件.
综上，对于真命题“若p,则q”，即pq时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件
例2: 用充分条件的语言表述下面的命题：
若 a=-b，则 |a|=|b|
若点C是线段AB的中点，则|AC|=|BC|
当ac<0时,一元二次方程ax2十bx十c = 0有两个不相等的实数根.
解 ( 1) “a = —b"是"|a|=|b|"的充分条件；
（2）“点C是线段AB的中点”是“ | AC | = | BC|的充分条件；
（3）“ac<0”是“一元二次方程 ax2十bx十c = 0 有两个不相等的实数根”的充分条件.
三. 充要条件
（1）知识引入
勾股定理如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理的逆定理如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（1）在勾股定理中，“两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件; “三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件.
（2）在勾股定理的逆定理中，“三角形是直角三角形”是“三角形的两边的平方和等于第三边 的平方”的必要条件; “三角形的两边的平方和等于第三边的平方”是“三角形为直角三角形” 的充分条件.
充分必要条件概述
一般地，如果pq ,且qp.那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件, 记作pq.
当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件.
p是q的充要条件也常常说成p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”.
例3在下列各题中，试判断p是q的什么条件.
p: A B q: A∩B=A
p: a=b q :|a|=|b|
p：四边形的对角线相等, q：四边形是平行四边形.
解(1)因为命题“若 A B ，则A∩B=A，为真命题，并且“若A∩B=A，则A B ，也为真命题，所以p是q的充要条件；
因为”a=b” “ | a |=|b| ”但是“| a |=|b|”不能推出“a=b”,例如,“丨 1 |=|-1 | ”， 而“1不等于-1”,所以p是q的充分条件，但不是必要条件；
（3）因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.
四. 知识题型讲解
例：判断下列充分必要条件
（1）．设a，b为正数，则“a﹣b＞1”，是“a2﹣b2＞1”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：a，b为正数且a﹣b＞1，
∴a＞b+1，
∴a+b＞1，
∴a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＞1，
∴“a﹣b＞1”，是“a2﹣b2＞1”的充分条件；
∵由（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＞1得不出a﹣b＞1，
故“a﹣b＞1”是“a2﹣b2＞1”的充分不必要条件．
故选：B．
（2）．已知x，y∈R，则”x＞1或y＞1”是“x+y＞2”的（　　）
A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．既非充分也非必要条件
解析：解：x，y∈R，则”x＞1或y＞1”推导不出“x+y＞2”，
例如x＝3＞1，y＝﹣4＜1，则x+y＝﹣1＜2，
x，y∈R，“x+y＞2” ”x＞1或y＞1”，
∴x，y∈R，则”x＞1或y＞1”是“x+y＞2”的必要非充分条件，
故选：B．
（3）. “x＝5“是“x2﹣4x﹣5＝0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：求解方程x2﹣4x﹣5＝0可得：方程两根为x1＝﹣1，x2＝5
即x2﹣4x﹣5＝0 {﹣1，5}
∴“x＝5“是小范围，{﹣1，5}是大范围
∴“x＝5“是x2﹣4x﹣5＝0的充分不必要条件
故选：A．
根据充分必要条件，求参数值
（1）．已知集合A＝{x|﹣6≤x＜3}，C＝{x|3x+m＜0}．若x∈C是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围．
解析：由已知，得C＝{x|x≤﹣}，
因为x∈C是x∈A的必要条件，所以A C，
又因为A＝{x|﹣6≤x≤3}，
所以﹣≥3，解得m≤﹣9．
故所求实数m的取值范围为：{m|m≤﹣9}．
（2）．已知P＝{x|x2﹣3x+2≤0}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．
解析：P＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|1≤x≤2}．
（1）要使x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，即此方程组无解，
则不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件；
（2）要使x∈P是x∈S的必要条件，则S P，
①当S＝ 时，1﹣m＞1+m，解得m＜0；②当S≠ 时，1﹣m≤1+m，解得m≥0
要使S P，则有，解得m≤0，所以m＝0，
综上可得，当实数m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件
本章节内容主要让学生能够充分掌握和理解充分，必要条件的概念，能了够独立的分析命题之间的关系，从而判断他们之间的充分，必要关系，同理会根据命题的充分必要关系，求解参数范围.