2022年秋季北师版数学九年级上册第二章 《一元二次方程》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·天津）方程的两个根为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·益阳）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．（2022·聊城）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2022·呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
5．（2022·龙东）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
6．（2022·武威）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·西藏）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
8．（2021·遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0
C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
9．（2021·贵港）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，且 ，则k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
10．（2021·南充）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2021 D．-2021
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
12．（2022·鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 .
13．（2021·雅安）已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为 .
14．（2022八下·香坊期末）在一次聚会中，每两人都握了一次手，所有人共握手15次，有 人参加聚会．
15．（2022八下·乳山期末）某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 元．
16．（2022·日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ．
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2022八下·泰安期末）按照指定方法解下列方程：
（1）（公式法）；
（2）（配方法）；
（3）（因式分解法）．
18．（2022八下·潜山期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则 ；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
19．（2020九上·永定期中）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 ．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请您说明理由．
20．（2022八下·安庆期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）每件服装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
（2）商家能达到平均每天赢利1800元吗？请说明你的理由．
21．（2020九上·石城期末）已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，求m的值。
22．（2022·毕节）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰嫩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
23．（2022·四川）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：D．
【分析】利用十字相乘法求出一元二次方程的解即可。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根 ，设另一个根为a，
-1+a=-1
解之：a=0，
∴方程的另一个根为0.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=-p，据此设另一个根为a，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用配方法的计算方法将原方程变形为，再利用待定系数法可得a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可。
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，，则。
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设有x支队伍，根据题意，得，
解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），
故答案为：B．
【分析】设有x支队伍，根据题意列出方程，再求解即可。
6．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3.
故答案为：C.
【分析】给方程两边同时加上1，然后对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【解答】解：方程x2﹣10x＋24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为 ×4×6＝12.
故答案为：C.
【分析】对原方程因式分解可得(x-4)(x-6)＝0，求解可得x的值，即菱形的两对角线长，然后根据菱形的面积为对角线乘积的一半进行解答.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故答案为：B
【分析】小红看错了常数项q，可得到两根之和-2，小明看错了一次项系数P，可得到两根之积为-20，由此可得到原来的方程.
9．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
， ，
，
，
，
整理得出： ，
解得： ，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，再将变形为，然后整体代入可得关于k的方程，求出k值即可.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ = = = = =-1.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1x2的值，同时还可以得到x2=2021x1-1，然后整体代入可求解.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【分析】根据 小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒， 列方程求解即可。
12．【答案】
【知识点】分式的通分；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴.
故答案为：.
【分析】由题意可以把a、b看做是一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根，根据根与系数的关系可得a+b=4，ab=3，对待求式进行通分可得，据此计算.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根分别为m，n
∴ ，
∴
故答案为： .
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ， ，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
14．【答案】6
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设有x人参加聚会，根据题意得：
=15，
整理得：x2﹣x﹣30=0，即（x﹣6）（x+5）=0，
解得：x=6或x=﹣5（舍去），
即有6人参加聚会．
故答案为：6．
【分析】先求出=15，再求出（x﹣6）（x+5）=0，最后解方程即可。
15．【答案】50
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设商场对这种台灯的售价为x元，由题意得：
，
解得：，
由从消费者的角度考虑，可得这种台灯的售价应为50元；
故答案为50．
【分析】设商场对这种台灯的售价为x元，根据题意列出方程求解即可。
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【分析】先求出m1=-，m2=，再求出m＞或m＜0，最后求解即可。
17．【答案】（1）解：，，，，，；
（2）解：方程整理得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；
（3）解：方程整理得：，分解因式得：，可得或，解得：，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法的计算方法求解一元二次方程即可；
（2）利用配方法的计算方法求出一元二次方程的解即可；
（3）利用因式分解法的计算方法求出一元二次方程的解即可。
18．【答案】（1）8
（2）解：由一元二次方程得，或，一元二次方程是“倍根方程”，或，当时，，，当时，m=n，综上所述，的值为2或．
【知识点】一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：设一元二次方程两根为和，则，解得，故答案为：8；
【分析】（1）根据“倍根方程”的定义求解即可；
（2）根据“倍根方程”的定义可得或， 再将其代入计算即可。
19．【答案】（1）解：方程 有两个不相等的实数根 ，
可得k 1≠0，
∴k≠1且
可解得 且k≠1；
（2）解：假设存在两根的值互为相反数,设为
∵
∴
∴
又∵ 且k≠1，
∴k不存在.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据根的判别式求出k的取值范围，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0求出k的取值范围即可；（2）根据相反数的性质列出关于k的方程，再根据（1）中k的取值范围进行判定即可。
20．【答案】（1）解：设每件服装降价元，则销售量为件，
根据题意可得：，
化简得：，
解得：，，
又因为需要让利于顾客，所以，
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
（2）解：设每件服装降价元，
根据题意可得：，
化简得：，
∵，
∴此方程无解．
因此不可能每天盈利1800元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程即可；
（2）先求出 ， 再解方程即可。
21．【答案】（1）解：A=[-(m-1)]2-4×1×(-m)
=m2-2m+9
=(m-1)2+8
∵(m-1)2≥0
∴Δ=(m-1)2+8>0
∴此方程必有两个不等的数根
（2）解：x12+x22-x1x2=7
(x1+x2)2-3x1x2=7
即(m-3)2+3m=7
解得：m1=1，m2=2
∴m的值为1或2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意可知，证明方程根的判别式大于0，即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系得到关于m的方程，求出m的值即可得到答案。
22．【答案】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元.
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：A款钥匙的数量+B款钥匙的数量=30；A款钥匙的数量×其进价+B款钥匙的数量×其进价=850；然后列方程组，然后求出方程组的解.
（2）设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，可表示出购进B款冰墩墩钥匙扣的数量，根据进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案，可得到关于m的不等式，求出不等式的解集；设销售利润为w元，可得到w与m之间的函数解析式，再利用一次函数的增减性，可求出最大利润.
（3）设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，根据使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元，可得到关于a的方程，解方程求出a的值；然后求出其售价即可.
23．【答案】（1）；
（2）解：∵m+n=，mn＝-，
∴.
（3）解：由题意得：s、t是 一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根 ，
∴s+t=，st=-，
.
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：(1) x1＋x2＝；x1x2＝，
故答案为：；.
【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
(2)根据根与系数的关系先求出m+n和mn的值，然后将原式变形，再代值计算，即可解答；
(3)根据根与系数的关系先求出s+t和st的值，然后将原式进行变形，再代值计算即可.
1 / 12022年秋季北师版数学九年级上册第二章 《一元二次方程》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·天津）方程的两个根为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：D．
【分析】利用十字相乘法求出一元二次方程的解即可。
2．（2022·益阳）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根 ，设另一个根为a，
-1+a=-1
解之：a=0，
∴方程的另一个根为0.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=-p，据此设另一个根为a，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
3．（2022·聊城）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用配方法的计算方法将原方程变形为，再利用待定系数法可得a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可。
4．（2022·呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，，则。
5．（2022·龙东）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设有x支队伍，根据题意，得，
解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），
故答案为：B．
【分析】设有x支队伍，根据题意列出方程，再求解即可。
6．（2022·武威）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3.
故答案为：C.
【分析】给方程两边同时加上1，然后对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
7．（2021·西藏）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【解答】解：方程x2﹣10x＋24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为 ×4×6＝12.
故答案为：C.
【分析】对原方程因式分解可得(x-4)(x-6)＝0，求解可得x的值，即菱形的两对角线长，然后根据菱形的面积为对角线乘积的一半进行解答.
8．（2021·遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0
C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故答案为：B
【分析】小红看错了常数项q，可得到两根之和-2，小明看错了一次项系数P，可得到两根之积为-20，由此可得到原来的方程.
9．（2021·贵港）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，且 ，则k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
， ，
，
，
，
整理得出： ，
解得： ，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，再将变形为，然后整体代入可得关于k的方程，求出k值即可.
10．（2021·南充）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2021 D．-2021
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ = = = = =-1.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1x2的值，同时还可以得到x2=2021x1-1，然后整体代入可求解.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【分析】根据 小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒， 列方程求解即可。
12．（2022·鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 .
【答案】
【知识点】分式的通分；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴.
故答案为：.
【分析】由题意可以把a、b看做是一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根，根据根与系数的关系可得a+b=4，ab=3，对待求式进行通分可得，据此计算.
13．（2021·雅安）已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根分别为m，n
∴ ，
∴
故答案为： .
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ， ，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
14．（2022八下·香坊期末）在一次聚会中，每两人都握了一次手，所有人共握手15次，有 人参加聚会．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设有x人参加聚会，根据题意得：
=15，
整理得：x2﹣x﹣30=0，即（x﹣6）（x+5）=0，
解得：x=6或x=﹣5（舍去），
即有6人参加聚会．
故答案为：6．
【分析】先求出=15，再求出（x﹣6）（x+5）=0，最后解方程即可。
15．（2022八下·乳山期末）某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 元．
【答案】50
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设商场对这种台灯的售价为x元，由题意得：
，
解得：，
由从消费者的角度考虑，可得这种台灯的售价应为50元；
故答案为50．
【分析】设商场对这种台灯的售价为x元，根据题意列出方程求解即可。
16．（2022·日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【分析】先求出m1=-，m2=，再求出m＞或m＜0，最后求解即可。
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2022八下·泰安期末）按照指定方法解下列方程：
（1）（公式法）；
（2）（配方法）；
（3）（因式分解法）．
【答案】（1）解：，，，，，；
（2）解：方程整理得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；
（3）解：方程整理得：，分解因式得：，可得或，解得：，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法的计算方法求解一元二次方程即可；
（2）利用配方法的计算方法求出一元二次方程的解即可；
（3）利用因式分解法的计算方法求出一元二次方程的解即可。
18．（2022八下·潜山期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则 ；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
【答案】（1）8
（2）解：由一元二次方程得，或，一元二次方程是“倍根方程”，或，当时，，，当时，m=n，综上所述，的值为2或．
【知识点】一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：设一元二次方程两根为和，则，解得，故答案为：8；
【分析】（1）根据“倍根方程”的定义求解即可；
（2）根据“倍根方程”的定义可得或， 再将其代入计算即可。
19．（2020九上·永定期中）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 ．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请您说明理由．
【答案】（1）解：方程 有两个不相等的实数根 ，
可得k 1≠0，
∴k≠1且
可解得 且k≠1；
（2）解：假设存在两根的值互为相反数,设为
∵
∴
∴
又∵ 且k≠1，
∴k不存在.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据根的判别式求出k的取值范围，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0求出k的取值范围即可；（2）根据相反数的性质列出关于k的方程，再根据（1）中k的取值范围进行判定即可。
20．（2022八下·安庆期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）每件服装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
（2）商家能达到平均每天赢利1800元吗？请说明你的理由．
【答案】（1）解：设每件服装降价元，则销售量为件，
根据题意可得：，
化简得：，
解得：，，
又因为需要让利于顾客，所以，
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
（2）解：设每件服装降价元，
根据题意可得：，
化简得：，
∵，
∴此方程无解．
因此不可能每天盈利1800元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程即可；
（2）先求出 ， 再解方程即可。
21．（2020九上·石城期末）已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，求m的值。
【答案】（1）解：A=[-(m-1)]2-4×1×(-m)
=m2-2m+9
=(m-1)2+8
∵(m-1)2≥0
∴Δ=(m-1)2+8>0
∴此方程必有两个不等的数根
（2）解：x12+x22-x1x2=7
(x1+x2)2-3x1x2=7
即(m-3)2+3m=7
解得：m1=1，m2=2
∴m的值为1或2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意可知，证明方程根的判别式大于0，即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系得到关于m的方程，求出m的值即可得到答案。
22．（2022·毕节）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰嫩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元.
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：A款钥匙的数量+B款钥匙的数量=30；A款钥匙的数量×其进价+B款钥匙的数量×其进价=850；然后列方程组，然后求出方程组的解.
（2）设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，可表示出购进B款冰墩墩钥匙扣的数量，根据进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案，可得到关于m的不等式，求出不等式的解集；设销售利润为w元，可得到w与m之间的函数解析式，再利用一次函数的增减性，可求出最大利润.
（3）设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，根据使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元，可得到关于a的方程，解方程求出a的值；然后求出其售价即可.
23．（2022·四川）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵m+n=，mn＝-，
∴.
（3）解：由题意得：s、t是 一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根 ，
∴s+t=，st=-，
.
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：(1) x1＋x2＝；x1x2＝，
故答案为：；.
【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
(2)根据根与系数的关系先求出m+n和mn的值，然后将原式变形，再代值计算，即可解答；
(3)根据根与系数的关系先求出s+t和st的值，然后将原式进行变形，再代值计算即可.
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