2022年秋季湘教版数学九年级上册第一章 《反比例函数》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·云南）反比例函数y= 的图象分别位于（ ）
A．第一、第三象限 B．第一、第四象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数 y= ，
k=6>0，
∴图象经过第一、第三象限象限.
故答案为：A.
【分析】反比例函数 y= （k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；依此解答即可.
2．（2021·南县）正比例函数y＝2x与反比例函数y＝ 的图象或性质的共有特征之一是（ ）
A．函数值y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点 D．图象经过点（2，1）
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵对于正比例函数y＝2x，2＞0，函数值y随x的增大而增大，
对于反比例函数y＝ ，2＞0，双曲线在每一象限内函数值y随x的增大而减小，
∴A选项不符合题意；
∵对于正比例函数y＝2x，2＞0，直线y＝2x在第一、三象限，
对于反比例函数y＝ ，2＞0，双曲线的两个分支在第一、三象限，
∴B选项符合题意；
∵对于正比例函数y＝2x，它的图象经过原点，
对于反比例函数y＝ ，它的图象与坐标轴没有交点，
∴C选项不符合题意；
∵当x＝2，y＝2×2＝4≠1
∴正比例函数y＝2x的图象不经过点（2，1）.
∵当x＝2时，y＝ ，
∴反比例函数y＝ 的图象经过（2，1），
∴D选项不符合题意.
综上，正确选项为：B.
故答案为：B.
【分析】正比例函数y=kx，当k>0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小；
y=，当k>0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、四象限，y随x的增大而增大，其图象与坐标轴没有交点.
3．（2022·滨州）在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项，
当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
4．（2022·无锡）一次函数y=mx+n的图象与反比例函数y= 的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（- ，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图：
∵A（- ，-2m）在反比例函数y= 的图象上，
∴m=(- ) ( -2m)=2，
∴反比例函数的解析式为y= ，
∴B（2，1），A（- ，-4），
把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，
∴n=-3，
∴直线AB的解析式为y=2x-3，
直线AB与y轴的交点D（0，-3），
∴OD=3，
∴S△AOB=S△BOD+S△AOD
= ×3×2+ ×3×
= .
故答案为：D.
.【分析】将A（-，-2m）代入y=中可得m的值，求出反比例函数的解析式，据此可得点A、B的坐标，将点B的坐标代入y=2x+n中得n的值，求出直线AB的解析式，则得D（0，-3），OD=3，然后根据S△AOB=S△BOD+S△AOD进行计算.
5．（2022·潍坊）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）
A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；
B．∵图象经过点（2，80），（4，60），
∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，
∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；
C．∵图象经过点 （4，60），
∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据图中的数据，进行分析确定答案即可。
6．（2022·朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（-2，m）和B两点，
∴B（2，m），
∴不等式ax＞的解集为x＜2或0＜x＜2，
故答案为：D．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
7．（2022·内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点.若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，
∴PQ＝PM+MQ＝.
∵点P在反比例函数y＝的图象上，
∴ab＝8.
∵S△POQ＝15，
∴PQ OM＝15，
∴a（b﹣）＝15.
∴ab﹣k＝30.
∴8﹣k＝30，
解得：k＝﹣22.
故答案为：D.
【分析】设P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，PQ＝PM+MQ＝b-，根据点P在反比例函数图象上可得ab＝8，然后结合三角形的面积公式可得k的值.
8．（2022·十堰）如图，正方形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上.若 轴，点 的横坐标为3，则 （ ）
A．36 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接AC，与BD相交于点P，
设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）.
∴点D的坐标为（3， ），
∴点C的坐标为（3-t， +t）.
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
∴（3-t）（ +t）=k2，化简得：t=3- ，
∴点B的纵坐标为 +2t= +2（3- ）=6- ，
∴点B的坐标为（3，6- ），
∴3×（6- ）= ，整理，得： + =18.
故答案为：B.
【分析】连接AC，与BD相交于点P，设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），可得点D（3， ），点C（3-t， +t），将点C代入y= 中，可得t=3- ，从而求出点B（3，6- ），将点B坐标代入 中，即可求解.
9．（2022·怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的图象；三角形的面积
【解析】【解答】解：设，
∵BD⊥y轴
∴S△BCD==5，
解得：
故答案为：D.
【分析】设B（m，），则BD=m，△BCD的边BD上的高线为，接下来根据三角形的面积公式就可求出a的值.
10．（2021·梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1 ，y2 的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（ ）
A．5t B． C． D．5
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，记直线y＝t与 轴交于点
由反比例函数的系数 的几何意义可得：
故答案为：C
【分析】记直线y＝t与y轴交于点M，利用反比例函数k的几何意义，可得到△OBM、△OAM的面积，然后根据S△AOB=S△BOM+S△AOM，代入计算可求解.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·遵义）反比例函数与一次函数交于点，则k的值为 .
【答案】6
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将点，代入，
即，
，
.
故答案为：6.
【分析】将A（3，n）代入y=x-1中可得n的值，据此可得点A的坐标，然后代入y=中就可求出k的值.
12．（2022·山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为 Pa．
【答案】400
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为，
由图象得反比例函数经过点（0.1，1000），
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当S=0.25时，．
故答案为：400
【分析】先求出反比例函数的解析式，再将S=0.25代入可得答案。
13．（2022·沈阳）如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则 ．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，如图所示：
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴△AED≌△BOC（AAS），
∵平行四边形ABCD的面积为6，
∴，
∴；
故答案为6．
【分析】先求出，再求出△AED≌△BOC，最后求解即可。
14．（2022·内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点且与函数的图象交于点.若一次函数随的增大而增大，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的图象
【解析】【解答】解：当PQ平行于x轴时，点Q的坐标为，代入中，可得；
当PQ平行于y轴时，点Q的坐标为，可得；
∵一次函数y随x的增大而增大，
∴的取值范围是.
故答案为：.
【分析】当PQ∥x轴时，点Q的坐标为（m，3），代入y=中进行计算可得m的值；当PQ∥y轴时，点Q的坐标为（2，n），同理可得m的值，据此不难得到m的范围.
15．（2022·江西）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为 ．
【答案】5或或
【知识点】等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①当AO=AB时，AB=5；
②当AB=BO时，AB=5；
③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），
设A（a，）（a>0），
∵OA=5，
∴，
解得：，，
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB=或AB=；
综上所述，AB的长为5或或．
故答案为：5或或．
【分析】分三种情况：①当AO=AB时，AB=5；②当AB=BO时，AB=5；③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），设A（a，），根据OA=5，可得，求出a的值，再利用两点之间的距离公式可得AB的长，从而得解。
16．（2022·深圳）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，作轴于点，
由题意知，是中点，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
在反比例函数上，
．
故答案为：．
【分析】先求出OE=1，再求出B'的坐标，最后求出k的值即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示．
（1）求密度关于体积的函数解析式；
（2）当时，求该气体的密度．
【答案】（1）解：设密度关于体积的函数解析式为，
把点A的坐标代入上式中得：，
解得：k=10，
∴．
（2）解：当时，（）．
即此时该气体的密度为1．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出密度关于体积的函数解析式；
（2）将 代入函数解析式即可求出该气体的密度。
18．（2022·菏泽）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积．
【答案】（1）解：将A（2，-4）代入得到，即：．
反比例函数的表达式为：．
将B（-4，m）代入，得：，
，
将A，B代入，得：
，解得：
一次函数的表达式为：．
（2）解：设AB交x轴于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F．
令，则，
∴点D的坐标为（-2，0），
∵过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，
∴A（2，-4）关于原点的对称性点C坐标：（-2，4），
∴点C、点D横坐标相同，
∴CDy轴，
∴
=12．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式即可；
（2）先求出 点C、点D横坐标相同， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
19．（2022·鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；
（2）点是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接，，求的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数y＝x＋2的图象过点A（1，m），
∴m＝1＋2＝3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，
∴B（3，1），
作BDx轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，
代入y＝x＋2得，1＝x＋2，解得x＝ 1，
∴D（ 1，1），
∴BD＝3＋1＝4，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入求出k的值即可；
（2）先求出点D的坐标，再求出BD的长，最后利用三角形的面积公式求出即可。
20．（2022·广安）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA=OB
（1）求反比例函数和一次函数的解析式.
（2）根据图象直接写出当x<0时，不等式kx+b≤的解集.
【答案】（1）解：把代入得，
∴反比例函数解析式为：
∵
∴
∵
∴
∴
∵直线的解析式为
把代入得，，
解得，
∴设直线的解析式为
（2）解：
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：（2）由图象知，当时，kx+b≤ ，
∴不等式kx+b≤的解集为.
【分析】（1）将A（-4，3）代入y=中求出m的值，据此可得反比例函数的解析式，根据勾股定理可得OA，由OA=OB可得OB，据此可得点B的坐标，然后将A、B的坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，进而可得直线AB的解析式；
（2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方或重叠部分，且在y轴左侧部分对应的x的范围即可.
21．（2022·泸州）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为6
（1）求的值；
（2）若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标.
【答案】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点A的纵坐标为6，
∴，x=2，
∴A(2，6)，
∴，b=9
（2）解：，即，
∴x=2(舍去)，或x=4，
∴，
∴B(4，3)，
设C(x，0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
则AE=6，BF=3，
时，x=6，
∴D(6，0)，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴x=4，或x=8，
∴C(4，0)，或C(8，0).
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将y=6代入反比例函数解析式中可得x的值，据此可得点A的坐标，代入直线解析式中进行计算可得b的值；
（2）联立直线与反比例函数解析式求出x、y，可得点B的坐标，设C(x，0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则AE=6，BF=3，易得D(6，0)，根据S△ABC=S△ACD-S△BCD结合三角形的面积公式以及题意可得x的值，据此可得点C的坐标.
22．（2022·仙桃）如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为.
（1）求，的值：
（2）若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图，过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，
∵，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠BOF=∠EAO，
又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴AE=OF，OE=BF，
∵点A的坐标为，
∴AE=1，OE=4，
∴OF=1，BF=4，
∴B（4，-1），
将点A、B分别代入和，
解得，，；
（2）解：由（1）得，点A在图象上，点B在图象上，两函数关于x轴对称，
∵，
∴OC=OA=OB=OD，
只需C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可，如图所示，
∴点C（4，1），点D（1，-4）.
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，根据同角的余角相等可得∠BOF=∠EAO，由已知条件可知OA=OB，证明△AOE≌△BOF，得到AE=OF，OE=BF，根据点A的坐标可得AE=1，OE=4，则OF=1，BF=4，B（4，-1），将点A、B的坐标分别代入y=和y=中就可求出k1、k2的值；
（2）由（1）得，点A在y=图象上，点B在y=-图象上，两函数关于x轴对称，根据全等三角形的性质以及轴对称的性质可得OC=OA=OB=OD，则C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称，据此不难得到点C、D的坐标.
23．（2022·绵阳）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值．
【答案】（1）解：∵在上，
∴，即反比例函数解析式为：，设，
∵四边形的面积为38．
∴，
整理得：，
解得：（舍去），，
∴，
将和代入可得：
解得：，
∴一次函数解析式为：．
（2）解：平移一次函数到第三象限，与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，
设平移后的一次函数解析式为：，
联立可得：，
整理得：，
∵有唯一交点P，
∴，
解得：或（舍去），
将代入得：，
解得：
经检验：是分式方程的根，
∴，连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，
则：
，，，
∴，，，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点M的坐标代入反比例函数解析式，可求出k2的值，即可得到反比例函数解析式；设点N，再利用四边形OAMN的面积为38，可得到关于n的方程，解方程求出n的值，可得到点N的坐标；然后将点M，N的坐标代入一次函数解析式，建立关于k1，b的方程，解方程求出k1，b的值，可得到一次函数解析式.
（2）平移一次函数-x+10到第三象限，可知它与反比例函数有唯一的一个公共点，此时P到MN的距离最短，则此时△PMN的面积最小；设平移后的函数解析式为y=-x+a，将其与反比例函数解析式联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，此时的一元二次方程有两个相等的实数根，解方程求出符合题意的a的值；再将a代入方程，可求出x，y的值，即可得到点P的坐标；连接PM，PN，过点P作PB⊥NA的延长线交于点B，作MC⊥PB交于点C，观察图形可知，利用点的坐标，分别求出△PMC，四边形MCBN，△PNB的面积，代入可求出△PMN的面积的最小值.
24．（2022·眉山）已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；
（3）在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：.
【答案】（1）解：∵直线过点，
∴
∴将代入中，得，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：∵点在的图象上，
∴，
∴
设平移后直线的解析式为，
将代入中，得4=1+b，
解得.
（3）证明：如图，过点作轴于点，过点作轴于点.
∵在反比例函数的图象上，
∴n=-4，
∴B（-4，-1）
又∵，
∴，，
∴
∴，
∴，
又∵直线与轴、轴分别交于点，，
∴，，
∴
在和中，
∴.
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）将M（2，a）代入y=x中可得a=2，则M（2，2），代入y=中求出k的值，据此可得反比例函数的解析式；
（2）将A（1，m）代入反比例函数解析式中可得m=4，则A（1，4），设平移后直线AB的解析式为y=x+b，将A（1，4）代入就可求出b的值；
（3）过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F，将y=-1代入反比例函数解析式中得n的值，则B（-4，-1），结合点A的坐标得AE=BF，OE=OF，由垂直得∠AEO=∠BFO，证明△AOE≌△BOF，得到∠AOE=∠BOF，OA=OB，易得C（-3，0）、D（0，3），则OC=OD，然后利用全等三角形的判定定理进行证明.
1 / 12022年秋季湘教版数学九年级上册第一章 《反比例函数》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·云南）反比例函数y= 的图象分别位于（ ）
A．第一、第三象限 B．第一、第四象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
2．（2021·南县）正比例函数y＝2x与反比例函数y＝ 的图象或性质的共有特征之一是（ ）
A．函数值y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点 D．图象经过点（2，1）
3．（2022·滨州）在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·无锡）一次函数y=mx+n的图象与反比例函数y= 的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（- ，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2022·潍坊）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）
A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
6．（2022·朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
7．（2022·内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点.若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
8．（2022·十堰）如图，正方形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上.若 轴，点 的横坐标为3，则 （ ）
A．36 B．18 C．12 D．9
9．（2022·怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．（2021·梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1 ，y2 的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（ ）
A．5t B． C． D．5
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·遵义）反比例函数与一次函数交于点，则k的值为 .
12．（2022·山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为 Pa．
13．（2022·沈阳）如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则 ．
14．（2022·内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点且与函数的图象交于点.若一次函数随的增大而增大，则的取值范围是 .
15．（2022·江西）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为 ．
16．（2022·深圳）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示．
（1）求密度关于体积的函数解析式；
（2）当时，求该气体的密度．
18．（2022·菏泽）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积．
19．（2022·鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；
（2）点是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接，，求的面积．
20．（2022·广安）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA=OB
（1）求反比例函数和一次函数的解析式.
（2）根据图象直接写出当x<0时，不等式kx+b≤的解集.
21．（2022·泸州）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为6
（1）求的值；
（2）若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标.
22．（2022·仙桃）如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为.
（1）求，的值：
（2）若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由.
23．（2022·绵阳）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值．
24．（2022·眉山）已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；
（3）在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数 y= ，
k=6>0，
∴图象经过第一、第三象限象限.
故答案为：A.
【分析】反比例函数 y= （k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；依此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵对于正比例函数y＝2x，2＞0，函数值y随x的增大而增大，
对于反比例函数y＝ ，2＞0，双曲线在每一象限内函数值y随x的增大而减小，
∴A选项不符合题意；
∵对于正比例函数y＝2x，2＞0，直线y＝2x在第一、三象限，
对于反比例函数y＝ ，2＞0，双曲线的两个分支在第一、三象限，
∴B选项符合题意；
∵对于正比例函数y＝2x，它的图象经过原点，
对于反比例函数y＝ ，它的图象与坐标轴没有交点，
∴C选项不符合题意；
∵当x＝2，y＝2×2＝4≠1
∴正比例函数y＝2x的图象不经过点（2，1）.
∵当x＝2时，y＝ ，
∴反比例函数y＝ 的图象经过（2，1），
∴D选项不符合题意.
综上，正确选项为：B.
故答案为：B.
【分析】正比例函数y=kx，当k>0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小；
y=，当k>0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、四象限，y随x的增大而增大，其图象与坐标轴没有交点.
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项，
当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图：
∵A（- ，-2m）在反比例函数y= 的图象上，
∴m=(- ) ( -2m)=2，
∴反比例函数的解析式为y= ，
∴B（2，1），A（- ，-4），
把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，
∴n=-3，
∴直线AB的解析式为y=2x-3，
直线AB与y轴的交点D（0，-3），
∴OD=3，
∴S△AOB=S△BOD+S△AOD
= ×3×2+ ×3×
= .
故答案为：D.
.【分析】将A（-，-2m）代入y=中可得m的值，求出反比例函数的解析式，据此可得点A、B的坐标，将点B的坐标代入y=2x+n中得n的值，求出直线AB的解析式，则得D（0，-3），OD=3，然后根据S△AOB=S△BOD+S△AOD进行计算.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；
B．∵图象经过点（2，80），（4，60），
∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，
∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；
C．∵图象经过点 （4，60），
∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据图中的数据，进行分析确定答案即可。
6．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（-2，m）和B两点，
∴B（2，m），
∴不等式ax＞的解集为x＜2或0＜x＜2，
故答案为：D．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，
∴PQ＝PM+MQ＝.
∵点P在反比例函数y＝的图象上，
∴ab＝8.
∵S△POQ＝15，
∴PQ OM＝15，
∴a（b﹣）＝15.
∴ab﹣k＝30.
∴8﹣k＝30，
解得：k＝﹣22.
故答案为：D.
【分析】设P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，PQ＝PM+MQ＝b-，根据点P在反比例函数图象上可得ab＝8，然后结合三角形的面积公式可得k的值.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接AC，与BD相交于点P，
设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）.
∴点D的坐标为（3， ），
∴点C的坐标为（3-t， +t）.
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
∴（3-t）（ +t）=k2，化简得：t=3- ，
∴点B的纵坐标为 +2t= +2（3- ）=6- ，
∴点B的坐标为（3，6- ），
∴3×（6- ）= ，整理，得： + =18.
故答案为：B.
【分析】连接AC，与BD相交于点P，设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），可得点D（3， ），点C（3-t， +t），将点C代入y= 中，可得t=3- ，从而求出点B（3，6- ），将点B坐标代入 中，即可求解.
9．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的图象；三角形的面积
【解析】【解答】解：设，
∵BD⊥y轴
∴S△BCD==5，
解得：
故答案为：D.
【分析】设B（m，），则BD=m，△BCD的边BD上的高线为，接下来根据三角形的面积公式就可求出a的值.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，记直线y＝t与 轴交于点
由反比例函数的系数 的几何意义可得：
故答案为：C
【分析】记直线y＝t与y轴交于点M，利用反比例函数k的几何意义，可得到△OBM、△OAM的面积，然后根据S△AOB=S△BOM+S△AOM，代入计算可求解.
11．【答案】6
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将点，代入，
即，
，
.
故答案为：6.
【分析】将A（3，n）代入y=x-1中可得n的值，据此可得点A的坐标，然后代入y=中就可求出k的值.
12．【答案】400
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为，
由图象得反比例函数经过点（0.1，1000），
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当S=0.25时，．
故答案为：400
【分析】先求出反比例函数的解析式，再将S=0.25代入可得答案。
13．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，如图所示：
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴△AED≌△BOC（AAS），
∵平行四边形ABCD的面积为6，
∴，
∴；
故答案为6．
【分析】先求出，再求出△AED≌△BOC，最后求解即可。
14．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的图象
【解析】【解答】解：当PQ平行于x轴时，点Q的坐标为，代入中，可得；
当PQ平行于y轴时，点Q的坐标为，可得；
∵一次函数y随x的增大而增大，
∴的取值范围是.
故答案为：.
【分析】当PQ∥x轴时，点Q的坐标为（m，3），代入y=中进行计算可得m的值；当PQ∥y轴时，点Q的坐标为（2，n），同理可得m的值，据此不难得到m的范围.
15．【答案】5或或
【知识点】等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①当AO=AB时，AB=5；
②当AB=BO时，AB=5；
③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），
设A（a，）（a>0），
∵OA=5，
∴，
解得：，，
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB=或AB=；
综上所述，AB的长为5或或．
故答案为：5或或．
【分析】分三种情况：①当AO=AB时，AB=5；②当AB=BO时，AB=5；③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），设A（a，），根据OA=5，可得，求出a的值，再利用两点之间的距离公式可得AB的长，从而得解。
16．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，作轴于点，
由题意知，是中点，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
在反比例函数上，
．
故答案为：．
【分析】先求出OE=1，再求出B'的坐标，最后求出k的值即可。
17．【答案】（1）解：设密度关于体积的函数解析式为，
把点A的坐标代入上式中得：，
解得：k=10，
∴．
（2）解：当时，（）．
即此时该气体的密度为1．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出密度关于体积的函数解析式；
（2）将 代入函数解析式即可求出该气体的密度。
18．【答案】（1）解：将A（2，-4）代入得到，即：．
反比例函数的表达式为：．
将B（-4，m）代入，得：，
，
将A，B代入，得：
，解得：
一次函数的表达式为：．
（2）解：设AB交x轴于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F．
令，则，
∴点D的坐标为（-2，0），
∵过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，
∴A（2，-4）关于原点的对称性点C坐标：（-2，4），
∴点C、点D横坐标相同，
∴CDy轴，
∴
=12．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式即可；
（2）先求出 点C、点D横坐标相同， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
19．【答案】（1）解：∵一次函数y＝x＋2的图象过点A（1，m），
∴m＝1＋2＝3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，
∴B（3，1），
作BDx轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，
代入y＝x＋2得，1＝x＋2，解得x＝ 1，
∴D（ 1，1），
∴BD＝3＋1＝4，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入求出k的值即可；
（2）先求出点D的坐标，再求出BD的长，最后利用三角形的面积公式求出即可。
20．【答案】（1）解：把代入得，
∴反比例函数解析式为：
∵
∴
∵
∴
∴
∵直线的解析式为
把代入得，，
解得，
∴设直线的解析式为
（2）解：
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：（2）由图象知，当时，kx+b≤ ，
∴不等式kx+b≤的解集为.
【分析】（1）将A（-4，3）代入y=中求出m的值，据此可得反比例函数的解析式，根据勾股定理可得OA，由OA=OB可得OB，据此可得点B的坐标，然后将A、B的坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，进而可得直线AB的解析式；
（2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方或重叠部分，且在y轴左侧部分对应的x的范围即可.
21．【答案】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点A的纵坐标为6，
∴，x=2，
∴A(2，6)，
∴，b=9
（2）解：，即，
∴x=2(舍去)，或x=4，
∴，
∴B(4，3)，
设C(x，0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
则AE=6，BF=3，
时，x=6，
∴D(6，0)，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴x=4，或x=8，
∴C(4，0)，或C(8，0).
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将y=6代入反比例函数解析式中可得x的值，据此可得点A的坐标，代入直线解析式中进行计算可得b的值；
（2）联立直线与反比例函数解析式求出x、y，可得点B的坐标，设C(x，0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则AE=6，BF=3，易得D(6，0)，根据S△ABC=S△ACD-S△BCD结合三角形的面积公式以及题意可得x的值，据此可得点C的坐标.
22．【答案】（1）解：如图，过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，
∵，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠BOF=∠EAO，
又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴AE=OF，OE=BF，
∵点A的坐标为，
∴AE=1，OE=4，
∴OF=1，BF=4，
∴B（4，-1），
将点A、B分别代入和，
解得，，；
（2）解：由（1）得，点A在图象上，点B在图象上，两函数关于x轴对称，
∵，
∴OC=OA=OB=OD，
只需C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可，如图所示，
∴点C（4，1），点D（1，-4）.
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，根据同角的余角相等可得∠BOF=∠EAO，由已知条件可知OA=OB，证明△AOE≌△BOF，得到AE=OF，OE=BF，根据点A的坐标可得AE=1，OE=4，则OF=1，BF=4，B（4，-1），将点A、B的坐标分别代入y=和y=中就可求出k1、k2的值；
（2）由（1）得，点A在y=图象上，点B在y=-图象上，两函数关于x轴对称，根据全等三角形的性质以及轴对称的性质可得OC=OA=OB=OD，则C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称，据此不难得到点C、D的坐标.
23．【答案】（1）解：∵在上，
∴，即反比例函数解析式为：，设，
∵四边形的面积为38．
∴，
整理得：，
解得：（舍去），，
∴，
将和代入可得：
解得：，
∴一次函数解析式为：．
（2）解：平移一次函数到第三象限，与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，
设平移后的一次函数解析式为：，
联立可得：，
整理得：，
∵有唯一交点P，
∴，
解得：或（舍去），
将代入得：，
解得：
经检验：是分式方程的根，
∴，连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，
则：
，，，
∴，，，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点M的坐标代入反比例函数解析式，可求出k2的值，即可得到反比例函数解析式；设点N，再利用四边形OAMN的面积为38，可得到关于n的方程，解方程求出n的值，可得到点N的坐标；然后将点M，N的坐标代入一次函数解析式，建立关于k1，b的方程，解方程求出k1，b的值，可得到一次函数解析式.
（2）平移一次函数-x+10到第三象限，可知它与反比例函数有唯一的一个公共点，此时P到MN的距离最短，则此时△PMN的面积最小；设平移后的函数解析式为y=-x+a，将其与反比例函数解析式联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，此时的一元二次方程有两个相等的实数根，解方程求出符合题意的a的值；再将a代入方程，可求出x，y的值，即可得到点P的坐标；连接PM，PN，过点P作PB⊥NA的延长线交于点B，作MC⊥PB交于点C，观察图形可知，利用点的坐标，分别求出△PMC，四边形MCBN，△PNB的面积，代入可求出△PMN的面积的最小值.
24．【答案】（1）解：∵直线过点，
∴
∴将代入中，得，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：∵点在的图象上，
∴，
∴
设平移后直线的解析式为，
将代入中，得4=1+b，
解得.
（3）证明：如图，过点作轴于点，过点作轴于点.
∵在反比例函数的图象上，
∴n=-4，
∴B（-4，-1）
又∵，
∴，，
∴
∴，
∴，
又∵直线与轴、轴分别交于点，，
∴，，
∴
在和中，
∴.
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）将M（2，a）代入y=x中可得a=2，则M（2，2），代入y=中求出k的值，据此可得反比例函数的解析式；
（2）将A（1，m）代入反比例函数解析式中可得m=4，则A（1，4），设平移后直线AB的解析式为y=x+b，将A（1，4）代入就可求出b的值；
（3）过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F，将y=-1代入反比例函数解析式中得n的值，则B（-4，-1），结合点A的坐标得AE=BF，OE=OF，由垂直得∠AEO=∠BFO，证明△AOE≌△BOF，得到∠AOE=∠BOF，OA=OB，易得C（-3，0）、D（0，3），则OC=OD，然后利用全等三角形的判定定理进行证明.
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