空间向量的坐标
【教学目标】 1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。 2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
【教学重点】 1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 2．用空间向量的坐标判断两个空间向量平行。
【教学难点】 空间向量的坐标的确定；
【教学过程】
复习回顾： 1、如图，在平面直角坐标系中，的如何表示？ 2、已知，求的坐标。 3、若，则的坐标是什么？ 探究一： 1、在空间直角坐标系中，表示： 在空间直角坐标系中，分别取与轴、轴、轴方向相同的单位向量作为基向量，对于空间任意一个向量，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组， 使。 有序实数组叫做向量在空间直角坐标系中的坐标，记作： 探究二： 已知，求的坐标。 探究三： 若，， = ； = ； = ；（其中） 探究四： 对空间任意两个向量，与共线的充要条件是： ； 问：上述充要条件可以用坐标表示吗？ ； 数学应用： 例1、已知，求，，。 例2、已知空间四点，,和，求证：四边形ABCD是梯形； 思考：已知点、，求的坐标； 例3、，，，则x= ；z= ； 课堂反馈： 1、若为一个单位正交基底试口答下列向量的坐标： （1）； （2）； （3）； 2、已知向量，则； 3、已知A（3，8，-5），B（-2，0，8），则向量； 4、判断下列各小题中的两个向量是否平行： （1）； （2）； 5、设，且，则m= ，n= ； 课堂小结： 1、本节课学习了空间向量及其运算的坐标表示，为我们解决向量的问题提供了崭新的方法； 2、在探究空间向量及其运算的坐标表示时，类比了平面向量的坐标表示，体现了类比的思想； 3、向量的坐标表示体现了数形结合的思想。解决向量的问题可以建立空间直角坐标系，将向量用坐标表示，通过坐标运算，有关空间向量的平行等问题； 课后作业：【课题】空间直角坐标系
【课时安排】1个课时.
【教学对象】高二（上）学生.
一．教材分析：
本节内容主要引入空间直角坐标系的基本概念，是在学生已学过的二维平面直角坐标系的基础上进行推广，为以后学习用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题、研究空间几何对象等内容打下良好的基础。
空间直角坐标系的知识是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；通过空间直角坐标系内任一点与有序数组的对应关系，实现了形向数的转化，将数与形紧密结合，提供一个度量几何对象的方法。其对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。
二．教学目标：
知识与技能
（1）能说出空间直角坐标系的构成与特征；
（2）掌握空间点的坐标的确定方法和过程；
（3）能初步建立空间直角坐标系。
过程与方法
（1）结合具体问题引入，诱导学生自主探究；
（2）类比学习，循序渐进。
情感态度价值观
（1）通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，进而拓展自己的思维空间。
（2）通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系，并加深领会研究事物从低维到高维的方法与过程。
（3）通过对空间坐标系的接触学习，进一步培养学生的空间想象能力。
三．教学重点与难点：
教学重点：空间直角坐标系相关概念的理解；空间中点的坐标表示。
教学难点：右手直角坐标系的理解，空间中点与坐标的一一对应。
四．教学方法：启发式教学、引导探究
五．教学基本流程：
复习旧知，创设情境
↓
引导探究，动手实践
↓
建构数学，类比学习
↓
应用迁移，拓展升华
↓
课堂小结，布置作业
六．教学情境设计：
教学 环节 教 学 内 容 教师 活动 学生 活动 设 计 意 图
（一）
复习 旧知，创设 情境 约 5分钟 回顾： 1．平面直角坐标系的建立方法 2．平面内点的坐标的表示方法 3．平面内点与坐标之间的一一对应关系 提问： 如何确定我们教室在学校中的地理位置？ 在图书室的书架上如何确定某本书的位置？ 看电影的时候如何寻找自己的座位？ 那么如何确定吊灯在房间中的位置？ 教师 回顾 旧知，然后 通过 一系 列生 活场 景的 发问，激发 学生 学欲 望
学生 思考，回答 问题 （1）通过复习建立新旧知识间的联系，为引入新课做好准备。 （2）通过实际问题的情境创设，吸引学生的注意力，让学生积极感受到数学与生活的紧密联系。
（二）
引导 探究，动手 实践 约 6分钟 思考：
借助于平面直角坐标系，我们就可以用坐标来表示平面上任意一点的位置，那么能不能仿照直角坐标系的方式来表示空间上任意一点的位置呢？不妨动手试一试……
思路点拨：
通过在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置可以用一对有序实数对（x，y）确定。那么为了确定不在地面内的物体（如吊灯）的位置，我们还需要什么（第三个数表示物体离地面的高度）怎么来表示
教师 初步 引导 学生 操作
学生 动手 画图， 思考 与表 达 （1）充分调动学生的积极性，组织学生讨论、探究，合作学习，教师成为学生学习的促进者与合作者。 （2）引导学生通过合情的猜想类比逐步探索出空间直角坐标系，达到使学生掌握一定的类比猜想能力的教学目标。
（三）
建构 数学， 类比 学习 约 19分钟 概念引入：
如图所示，是单位正方体，以为原点，分别以射线的长为单位长，建立三条数轴：轴、轴、轴。这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点叫做坐标原点，轴、轴、轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面。
【总特点】从一点引出三条互相垂直的射线。
小组讨论：
由空间直角坐标系的定义，类比联系平面直角坐标系，并结合正方体直观图的画法，试总结在平面上画出的空间直角坐标系有什么特点？ 总结： 1、空间直角坐标系的三要素：原点、坐标轴方向、单位长。 2、在平面上画空间直角坐标系时，一般使。 3、在y轴、z轴上的长度都取原来的长度，而在x轴上的长度取原长度的一半，即x轴上的单位长度在平面内表现出来时是y轴、z轴上的单位长度的一半。 概念引入：
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
【延伸拓展】右手直角坐标系的其它解释——先把大拇指指向轴正方向，把其余四指指向轴正方向，然后握成拳头，这时四指扫过原平面直角坐标系的第一象限从轴正方向到轴正方向。
思考讨论：
给定空间一点M，类比平面直角坐标系中点的坐标的确定方法，如何确定点M的坐标？
过程解释：
如图所示，设为空间的一个定点，过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，依次交轴、轴和轴于点、和，设点、和在轴、轴和轴上的坐标分别为，那么点就对应唯一确定的有序实数组（）。 反过来，给定有序实数组（），我们可以在轴、轴和轴上分别取坐标为实数和的点、和，分别过、和各作一个平面，分别垂直于轴、轴和轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（）确定的点。 这样，空间一点的坐标可以用有序实数组（）来表示，有序实数组（）叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作（）.其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标。
问题解决：
回到刚刚的吊灯，若这个灯在平面上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置。
教师 根据 学生 的想 法逐 步引 导学 生类 比平 面直 角坐 标系 的知 识进 行探 究，并适时 给予 概念 的渗 入与 解释。
教师 引导 讲解
教师 引导 讲解
老师 引导 分析
学生 经过 教师 的指 导，在 探究 中积 极思 考，逐 步形 成空 间坐 标概 念。
学生 思考 探究， 小组 讨论
学生 观察 思考 理解
学生 观察 思考 领悟
学生 思考 体会
（1）在学生形成模糊概念时进行概念引入，让学生更容易接受概念、理解概念。
（2）加强学生对空间直角坐标系的认识与理解，避免坐标轴上的单位长度选取不当造成的图形直观性差。
（3）右手直角坐标系的介绍，与物理中的右手定则联系起来，动态的解释，使学生更容易理解直角坐标系的结构特点。
（4）通过类比平面直角坐标系，引导学生探究空间中点的坐标确定过程，让其自己经历数学的变化，从而对新知识的理解更加深刻。
（5）用数字举例解决情景创设的问题，化抽象为具体，帮助学生理解概念的建构。
(四)
学以致用
约 8分钟
例一： 如图，在长方体中， 。 1、写出四点的坐标。 2、若与相交于点P，写出P的坐标。 3、试找出坐标为（3,2,2）与（0,1,0）的点的位置。
例二： 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中色点（浅色点）代表钠原子，黑点（深色点）代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。
教师 引导 分析 讲解 演示
教师 引导 分析， 让学 生尝 试独 立完 成
学生 观察 思考 领悟
学生 理解，独立 思考 （1）通过例题变式和讲解，加深学生对空间直角坐标系的认识，让学生进一步体会空间直角坐标系中点与坐标的一一对应关系，也有利于培养学生的空间想象能力。
（2）在老师的引导下学生独立完成，感受数学与其他学科的联系，以及数学对自然科学研究的工具性，体现了“学有用的数学”这一新课程的基本理念。
（五）
课堂 小结 约 3分钟
1.空间直角坐标系及相关概念：右手系、三要素（原点、坐标轴方向、单位长）、如何建 2.空间直角坐标系中点与坐标的一一对应关系： 1）给出具体的点写出它在空间直角坐标系中的坐标； 2）由具体的点的坐标找出它在空间直角坐标系中的位置。 3.本节课用到的思想方法：数形结合思想、类比的思想。 2.我们为什么要学习空间直角坐标系呢，学了它我们能做什么呢？
在解决某些立体几何问题时，利用空间直角坐标系，可以快速计算出两点的距离，从而找到突破口，得到关键对象的位置关系。 那么如何用坐标计算两点之间的距离呢？让我们共同期待下节数学课的到来！
教师 引导 学生 进行 总结
学生 思考 回答， 理解 体会
锻炼学生的概括总结能力，使学生对所学的知识体系进一步深化，与学习目标相应。
（六）
布置 作业
约 1分钟
家庭作业: 【必做题】 课本136页练习第1,3题；预习【思考题】 1）落在坐标平面、坐标轴上的点的坐标有什么特征？ 2）类比平面直角坐标系中对称点的规律，试总结出空间直角坐标系中对称点坐标间的关系。 【选做题】 对于各棱长都为1的三棱锥,建立空间直角坐标系，写出四点A、B、C、D的坐标。（答案不唯一）
教师 布置 作业
教师 解释 问题
学生 认真 纪录
学生 思考 问题
作业循序渐进，进一步巩固知识；分层次布置作业，既面向全体学生又尊重学生的个体差异。
六．板书设计：
空间直角坐标系
一、基本概念三要素右手系注意二、点与坐标一一对应1、2、 例1
例2
七．创新之处：
充分发挥了学生的主观能动性，引导学生主动思考，亲自动手，激发了学生对新知的兴趣，培养了学生的问题解决能力与数学探究能力，体现了现代数学教育的价值取向。
通过生活实例并结合已学的二维坐标系知识，帮助学生建构空间直角坐标系的概念，循序渐进引导学生理解其结构特点以及点与坐标的关系，体验数学“升级”的过程，尝试对现实世界蕴涵的一些数学模型进行探索思考，作出判断。
