函数的概念与性质章末检测(基础)
(答案)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、(2022·宿州月考)函数y=的定义域为( D )
A.(-∞,1] B.
C.(-∞,2] D.∪
2、在下列函数中,f(x)与g(x)表示同一函数的是( B )
A.f(x)=x-1,g(x)=
B.f(x)=|x+1|,g(x)=
C.f(x)=1,g(x)=(x+1)0
D.f(x)=,g(x)=()2
3、已知f(+1)=x+2,则f(x)=( C )
A.x2-1(x≥0) B.+1(x≥1)
C.x2-1(x≥1) D.-1(x≥0)
4、(2022·江西模拟)设函数f(x)=若f(x0)=1,则x0=( A )
A.-1或2 B.2或3
C.-1或3 D.-1或2或3
5、(2022·人大附中高三模拟)定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数a,b,总有>0成立,则f(x)必定是( C )
A.先增后减的函数 B.先减后增的函数
C.在R上的增函数 D.在R上的减函数
6、(2022·郑州调研)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的大致图象是( C )
7、(2022·西安检测)已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=的定义域是( C )
A.(-∞,-2)∪(-2,3] B.(-8,-2)∪(-2,1]
C.∪(-2,0] D.
8、设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( B )
A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9、下列结论正确的有( BD )
A.函数y=的单调减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)
B.函数y=-x在区间(0,+∞)内单调递减
C.若y=f(x)在区间D上单调递增,则函数y=kf(x)(k<0),y=在区间D上都是单调递减函数
D.若函数y=f(x)满足 x1,x2∈D,x1≠x2,>0(<0),能判定f(x)在区间D上的单调性
10、(2022·北京模拟)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是( BC )
A.f(x)的定义域是R
B.f(x)的值域是(-∞,5)
C.若f(x)=3,则x的值为
D.f(x)图象与y=2有两个交点
11、已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则( ACD )
A.的最小值为 B.在上单调递减
C.的解集为 D.存在实数满足
12、对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b] D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],那么把y=f(x)(x∈D)称为闭函数,下列结论正确的是( BD )
A.函数y=x2+1是闭函数
B.函数y=-x3是闭函数
C.函数f(x)=是闭函数
D.k=-2时函数y=k+是闭函数
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13、已知函数f(x)=则f(-2)=____-1____
14、(2022·长沙一模)已知函数f(x)=ax3+bx5+2.若f(x)在区间[-t,t]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=____4____.
15、(2022·郑州模拟)已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是____(-12,0]____.
16、设函数y=f(x)的定义域为R,则下列命题:
①若y=f(x)是偶函数,则y=f(x+2)的图象关于y轴对称;
②若y=f(x+2)是偶函数,则y=f(x)的图象关于直线x=2对称;
③若f(x-2)=f(2-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称;
④y=f(x-2)与y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称.
其中正确命题的序号为__②④______.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、记函数f(x)=+的定义域为集合M,函数g(x)=x2-2x+3值域为集合N,求:
(1)M,N.
(2)M∩N,M∪N.
解:(1)因为函数f(x)=+的定义域为集合M,则有
故1≤x≤3,集合M=[1,3],
因为函数g(x)=x2-2x+3值域为集合N,
则g(x)=x2-2x+3≥2,集合N=[2,+∞),
所以M=[1,3],N=[2,+∞).
(2)M∩N=[1,3]∩[2,+∞)=[2,3],
M∪N=[1,3]∪[2,+∞)=[1,+∞).
18、设f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
解:(1)由f(x+2)=-f(x)得,
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,又f(x)为奇函数,
所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),
得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x).
故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.
当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.
19、已知f (x)=,x∈[1,+∞).
(1)当a=时,用定义证明函数的单调性并求函数f (x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f (x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
解:(1)当a=时,f (x)=x++2,
任取1≤x1则f (x1)-f (x2)=(x1-x2)+=.
因为1≤x11,
所以2x1x2-1>0.
又x1-x2<0,所以f (x1)所以f (x)在[1,+∞)上是增函数,
所以f (x)在[1,+∞)上的最小值为f (1)=.
(2)因为在区间[1,+∞)上,f (x)=>0恒成立,
所以
等价于a大于函数φ(x)=-(x2+2x)在[1,+∞)上的最大值.
因为φ(x)=-(x+1)2+1在[1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,φ(x)取最大值为φ(1)=-3,所以a>-3.故实数a的取值范围是(-3,+∞).
20、已知幂函数f(x)=x(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=+2x+c,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,求实数c的取值范围.
解:(1)∵f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,∴-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,解得-1当m=0或2时,f(x)=x3,不是偶函数;
当m=1时,f(x)=x4,是偶函数.
故函数f(x)的解析式为f(x)=x4.
(2)由(1)知f(x)=x4,则g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+c-1.
由g(x)>2对任意的x∈R恒成立,得g(x)min>2(x∈R).
∵g(x)min=g(-1)=c-1,∴c-1>2,解得c>3.
故实数c的取值范围是(3,+∞).
21、已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=
(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;
(2)①求F(x)的最小值m(a);
②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).
解:(1)由于a≥3,故当x≤1时,x2-2ax+4a-2-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,不合题意;
当x>1时,x2-2ax+4a-2-2|x-1|=(x-2)(x-2a).
由(x-2)(x-2a)≤0得2≤x≤2a.
所以使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].
(2)①设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,
由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)=
②当0≤x≤2时,
F(x)=f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),
当2≤x≤6时,
F(x)=g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.
所以M(a)=
22、(2022·柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1;
②当x>0时,f(x)>-1.
(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数;
(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4.
解:(1)令x=y=0,得f(0)=-1.
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,f(x1-x2)>-1.
又f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+1,所以f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)+1>0,所以f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在R上是单调增函数.
(2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5.
由f(x2+2x)+f(1-x)>4,
得f(x2+2x)+f(1-x)+1>5,
即f(x2+x+1)>f(3),
又函数f(x)在R上是增函数,故x2+x+1>3,
解得x<-2或x>1,
故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.第三章 函数的概念与性质章末检测(基础)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、(2022·宿州月考)函数y=的定义域为( )
A.(-∞,1] B.
C.(-∞,2] D.∪
2、在下列函数中,f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A.f(x)=x-1,g(x)=
B.f(x)=|x+1|,g(x)=
C.f(x)=1,g(x)=(x+1)0
D.f(x)=,g(x)=()2
3、已知f(+1)=x+2,则f(x)=( )
A.x2-1(x≥0) B.+1(x≥1)
C.x2-1(x≥1) D.-1(x≥0)
4、(2022·江西模拟)设函数f(x)=若f(x0)=1,则x0=( )
A.-1或2 B.2或3
C.-1或3 D.-1或2或3
5、(2022·人大附中高三模拟)定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数a,b,总有>0成立,则f(x)必定是( )
A.先增后减的函数 B.先减后增的函数
C.在R上的增函数 D.在R上的减函数
6、(2022·郑州调研)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的大致图象是( )
7、(2022·西安检测)已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=的定义域是( )
A.(-∞,-2)∪(-2,3] B.(-8,-2)∪(-2,1]
C.∪(-2,0] D.
8、设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( )
A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9、下列结论正确的有( )
A.函数y=的单调减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)
B.函数y=-x在区间(0,+∞)内单调递减
C.若y=f(x)在区间D上单调递增,则函数y=kf(x)(k<0),y=在区间D上都是单调递减函数
D.若函数y=f(x)满足 x1,x2∈D,x1≠x2,>0(<0),能判定f(x)在区间D上的单调性
10、(2022·北京模拟)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是( )
A.f(x)的定义域是R
B.f(x)的值域是(-∞,5)
C.若f(x)=3,则x的值为
D.f(x)图象与y=2有两个交点
11、已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则( )
A.的最小值为 B.在上单调递减
C.的解集为 D.存在实数满足
12、对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b] D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],那么把y=f(x)(x∈D)称为闭函数,下列结论正确的是( )
A.函数y=x2+1是闭函数
B.函数y=-x3是闭函数
C.函数f(x)=是闭函数
D.k=-2时函数y=k+是闭函数
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13、已知函数f(x)=则f(-2)=________
14、(2022·长沙一模)已知函数f(x)=ax3+bx5+2.若f(x)在区间[-t,t]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.
15、(2022·郑州模拟)已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是_______.
16、设函数y=f(x)的定义域为R,则下列命题:
①若y=f(x)是偶函数,则y=f(x+2)的图象关于y轴对称;
②若y=f(x+2)是偶函数,则y=f(x)的图象关于直线x=2对称;
③若f(x-2)=f(2-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称;
④y=f(x-2)与y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称.
其中正确命题的序号为________.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、记函数f(x)=+的定义域为集合M,函数g(x)=x2-2x+3值域为集合N,求:
(1)M,N.
(2)M∩N,M∪N.
18、设f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
19、已知f (x)=,x∈[1,+∞).
(1)当a=时,用定义证明函数的单调性并求函数f (x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f (x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
20、已知幂函数f(x)=x(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=+2x+c,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,求实数c的取值范围.
21、已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=
(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;
(2)①求F(x)的最小值m(a);
②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).
22、(2022·柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1;
②当x>0时,f(x)>-1.
(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数;
(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4.