3.1.1椭圆的定义及其标准方程（第二课时）人教A 版2019（共15张PPT）

(共15张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.1.1 椭圆及其标准方程
（第二课时）
学习目标
1 巩固椭圆的定义及椭圆的标准方程；
2 应用椭圆的定义及椭圆的标准方程解决相关问题.
一)新课引入
椭圆的定义及其标准方程之间是什么关系
互为充要条件，可以从方程角度认识椭圆
二)讲授新课
例2 如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
分析：设点M(x, y), 点P（x0, y0），由点M是线段PD的中点，得：x0 =x,y0=2x.
由已知，点P（x0, y0）在圆x2+y2=4上
将x0 =x,y0=2x代入x2+y2=4成立。
即x2+4y2=4
两边同除以4得：+y2=1
从方程角度看，+y2=1表示椭圆的焦点在x轴上的标准方程。
思考：如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P圆上运动时，线段PD上点M满足=λ(λ>0且λ≠1)，M的轨迹是什么？为什么？
分析：设点M(x, y), 点P（x0, y0），D（x0, 0）
由已知 x=x0 又=λ
（0，y）=λ(0,y0)
∴ x=x0 y0 =
∴ +=1
当 0<λ<1时， <4,+=1 表示焦点在x轴上的椭圆;
当 λ>1时, >4,+=1 表示焦点在y轴上的椭圆.
综上 由圆可以按照某一确定的条件得到椭圆。
例3：如图设A，B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是
- ，求点M的轨迹方程.
分析:设M(x, y),则kAM= , kBM=
由已知 kAM kBM =-
即 =-
化简得：+=1 焦点在x轴上的椭圆
(除去A，B两点)
思考 如图设A，B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是m(m≠0)，求点M的轨迹方程.
分析：设M(x, y),则kAM= , kBM=
由已知 kAM kBM =m 即 =m
化简得：+=1
当-1当m<-1时，+=1表示焦点在y轴上的椭圆;
当m=-1时,+=1表示圆.
综上 一动点与两个定点各确定的两直线的斜率之积是小于0且不等于1的负数时,动点的轨迹是椭圆.
跟踪练习:
1 已知A(0，-1)，B(0，1)，三角形ABC的周长为6，求顶点C的轨迹方程.
分析：∣AB∣=2,则∣CB∣+∣CA∣=4>∣AB∣=2
则动点C的轨迹是椭圆.
2a=4,a=2;2c=2,c=1;b2 =3;椭圆的焦点在y轴上.
故所求椭圆的方程 ：
+=1 (y≠±1)
2如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，
并且在定圆B：(x-3)2+y2=64的内部并且与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程.
分析：A(－3,0)，B(3,0)，
∣PA∣+∣PB∣=16 >∣AB∣=6
∴动圆圆心P的轨迹是椭圆
a=8;c=3;b2 =55;焦点在x轴上。
∴所求椭圆的标准方程：
+=1
3 已知A(-1，0)，B(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之商是2，M的轨迹是什么？为什么？
分析：设M(x, y),则kAM= , kBM=
kAM =2kBM ，即 =（y≠0）
化简得：2x+2=x-1
x=-3（y≠0）
M的轨迹是两条射线
对于第3题：
如果把“它们的斜率之商是2”改为“它们的斜率之商是m”,其他不变，再求M的轨迹方程。
分析 依新条件得 （m-1）x=-1-m
m=1时，无轨迹；
m≠1时，x=
三 课堂小结
(1) 从方程的角度看是否是椭圆；
(2) 求动点的轨迹要设好动点的坐标（x,y）；
(3) 设法寻找动点满足的等式。
四 作业：
课本P109 第 3，4题