数学北师大版（2019）必修第一册1.3.1不等式的性质 教案

第一章　预备知识
第3节　不等式
3.1不等式的性质
与相等关系一样，不等关系是数学中最基本的数量关系，作为预备知识，掌握好不等关系和不等式的基本性质，是证明和求解不等式的基础，是解决二次函数和二次不等式问题的前提，通过不等关系和不等式性质的学习，有助于提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力，同时为培养学生数学建模能力奠定基础。
(1)知识目标：
掌握作差法比较两个实数（代数式）大小的基本方法；掌握不等式的基本性质；熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形、运算和证明。
(2)核心素养目标：
通过不等式性质的运用，提高学生数学运算能力和数学建模能力。
（1）作差法比较两个实数（代数式）的大小；
（2）不等式的基本性质；
（3）熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形、运算和证明。
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复习引入
一天，同学甲问同学乙：“你今年多少岁了？”乙回答说：“16岁了，你呢？”“我满15岁了，哈哈！再过一年，明年我们就一样大了！”乙默然。这个对话里面包含了什么数学知识呢？
提示：两人相差1岁，过一年，两人的年龄同时加1，不可能相等。
思考讨论：
高速路上的限速标志，上面的数字是什么意思？
提示：车速为，行车道上的车速应该满足.
二、新知识
在生活中，有很多数量关系的问题，它们既有相等关系，又有不等关系。在数学中，用不等式来表示不等关系。
1、实数大小的比较
两个实数，如果，那么；如果，那么；如果，那么.
即
注意：①这种比较实数大小的方法叫作“作差法”，另外在数轴上可以更加直观的看出两个实数的大小；
②比较两个代数式的大小，基本方法也是“作差法”，作差后的结果一般要进行因式分解或配方，然后与0相比较。
如：已知实数，试比较与的大小.
例1.试比较与的大小.
解：作差比较，
例2.试证明：若，，则.
证明：作差比较，
因为，所以，又因，所以
2、不等式的基本性质
性质 内容 备注
性质1 如果，且，那么 传递性
性质2 如果，那么 加（减）乘（除）运算
性质3 如果，，那么 如果，，那么
性质4 如果，，那么 同向不等式相加
性质5 如果，，那么 如果，，那么 不等式相乘
注意：①以上性质均可以利用“作差法”给出证明，下面以性质4为例给出证明，其它，请同学们自行完成.
性质4的证明：
因为，，有，，所以有
得
②根据性质5，可以得出不等式乘方（开方）的运算性质.
即：如果，，那么
如果，，那么
③不等式的变形、运算等，务必根据性质进行，避免错误.
如：如果，那么，对吗？
提示：不正确，要由得到，应该将不等式两边同乘以，但条件并没有给出的正负，所以结论错误
例3. (1)已知，，求证：；
(2)已知，，求证：.
证明：(1)因，则，由不等式的性质3，，得.
(2)因. 由不等式的性质3，
再由，利用不等式的性质4，同向不等式相加，得
思考讨论(综合练习)：
(1)已知，，求证：；
(2)已知，，求的范围；
(3)已知，，求的范围.
提示：(1)作差，
因，，，所以
得.
(2)由得，与不等式相加得
即.
(3)设，则，且
所以，与上(2)小题一样
得.
三、课堂练习
教材P26，练习1～6.
四、课后作业
教材P30，习题1-3，A组1～5
(1)“作差法”比较大小，是证明不等式的基础，另外还可以采用“作商法”，即如果，，则；
(2)不等式的基本性质是不等式变形、化简、证明的基础，不仅要熟练运用基本性质，还要特别注意性质中的条件.