3.1.2椭圆的简单几何性质（第一课时）人教A 版2019（共15张PPT）

(共15张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.1.2 椭圆的简单几何性质
（第一课时）
学习目标
1 理解并掌握椭圆简单几何性质；
2 结合椭圆的定义及椭圆的标准方程理解其简单几何性质.
一)新课引入
从椭圆的标准方程:+=1
可变形为（）2 +（）2 =1
由此你想到什么？
二)讲授新课
1 范围
由 （）2 +（）2 =1 得：
（）2 ≤1，或（）2 ≤1
即-a≤x≤a,或-b≤x≤b
如图所示：整个在x=±a,
y=±b围成
的矩形框内
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
c
a
b
x
2 对称性
设椭圆上任意一点P（x,y），其关于x轴的对称点P1 的坐标（x,-y）,将其代入+=1，方程不变，说明椭圆关于关于x轴的对称；同理，椭圆关于关于y轴的对称,也关于原点的对称。
也可以从图形上观察得到
x
y
O
F1
F2
3、椭圆的顶点
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
a、b分别叫做椭圆的
长半轴长和短半轴长。
x
y
O
F1
F2
(0,-b)
(0,b)
(-a,0)
(a,0)
A1
A2
B2
B1
4、椭圆的离心率e
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 ，叫做椭圆的离心率,用e表示，即 e=
由于a>c>0,则 e∈（0,1）
∵b=
∴b=
e越趋近于1，b越小，椭圆越扁；e越趋近于0，b越大，椭圆越接近圆。如上图所示
O
x
y
例1.求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
分析 把已知方程化成标准方程为 : ＋＝1
得 a＝9，b＝3，c=6.
所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，e=
两个焦点的坐标分别为F 1（-3 ，0），
F2（3 ，0）.
四个顶点的坐标分别为A1(－9，0)，A2(9，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)
例2 求适合下列条件的椭圆的方程:
(1) 长轴长是10,离心率是;
(2) x 轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直.焦距是6.
分析 (1)由已知2a＝10，a＝5；=,c=4.
则b2=9. 若椭圆的焦点在x轴上,椭圆的标准方程是：+=1;
若椭圆的焦点在y轴上,
椭圆的标准方程是：+=1
(2) x 轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直.焦距是6.如图
分析：由椭圆的对称性，
x
y
O
F1
F2
A1
A2
ΔA1F2A2 是等腰直角三角形，
则OF2=OA1 =b=c=3
a2=18,所求椭圆的方程：
+=1
三 课堂练习
1 已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于（ ）
2 若椭圆 ，则k=( )
分析：1 已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9. 如图,
可能是a+c=9 或a-c=9；
又b=3 , a2=b2+c2
∴a-c=9不能成立。
∴a+c=9 成立
∴c=4
∴a=5
e= =
x
y
O
F1
F2
对于第2题：椭圆
由题意
k+8 >0,当k+8 >9 ，即 k>1时，焦点在x轴上,
a2=k+8, b2 =9, c2 =k-1, ∴e2 == k=4
k+8 >0,当k+8 <9 即-8a2=9，b2 =k+8， c2 =1-k
e2 == k= - 符合条件。
综上 k=4或 k= -
三 课堂小结
(1)椭圆的简单几何性质？
(2)椭圆的标准方程与椭圆的简单几何性质的关系？
四 作业：
课本P112 第 2， 3，,5题