数学北师大版（2019）必修第一册2.2.2函数的表示法 教案

第 二 章 函 数
第2.2节　函数的表示法教学设计
函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一．
学习函数表示法，可以加深对函数概念的理解，领悟数形结合，化归等函数思想，函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．
教学目标：
（1）明确函数的三种表示方法；
（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；a
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．
二. 核心素养
数学抽象：函数的表示方法的理解
逻辑推理：通过引导学生回答问题，培养学生的自主学习能力；通
过画图像，培养学生的动手操作能力；
数学运算：会函数图像，根据图像分析函数的定义域，值域
直观想象：通过一些实际生活应用题，让学生感受到学习函数表示的必要性，并体会数学 源于生活用于生活的价值；通过函数的解析式与图像的结合，渗透数形结合思想方法。
数学建模:通过本节课的教学，使学生进一步认识到，数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．
教学重点
函数的三种表示方法，分段函数的概念
教学难点
根据题目的已知条件，写出函数的解析式并画出图像
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函数的表示方法
（1）解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。
如初中： 学习的一次函数、一元二次函数、反比例函数的关系式,都是解析法.
（2）列表法：列表法直接通过表格读数,不必通过计算，就表示出了两个变量之间的对应值,非常直 观.但任何一个表格内标出的数都是有限个，也就只能表示有限个数值之间的函数关系.若 自变量有无限多个数，则只能给出局部的对应关系.
（3）图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。（见课本P53页图2-2 我国人口出生变化曲线）比如心电图：
但不是所有函数都可以用图像表示：如狄利克雷函数：
2. 函数表示的三种方法对比：
函数表示方法 优点 缺点
解析法 1、简明、全面地概括了变量间的关系； 2、通过解析式求出任意一个自变量的值对应的函数值。 不够直观形象
列表法 不需要计算就可以直接看出 与自变量相对应的函数值 只适用于自变量数目少的函数
图像法 直观形象反映变化趋势 不精确
所以：为了清楚地表示一个函数关系，需要有针对性地选择适当的表示方法，有时需要多种方 法综合运用.在实际问题中，还常常需要把函数的某种表示方法转化为另一种表示方法.
例3画出函数f(x)=|x|的图象.
解:由绝对值的意义，可知
其图象为第一、二象限的角平分线，如图2-6.
例4：画出取整函数y=[x」的局部图象.
解 依题意知函数y=[x]的定义域为R,值域是Z.
它的局部图象如图：2-7
题型一：1．下列图象中不能表示函数的图象的是（　　）
A．B． C．D．
2．对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是（　　）
A． B． C．D．
题型二：求函数解析式的方法：
代入法
例．已知函数f（x）＝3x+2，则f（x+1）＝　3x+5　．
【解答】解：∵函数f（x）＝3x+2，
∴将上式中的“x”用“x+1”代入
f（x+1）＝3（x+1）+2＝3x+5．
故答案为：3x+5．
换元法
例：．若f（2x+1）＝6x+5，则f（x）的解析式是（　　）
A．f（x）＝3x+2 B．f（x）＝3x+1 C．f（x）＝3x﹣1 D．f（x）＝3x+4
【解答】解：令2x+1＝t，∴；
∴f（t）＝3（t﹣1）+5＝3t+2；
∴f（x）＝3x+2．
故选：A
配凑法
例.已知函数f（+2）＝x+4+5，则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝x2+1 B．f（x）＝x2+1（x≥2）
C．f（x）＝x2 D．f（x）＝x2（x≥2）
【解答】解：；
∴f（x）＝x2+1（x≥2）．
故选：B．
待定系数法
例．已知f（x）是一次函数，且f（x﹣1）＝3x﹣5，则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝3x+2 B．f（x）＝3x﹣2 C．f（x）＝2x+3 D．f（x）＝2x﹣3
【解答】解：设f（x）＝kx+b，（k≠0）
∴f（x﹣1）＝k（x﹣1）+b＝3x﹣5，即kx﹣k+b＝3x﹣5，
比较得：k＝3，b＝﹣2，
∴f（x）＝3x﹣2，
故选：B．
方程组法
例1：若函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，则f（x）等于（　　）
A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．3x+3
【解答】解：函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，
令x＝﹣x，则：f（﹣x）﹣2f（x）＝3（﹣x）﹣1．
则：，
解方程组得：f（x）＝x+1．
故选：A．
例2．已知函数f（x）满足，则f（x）的解析式为　　
【解答】解：在f（x）﹣2f（）＝2x﹣1 ①中令x＝，
得f（）﹣2f（x）＝﹣1 ②，
由①②联立消去f（）得f（x）＝﹣x﹣+1，
故答案为：f（x）＝﹣x﹣+1．
题型三：函数图像表示
例．如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（　　）
A．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天
B．这15天日平均温度的极差为15℃
C．由折线图能预测16日温度要低于19℃
D．由折线图能预测本月温度小于25℃的天数少于温度大于25℃的天数
【解答】解：A选项，日平均温度的方差的大小取决于日平均温度的波动的大小，7，8，9三日的日平均温度的波动最大，故日平均温度的方差最大，正确；
B选项，这15天日平均温度的极差为18℃，B错；
C选项，由折线图无法预测16日温度要是否低于19℃，故C错误；
D选项，由折线图无法预测本月温度小于25℃的天数是否少于温度大于25℃的天数，故D错误．
故选：A．
本章节主要让学生掌握函数的表示方法，列表发，图像法，解析法，同时，必需让学生掌握5种求解析式的方法。