(共19张PPT)
第 三 章 圆
九年级数学 下 BS
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角定理的推论
顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.
顶点在圆心的叫做圆心角.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
１、什么是圆周角？圆心角
２、圆周角定理内容是什么？
情境导入
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系
B
A
C
D
E
生活实践
图2
由此你能得出什么结论
●O
B
C
D
E
A
图1
如图2,圆中AB=EF,那么∠C和∠G的大小有什么关系 为什么
⌒
⌒
如图1,圆中一段弧(AC)对着许多个圆周角,这些个角的大小有什么关系 为什么
⌒
探索新知
探究2
如图,圆中∠C=∠G,那么 和 的大小有什么关系 为什么
EF
⌒
⌒
AB
由此你又能得出什么结论
用于找相等的弧
圆周角定理的推论1：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等.
用于找相等的角
1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗
B
C
O
A
图(1)
2.如图(2)，圆周角∠BAC =90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？
●O
B
C
A
图(2)
由此你能得出什么结论
F
E
探究3
用于判断某条弦是否是直径
用于构造直角
圆周角定理的推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
圆周角定理的推论：
推论1 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
归纳结论
如图，A、B、C、D是圆O上的四个点，以这四个点为顶点的四边形的内角有什么关系？
O
C
A
B
D
像这样，四个顶点都在⊙O上的四边形叫做圆内接四边形， ⊙O为四边形ABCD外接圆。
探究4
C
O
D
B
A
解：如图，圆内接四边形ABCD中
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角
∴∠A＋∠C＝ 180°
同理∠B＋∠D＝180°
圆内接四边形的对角互补.
一、填空题:
(1)如图所示,
∠BAC= ,∠DAC= .
D
A
B
C
∠DBC
∠BDC
●O
A
C
B
(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm,
C为⊙O上一点,∠BAC=30°,
则BC= cm
5
随堂演练
●O
D
A
B
C
二、如图,AB是⊙O的直径，BD是弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系 为什么
解：BD=CD，理由是：
连接AD
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=900
即 AD⊥BC
又∵ AC=AB
∴BD=CD
三、如图,△ABC的顶点均在⊙O上,
AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
●O
A
C
B
E
解：连接AO并延长交⊙Ｏ点E ，连接BE
∵AE是⊙Ｏ的直径
∴∠ABE＝90°
又∵∠C＝30°
∴∠E＝30°
∵ AB=4
∴AE= 8
如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,
⊙O的弦AD交⊙O1于C,则
(1)OC与AD的位置关系是_____ ;
(2)OC与BD的位置关系是_____ ;
(3)若OC = 2cm,则BD = cm。
OC垂直平分AD
平 行
4
C
D
O1
A
B
O
拓展延伸
已知顶角∠A=50°的等腰三角形ABC内接于圆O，D是圆O上一点，
则∠ADB的度数是（ ）
A. 50° B. 65°
C. 50°或65° D. 65°或115°
思考题
D
１、圆周角定理的两个推论
（1）构造直径上的圆周角。
（2）构造同弧所对的圆周角。
分类思想、假设思想(反证法)
２、做辅助线的方法：
３、思想方法：
4、圆内接四边形的对角互补.
课堂小结
完成本课时的习题。
课后作业(共19张PPT)
第 三 章 圆
九年级数学 下 BS
4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角定理
1.圆心角的定义
.
O
B
C
答：相等.
答:顶点在圆心的角叫圆心角.
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
B
3、(05年茂名)下列命题是真命题的是( )
1)垂直弦的直径平分这条弦
2)相等的圆心角所对的弧相等
3)圆既是轴对称图形,还是中心对称图形
A 1) 2) B 1) 3)
C 2) 3) D 1) 2) 3)
新知导入
1、如图，⊙O中，∠AOB=100 ，则AB弧的度数为______，AnB弧的度数为______。
A
O
B
n
100
260
×
×
×
×
×
2、判断题：
(1)相等的圆心角所对的弧相等。
(2)等弦对等弧 。
(3)等弧对等弦 。
(4)长度相等的两条弧是等弧 。
(5)平分弦的直径垂直于弦 。
课前热身
圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况
探索1:
A
.
O
B
C
.
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？
角的两边和圆是什么关系？
.
.
A
O
B
C
.
O
B
C
A
.
探索新知
圆周角
在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.
●O
B
A
C
B
A
C
思考：图中的∠ABC的顶点B在圆的什么位置？∠ABC的两边和圆是什么关系？
圆周角
探索:
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗
.
O
B
C
A
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
图１
图２
图３
图４
图５
2、指出图中的圆周角。
A
O
B
C
∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
圆周角: ∠ABC, ∠ADC, ∠AEC.
这三个角的大小有什么关系
圆周角
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系 .
●O
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
D
E
D
E
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆
周角和圆心角之间有的关系.
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
●O
●O
●O
A
B
C
A
B
C
A
B
C
提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系
说说你的想法,并与同伴交流.
提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
A
B
C
●O
A
B
C
●O
●O
A
B
C
圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
解:∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
●O
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
理解并掌握这个模型.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
提示:能否转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
D
圆周角和圆心角的关系
∴ ∠ABC = ∠AOC.
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
提示:能否也转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
∴ ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
●O
A
B
C
圆周角和圆心角的关系
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.
提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即∠ABC = ∠AOC.
D
D
圆心在角的边上
圆心在角外
圆心在角内
例 如图：OA、OB、OC都是⊙ O的半径 ∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC
A
O
B
C
∠ACB=2∠BAC
证明：
规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
⌒
分析:AB所对圆周角是∠ACB, 圆心角是∠AOB.则
∠ACB= ∠AOB. BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC= ∠BOC
⌒
∠ACB= ∠AOB
∠BAC= ∠BOC
典例精析
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠BCD=___。
B
A
O
.
70°
x
1.求圆中角x的度数
130°
A
O
.
100°
x
C
C
D
B
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________
25
随堂练习
一 、这节课主要学习了两个知识点：
1、圆周角定义。
2、圆周角定理及其定理应用。
二、方法上主要学习了圆周角定理的证明,渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。
三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用。
课堂小结
完成本课时的习题。
课后作业
