2022年苏科版初中数学七年级上册 4.2 解一元一次方程（3）同步练习
一、夯实基础
1．（2022七上·石阡期末）把方程 去分母，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：去分母得：2x-（x+1）=6，
去括号得：2x-x-1=6.
故答案为：B.
【分析】给方程两边同时乘以6（右边的1不能漏乘），可得2x-(x+1)=6，去括号可得2x-x-1=6，据此判断.
2．（2021七上·天门月考）若 的值比 的值小1，则x的值为（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】B
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得 = -1
去分母，得3（3x+1）=2（2x-2）-6
去括号，得9x+3=4x-4-6
移项，得9x-4x=-4-6-3
合并同类项，得5x=-13
系数化为1，得x=- .
故答案为：B.
【分析】根据题意列出关于x的含分数系数的一元一次方程，接着先去分母（两边同时乘以6，右边的-1也要乘以6，不能漏乘），再去括号（括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1.
3．（2020七上·重庆月考）如果 与 是互为相反数，那么 的值是（ ）
A．6 B．2 C．12 D．-6
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得： +( a+1)=0，
去括号得： + a+1=0，
去分母得：2a-9+a+3=0，
移项得：2a+a=9-3，
合并同类项得：3a=6，
系数化为1得：a=2，
故答案为：B.
【分析】利用互为相反数的两数之和为0，建立关于a的一元一次方程，解方程求出a的值.
4．（2020七上·辛集期末）已知|x﹣1|＝3，则x的值为（ ）
A．x＝4 B．x＝2或x＝﹣4
C．x＝4或x＝ －2 D．x＝﹣3
【答案】C
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵|x﹣1|＝3，
∴x﹣1＝±3，解得：x＝4或x＝ －2
故答案为：C．
【分析】根据绝对值的非负性可以得到x﹣1＝±3，求解即可。
5．（2021七上·如皋期末）在有理数范围内定义运算“ ”： ，如： .如果 成立，则 的值是（ ）
A． B．5 C．0 D．2
【答案】B
【知识点】定义新运算；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 可化为 ，
解得：x=5，
故答案为：B.
【分析】由定义的新运算可得方程，求解即可.
6．（2021七上·普陀期末）若 是关于x的方程 的解，则 ．
【答案】2
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得
∴a-1=1-2a+4
3a=6
解之：a=2.
故答案为：2.
【分析】将x=1代入方程，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
7．（2021七上·驻马店期末）若 ，则关于 的方程 的解为 .
【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
解得， ，
代入 得， ，
解方程得，
故答案为：1.
【分析】根据绝对值以及偶次幂的非负性可得m+1=0，n+2=0，求出m、n的值，然后代入方程中求解就可得到x的值.
8．（2019七上·成都期中）已知方程 的解是 ，则关于y的方程 的解是 .
【答案】
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 移项后可化为： ，
则有 ，
并且 移项后可化为： ，
把 代入上式，则有 ，
解之得：
【分析】 可化为： ，则有 ，
再将 化为 ，把 代入化简计算即可.
9．（2022七上·遵义期末）解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：2（x+4）＝13－3（x－5)
解：2x+8＝13－3x+15
2x+3x＝13+15－8
5x＝20
x＝4
（2）解： － ＝ －1
解：去分母，得 4（y－1)－(y－3)＝2(2y+3)－12
去括号，得 4y－4－y+3＝4y+6－12
移项，得 －y＝6－12－3+4
合并同类项，得 －y＝－5
系数化为1，得y＝5
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）利用去括号、移项合并、系数化为1进行解方程即可；
（2）利用去分母、去括号、移项合并、系数化为1进行解方程即可；
10．（2020七上·三门峡期末）x等于什么数时，代数式 的值比 的值的2倍小1？
【答案】解：依题意，得 ，
去分母得：6x 4＝12x 3 6，
移项合并得：6x＝5，
解得x= .
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
11．（2021七上·南开月考）已知关于x的方程＝x+的解与＝3x﹣的解互为倒数，求m的值．
【答案】解：由方程解得，
由方程解得，
由题意可得：，即，解得
故答案为：
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】先利用解含分数系数的方法求出方程的解，再根据方程的解化为倒数可得求解即可。
12．（2021七上·长沙期末）小李在解关于x的方程
－1去分母时，方程右边的－1漏乘了3，因而求得方程的解为x＝－2，请你帮小李同学求出a的值，并且求出原方程的解.
【答案】解： 按小李的解法解方程，去分母得：2x－1＝x＋a－1，
整理，解得x＝a，
又∵小李解得x＝－2，
∴a＝－2，
把a＝－2代入原方程，得 ，
去分母得：2x-1=x-2-3，
整理，解得x＝－4，
将x=-4代入方程中，左式=右式，即x＝－4为原方程正确的解.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】首先按小李的解法解方程2x－1＝x＋a－1，得x＝a，再根据错解的解为x=-2，代入求出a值，再将a值代入原来的分式方程，按去分母、移项、合并同类项、系数化为1、求解即可.
13．（沪科版七上数学3.1一元一次方程及其解法课时作业（4））
（1）小玉在解方程 去分母时，方程右边的“﹣1”项没有乘6，因而求得的解是x=10，试求a的值．
（2）当m为何值时，关于x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程2x+m=5m的解大2？
【答案】（1）解：不符合题意去分母得：4x﹣2=3x+3a﹣1，
把x=10代入得：a=3；
（2）解：方程5m+3x=1+x，解得：x= ，
方程2x+m=5m，解得：x=2m，
根据题意得： ﹣2m=2，
去分母得：1﹣5m﹣4m=4，
解得：m=﹣ ．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据题意得小玉去分母后为4x﹣2=3x+3a﹣1，将x=10代入此方程即可求出a的值.
（2）首先分别求解两个方程，其中方程2x+m=5m的解用m表示，根据题意即可列出关于m的方程，求解即可.
二、能力提优
14．（2020七上·郁南期末）解方程 时，去分母、再去括号后，正确的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：去分母得：2（2x+1）﹣（10x+1）＝4，
去括号得：4x+2﹣10x﹣1＝4，
故答案为：A．
【分析】先求出2（2x+1）﹣（10x+1）＝4，再去括号求解即可。
15．（2021七上·陇县期末）小明在解方程去分母时，方程右边的﹣1没有乘3，因而求得的解为x＝2，则原方程的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得：2x﹣1＝x+a﹣1，
把x＝2代入这个方程，得：3＝2+a﹣1，
解得：a＝2，
代入原方程，得：，
去分母，得：2x﹣1＝x+2﹣3，
移项、合并同类项，得：x＝0，
故答案为：A.
【分析】已知小明在解方程去分母时，方程右边的 1这个项没有乘3，则所得的式子是：2x 1＝x＋a 1，把x＝2代入方程即可得到一个关于a的方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程，解这个方程即可求得方程的解．
16．（2021七上·南开月考）将方程中分母化为整数，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据分数的基本性质可得分母化为整数，需分子分母同时扩大10倍，即．
故答案为：C．
【分析】利用分数的性质，分子、分母都乘以10即可得到答案。
17．（2020七上·历城期末）如果，那么x的值为（ ）
A． B．或1 C．或－2 D．或－4
【答案】D
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：由绝对值的性质化简，
可得或，
解得：或，
故答案为：D．
【分析】先求出或，再解方程即可。
18．（2021七上·綦江期末）已知关于x的一元一次方程 的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解： ，
6x-（4-ax）=3（x+3）-6
6x-4+ax=3x+9-6
6x+ax-3x=7
∴ ，
∵方程的解是整数，
∴3+a=1或-1或7或-7，
∴a=-2或-4或4或-10，
∴符合条件的所有整数a的和为-2-4+4-10=-12.
故答案为：A.
【分析】先解方程 ，得到 ，根据方程的解是整数，求出a=-2或-4或4或-10，再计算和即可.
19．（2021七上·滨城期末）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是x＝2，那么m+n＝ ．
【答案】﹣1
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：将x=2代入，
，
∴（8+n）k=14-2m，
由题意可知：无论k为任何数时（8+n）k=14-2m恒成立，
∴n+8=0，14-2m=0，
∴n=-8，m=7，
∴m+n=-8+7=-1，
故答案为：-1．
【分析】将x=2代入，求出（8+n）k=14-2m，根据“无论k为任何数时（8+n）k=14-2m恒成立，”可得n+8=0，14-2m=0，求出m、n的值，再代入计算即可。
20．（2021七上·无为期中）若|x+2022|＝2，则x的值为 ．
【答案】-2024或-2020
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】由题意得： ，
或-2
解，得 或-2024
故答案为：-2024或-2020．
【分析】根据|x+2022|＝2，再结合绝对值的性质可得x+2022=2或-2，再求出x的值即可。
21．（2021七上·镇海期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别是－1和2，M从A出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，N从B出发以每秒6个单位长度的速度向左运动，假设点M、N同时出发，经过 秒后，M、N之间的距离为2个单位.
【答案】 或
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：设经过t秒后，M、N之间的距离为2个单位，
∵M从A出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，N从B出发以每秒6个单位长度的速度向左运动，
∴点M表示出的数为-1-2t，点N表示的数为2-6t，
∵M、N之间的距离为2个单位，
∴|-1-2t-（2-6t）|=2，
解之：t=或.
故答案为：或.
【分析】设经过t秒后，M、N之间的距离为2个单位，利用点M，N的运动方向和速度，可得到点M，N表示的数，再根据M、N之间的距离为2个单位，可得到关于t的方程|-1-2t-（2-6t）|=2，然后解方程求出t的值.
22．（2021七上·镇海期末）已知以 为未知数的一元一次方程 的解为 ，那么以 为未知数的一元一次方程 的解为 .
【答案】2022
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】∵一元一次方程 的解为 ，
∴ ，
∴2020m=2021×2- ，
∵ ，
∴ ，
整理，得
(2019×2021-1)y=2022×(2019×2021-1)，
∴y=2022，
故答案为：2022.
【分析】根据方程 的解为 ，求得ｍ的值，代入 中计算即可.
23．（2020七上·邛崃期末）已知关于 的方程 的解是正整数，则符合条件的所有整数 的积是 ．
【答案】12
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】
两边同乘以6，得
去括号，得
移项合并同类项，得
因为方程有解，所以 ，
所以
要使方程的解是正整数，则整数a满足： 或
解得： 或
则所求的积为： .
【分析】将a看作一个常数，先求关于x的一元一次方程的解，再根据方程的解是正整数求出符合条件的所有整数a的值，最后做乘积运算即可.
24．（2020七上·怀安期末）数学迷小虎在解方程 这一题时，去分母过程中，方程右边的-1漏乘了6，因而求得方程的解为x=-2，请你帮小虎同学求出a的值，并且正确求出原方程的解．
【答案】解：按小虎的解法解方程： ，
得 ，
又∵小虎解得x＝－2，
∴3a+1＝－2，
即a=-1，
把a＝－1代入原方程，得 ，
解得 ，
即原方程正确的解为 ．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】先此方法去分母，再将X=-2代入方程，求a的值，再把a的值代入原方程并解方程即可。
25．（2020七上·东湖期末）已知关于x的方程3[x-2（x- ）]＝4x和 ＝1有相同的解，求这个解．
【答案】解：∵3[x-2（x- ）]＝4x
∴
∵ ＝1
∴
∵关于x的方程3[x-2（x- ）]＝4x和 ＝1有相同的解
∴
∴
将 代入
∴ ．
【知识点】一元一次方程的解；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】通过分别求解一元一次方程，结合两个方程有相同的解，建立关于a的方程并求解，再将a代入到原关于x的方程的解，即可得到答案．
26．（2020七上·大冶月考）聪聪在对方程 ①去分母时，错误的得到了方程 ②，因而求得的解是 ，试求m的值，并求方程的正确解.
【答案】解：把 代入方程②得： ，
解得： ，
把 代入方程①得： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
则方程的正确解为 .
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】 把 代入方程②中求出m=1，再把 代入方程①中，利用去分母、去括号、移项合并 、系数化为1进行解方程即可.
27．（2021七上·城关期末）解方程：｜3x｜=1.
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x＝1，它的解是x= ；
②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程为-3x＝1，它的解是x=- .
请你模仿上面例题的解法，解方程：2｜x-3｜+5＝13.
【答案】①当x≥3时，原方程可化为2（x-3）＋5＝13，它的解是x＝7；
②当x＜3时，原方程可化为2（3-x）＋5＝13，它的解是x＝-1.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【分析】根据绝对值的定义分 x-3≥0 或 x-3＜0 ，进行方程求解.
28．（2020七上·武汉月考）已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，AB＝24.若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒.
（1）当t＝1时，写出数轴上点B，P所表示的数；
（2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问当t为何值点P与点Q相距3个单位长度？
（3）若点O到点M，N其中一个点的距离是到另一个点距离的2倍，则称点O是[M，N]的“好点”，设点C是点A，B的中点，点P，Q分别从A，B两点同时出发，点P向左运动到C点时返回到A点时停止，动点Q一直向右运动到A点后停止运动，求当t为何值时，点C为[P，Q]的“好点”？
【答案】（1）解：∵点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，AB=24.
∴点B表示的数为-1，点A表示的数为-1+24=23.
∵点P从数轴上点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t秒，
∴当t=1时，点P表示的数为23-4×1=19.
（2）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为23-4t，点Q表示的数为3t-1，
依题意，得：|23-4t-（3t-1）|=3，
即24-7t=3或7t-24=3，
解得：t=3或t= ，
答：当t为3或 时，点P与点Q相距3个单位长度.
（3）解：∵点B表示的数为-1，点A表示的数为23，点C为线段AB的中点，
∴点C表示的数为11.
∵24÷2÷4=3（秒），3×2=6（秒），24÷3=8秒，
∴当0≤t≤3时，点P表示的数为23-4t；当3＜t≤6时，点P表示的数为11+4（t-3）=4t-1；当6＜t≤8时，点P表示的数为23；当0≤t≤8时，点Q表示的数为3t-1.
∵点C为[P，Q]的“好点”，
∴当0≤t≤3时，11-（3t-1）=2（23-4t-11）或2[11-（3t-1）]=23-4t-11，
解得：t= 或t=6（不合题意，舍去）；
当3＜t≤6时，|11-（3t-1）|=2（4t-1-11）或2|11-（3t-1）|=4t-1-11，
即12-3t=8t-24或3t-12=8t-24或24-6t=4t-12或6t-24=4t-12，
解得：t= 或t= （不合题意，舍去）或t= 或t=6；
当6＜t≤8时，23-11=2（3t-1-11），
解得：t=6（不合题意，舍去）.
答：当t为 或 或 或6时，点C为[P，Q]的“好点”.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由点B表示的数为最大的负整数及线段AB的长可得出点B，A表示的数，再结合点P的出发点、运动速度及运动方向，可找出当t=1时点P表示的数；（2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为23-4t，点Q表示的数为3t-1，根据PQ=3，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）由点A，B表示的数结合点C为线段AB的中点，可找出点C表示的数，分0≤t≤3，3＜t≤6和6＜t≤8三种情况，根据点C为[P，Q]的“好点”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.
三、拓展延伸
29．（2021七上·简阳期中）“数形结合”是重要的数学思想.请你结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于│m－n│.如果表示数a和－2的两点之间的距离是3，记作│a－（－2）│＝3，那么a＝ .
（2）利用绝对值的几何意义，探索│a＋4│＋│a－2│的最小值为 ，若│a＋4│＋│a－2│＝10，则a的值为 .
（3）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且AC＝8，动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒.点M是AP的中点，点N是CP的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化 若变化，请说明理由；若不变，求线段MN的长度.
【答案】（1）1或－5
（2）6；4或－6
（3）解：线段MN的长度不发生变化.
理由：分两种情况：
①当点P在A，C两点之间运动时，如图：
；
②当点P运动到点C的左边时，如图：
.
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为4
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1） 即
或
解得： 或
故答案为：1或－5
（2）如图， 表示 表示 表示数
表示：
显然：当 在线段 上时， 最短，即 最小，
此时：
当
在 的左边或 的右边，
当 在 的左边时，如图，
此时
解得：
当 在 的右边时，如图，
同理可得：
解得：
综上： 时，a的值为4或－6
故答案为：最小值为6；a的值为4或－6；
【分析】（1）根据已知条件可得|a+2|=3，则a+2=3或a+2=-3，求解就可得到a的值；
（2）数轴上A表示2，B表示-4，C表示a，则|a+4|+|a-2|为BC+AC，显然当C在线段AB上时，AC+BC最短，此时|a+4|+|a-2|=6，则C在B的左边或A的右边，当C在B的左边时，BC=-a-4，AC=2-a，此时-a-4+2-a=10；当C在A的右边时，有a+4+a-2=10，求解即可；
（3）①当点P在A，C两点之间运动时，MN=MP+NP=PA+PC=AC；②当点P运动到点C的左边时，MN=MP-NP=PA-PC=AC，据此求解.
30．（2021七上·内江期中）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，
（1）写出数轴上点B表示的数 ；
（2）|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离.如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离.试探索：
①：若|x﹣8|=2，则x= .
②：|x+12|+|x﹣8|的最小值为 .
（3）动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒.求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2；
（4）动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒5个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒.问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4.
【答案】（1）﹣12
（2）6或10；20
（3）解：由题意得：│8－5t│＝2，
所以8－5t＝2或﹣（8－5t）＝2，解得t＝1.2或2；
（4）解：由题意得：│﹣12＋10t－5t│＝4，
所以﹣12＋10t－5t＝4或﹣（﹣12＋10t－5t）＝4，
解得t＝3.2或1.6
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）数轴上B表示的数为8－20＝﹣12；
故答案为：-12；
（2）①因为互为相反数的两个数绝对值相同，
所以由│x－8│＝2可得x－8＝2或﹣（x－8）＝2，解得x＝6或10；
故答案为：6或10；
②当-12≤x≤8时，│x＋12│＋│x－8│的值是20，
当x<-12或x>8时│x＋12│＋│x－8│的值大于20，
所以最小值为20；
故答案为：20；
【分析】（1）利用AB=20及点A表示的数是8，可求出点B表示的数；
（2）①利用绝对值的性质，可知绝对值等于2的数有两个，它们互为相反数，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；②分情况讨论：当-12≤x≤8时；当x<-12或x>8时，利用绝对值的性质，可得此代数式的最小值；
（3）利用数轴上两点之间的距离的意义，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；
（4）利用点的运动方向和速度，分别表示出点P和点Q表示的数，再根据P，Q之间的距离为4，建立关于t的方程，解方程求出t的值.
1 / 12022年苏科版初中数学七年级上册 4.2 解一元一次方程（3）同步练习
一、夯实基础
1．（2022七上·石阡期末）把方程 去分母，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021七上·天门月考）若 的值比 的值小1，则x的值为（ ）
A． B．－ C． D．－
3．（2020七上·重庆月考）如果 与 是互为相反数，那么 的值是（ ）
A．6 B．2 C．12 D．-6
4．（2020七上·辛集期末）已知|x﹣1|＝3，则x的值为（ ）
A．x＝4 B．x＝2或x＝﹣4
C．x＝4或x＝ －2 D．x＝﹣3
5．（2021七上·如皋期末）在有理数范围内定义运算“ ”： ，如： .如果 成立，则 的值是（ ）
A． B．5 C．0 D．2
6．（2021七上·普陀期末）若 是关于x的方程 的解，则 ．
7．（2021七上·驻马店期末）若 ，则关于 的方程 的解为 .
8．（2019七上·成都期中）已知方程 的解是 ，则关于y的方程 的解是 .
9．（2022七上·遵义期末）解下列方程
（1）
（2）
10．（2020七上·三门峡期末）x等于什么数时，代数式 的值比 的值的2倍小1？
11．（2021七上·南开月考）已知关于x的方程＝x+的解与＝3x﹣的解互为倒数，求m的值．
12．（2021七上·长沙期末）小李在解关于x的方程
－1去分母时，方程右边的－1漏乘了3，因而求得方程的解为x＝－2，请你帮小李同学求出a的值，并且求出原方程的解.
13．（沪科版七上数学3.1一元一次方程及其解法课时作业（4））
（1）小玉在解方程 去分母时，方程右边的“﹣1”项没有乘6，因而求得的解是x=10，试求a的值．
（2）当m为何值时，关于x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程2x+m=5m的解大2？
二、能力提优
14．（2020七上·郁南期末）解方程 时，去分母、再去括号后，正确的结果是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2021七上·陇县期末）小明在解方程去分母时，方程右边的﹣1没有乘3，因而求得的解为x＝2，则原方程的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
16．（2021七上·南开月考）将方程中分母化为整数，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2020七上·历城期末）如果，那么x的值为（ ）
A． B．或1 C．或－2 D．或－4
18．（2021七上·綦江期末）已知关于x的一元一次方程 的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A． B． C．2 D．6
19．（2021七上·滨城期末）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是x＝2，那么m+n＝ ．
20．（2021七上·无为期中）若|x+2022|＝2，则x的值为 ．
21．（2021七上·镇海期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别是－1和2，M从A出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，N从B出发以每秒6个单位长度的速度向左运动，假设点M、N同时出发，经过 秒后，M、N之间的距离为2个单位.
22．（2021七上·镇海期末）已知以 为未知数的一元一次方程 的解为 ，那么以 为未知数的一元一次方程 的解为 .
23．（2020七上·邛崃期末）已知关于 的方程 的解是正整数，则符合条件的所有整数 的积是 ．
24．（2020七上·怀安期末）数学迷小虎在解方程 这一题时，去分母过程中，方程右边的-1漏乘了6，因而求得方程的解为x=-2，请你帮小虎同学求出a的值，并且正确求出原方程的解．
25．（2020七上·东湖期末）已知关于x的方程3[x-2（x- ）]＝4x和 ＝1有相同的解，求这个解．
26．（2020七上·大冶月考）聪聪在对方程 ①去分母时，错误的得到了方程 ②，因而求得的解是 ，试求m的值，并求方程的正确解.
27．（2021七上·城关期末）解方程：｜3x｜=1.
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x＝1，它的解是x= ；
②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程为-3x＝1，它的解是x=- .
请你模仿上面例题的解法，解方程：2｜x-3｜+5＝13.
28．（2020七上·武汉月考）已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，AB＝24.若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒.
（1）当t＝1时，写出数轴上点B，P所表示的数；
（2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问当t为何值点P与点Q相距3个单位长度？
（3）若点O到点M，N其中一个点的距离是到另一个点距离的2倍，则称点O是[M，N]的“好点”，设点C是点A，B的中点，点P，Q分别从A，B两点同时出发，点P向左运动到C点时返回到A点时停止，动点Q一直向右运动到A点后停止运动，求当t为何值时，点C为[P，Q]的“好点”？
三、拓展延伸
29．（2021七上·简阳期中）“数形结合”是重要的数学思想.请你结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于│m－n│.如果表示数a和－2的两点之间的距离是3，记作│a－（－2）│＝3，那么a＝ .
（2）利用绝对值的几何意义，探索│a＋4│＋│a－2│的最小值为 ，若│a＋4│＋│a－2│＝10，则a的值为 .
（3）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且AC＝8，动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒.点M是AP的中点，点N是CP的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化 若变化，请说明理由；若不变，求线段MN的长度.
30．（2021七上·内江期中）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，
（1）写出数轴上点B表示的数 ；
（2）|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离.如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离.试探索：
①：若|x﹣8|=2，则x= .
②：|x+12|+|x﹣8|的最小值为 .
（3）动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒.求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2；
（4）动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒5个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒.问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：去分母得：2x-（x+1）=6，
去括号得：2x-x-1=6.
故答案为：B.
【分析】给方程两边同时乘以6（右边的1不能漏乘），可得2x-(x+1)=6，去括号可得2x-x-1=6，据此判断.
2．【答案】B
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得 = -1
去分母，得3（3x+1）=2（2x-2）-6
去括号，得9x+3=4x-4-6
移项，得9x-4x=-4-6-3
合并同类项，得5x=-13
系数化为1，得x=- .
故答案为：B.
【分析】根据题意列出关于x的含分数系数的一元一次方程，接着先去分母（两边同时乘以6，右边的-1也要乘以6，不能漏乘），再去括号（括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1.
3．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得： +( a+1)=0，
去括号得： + a+1=0，
去分母得：2a-9+a+3=0，
移项得：2a+a=9-3，
合并同类项得：3a=6，
系数化为1得：a=2，
故答案为：B.
【分析】利用互为相反数的两数之和为0，建立关于a的一元一次方程，解方程求出a的值.
4．【答案】C
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵|x﹣1|＝3，
∴x﹣1＝±3，解得：x＝4或x＝ －2
故答案为：C．
【分析】根据绝对值的非负性可以得到x﹣1＝±3，求解即可。
5．【答案】B
【知识点】定义新运算；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 可化为 ，
解得：x=5，
故答案为：B.
【分析】由定义的新运算可得方程，求解即可.
6．【答案】2
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得
∴a-1=1-2a+4
3a=6
解之：a=2.
故答案为：2.
【分析】将x=1代入方程，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
7．【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
解得， ，
代入 得， ，
解方程得，
故答案为：1.
【分析】根据绝对值以及偶次幂的非负性可得m+1=0，n+2=0，求出m、n的值，然后代入方程中求解就可得到x的值.
8．【答案】
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 移项后可化为： ，
则有 ，
并且 移项后可化为： ，
把 代入上式，则有 ，
解之得：
【分析】 可化为： ，则有 ，
再将 化为 ，把 代入化简计算即可.
9．【答案】（1）解：2（x+4）＝13－3（x－5)
解：2x+8＝13－3x+15
2x+3x＝13+15－8
5x＝20
x＝4
（2）解： － ＝ －1
解：去分母，得 4（y－1)－(y－3)＝2(2y+3)－12
去括号，得 4y－4－y+3＝4y+6－12
移项，得 －y＝6－12－3+4
合并同类项，得 －y＝－5
系数化为1，得y＝5
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）利用去括号、移项合并、系数化为1进行解方程即可；
（2）利用去分母、去括号、移项合并、系数化为1进行解方程即可；
10．【答案】解：依题意，得 ，
去分母得：6x 4＝12x 3 6，
移项合并得：6x＝5，
解得x= .
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
11．【答案】解：由方程解得，
由方程解得，
由题意可得：，即，解得
故答案为：
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】先利用解含分数系数的方法求出方程的解，再根据方程的解化为倒数可得求解即可。
12．【答案】解： 按小李的解法解方程，去分母得：2x－1＝x＋a－1，
整理，解得x＝a，
又∵小李解得x＝－2，
∴a＝－2，
把a＝－2代入原方程，得 ，
去分母得：2x-1=x-2-3，
整理，解得x＝－4，
将x=-4代入方程中，左式=右式，即x＝－4为原方程正确的解.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】首先按小李的解法解方程2x－1＝x＋a－1，得x＝a，再根据错解的解为x=-2，代入求出a值，再将a值代入原来的分式方程，按去分母、移项、合并同类项、系数化为1、求解即可.
13．【答案】（1）解：不符合题意去分母得：4x﹣2=3x+3a﹣1，
把x=10代入得：a=3；
（2）解：方程5m+3x=1+x，解得：x= ，
方程2x+m=5m，解得：x=2m，
根据题意得： ﹣2m=2，
去分母得：1﹣5m﹣4m=4，
解得：m=﹣ ．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据题意得小玉去分母后为4x﹣2=3x+3a﹣1，将x=10代入此方程即可求出a的值.
（2）首先分别求解两个方程，其中方程2x+m=5m的解用m表示，根据题意即可列出关于m的方程，求解即可.
14．【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：去分母得：2（2x+1）﹣（10x+1）＝4，
去括号得：4x+2﹣10x﹣1＝4，
故答案为：A．
【分析】先求出2（2x+1）﹣（10x+1）＝4，再去括号求解即可。
15．【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得：2x﹣1＝x+a﹣1，
把x＝2代入这个方程，得：3＝2+a﹣1，
解得：a＝2，
代入原方程，得：，
去分母，得：2x﹣1＝x+2﹣3，
移项、合并同类项，得：x＝0，
故答案为：A.
【分析】已知小明在解方程去分母时，方程右边的 1这个项没有乘3，则所得的式子是：2x 1＝x＋a 1，把x＝2代入方程即可得到一个关于a的方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程，解这个方程即可求得方程的解．
16．【答案】C
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据分数的基本性质可得分母化为整数，需分子分母同时扩大10倍，即．
故答案为：C．
【分析】利用分数的性质，分子、分母都乘以10即可得到答案。
17．【答案】D
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：由绝对值的性质化简，
可得或，
解得：或，
故答案为：D．
【分析】先求出或，再解方程即可。
18．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解： ，
6x-（4-ax）=3（x+3）-6
6x-4+ax=3x+9-6
6x+ax-3x=7
∴ ，
∵方程的解是整数，
∴3+a=1或-1或7或-7，
∴a=-2或-4或4或-10，
∴符合条件的所有整数a的和为-2-4+4-10=-12.
故答案为：A.
【分析】先解方程 ，得到 ，根据方程的解是整数，求出a=-2或-4或4或-10，再计算和即可.
19．【答案】﹣1
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：将x=2代入，
，
∴（8+n）k=14-2m，
由题意可知：无论k为任何数时（8+n）k=14-2m恒成立，
∴n+8=0，14-2m=0，
∴n=-8，m=7，
∴m+n=-8+7=-1，
故答案为：-1．
【分析】将x=2代入，求出（8+n）k=14-2m，根据“无论k为任何数时（8+n）k=14-2m恒成立，”可得n+8=0，14-2m=0，求出m、n的值，再代入计算即可。
20．【答案】-2024或-2020
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】由题意得： ，
或-2
解，得 或-2024
故答案为：-2024或-2020．
【分析】根据|x+2022|＝2，再结合绝对值的性质可得x+2022=2或-2，再求出x的值即可。
21．【答案】 或
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：设经过t秒后，M、N之间的距离为2个单位，
∵M从A出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，N从B出发以每秒6个单位长度的速度向左运动，
∴点M表示出的数为-1-2t，点N表示的数为2-6t，
∵M、N之间的距离为2个单位，
∴|-1-2t-（2-6t）|=2，
解之：t=或.
故答案为：或.
【分析】设经过t秒后，M、N之间的距离为2个单位，利用点M，N的运动方向和速度，可得到点M，N表示的数，再根据M、N之间的距离为2个单位，可得到关于t的方程|-1-2t-（2-6t）|=2，然后解方程求出t的值.
22．【答案】2022
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】∵一元一次方程 的解为 ，
∴ ，
∴2020m=2021×2- ，
∵ ，
∴ ，
整理，得
(2019×2021-1)y=2022×(2019×2021-1)，
∴y=2022，
故答案为：2022.
【分析】根据方程 的解为 ，求得ｍ的值，代入 中计算即可.
23．【答案】12
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】
两边同乘以6，得
去括号，得
移项合并同类项，得
因为方程有解，所以 ，
所以
要使方程的解是正整数，则整数a满足： 或
解得： 或
则所求的积为： .
【分析】将a看作一个常数，先求关于x的一元一次方程的解，再根据方程的解是正整数求出符合条件的所有整数a的值，最后做乘积运算即可.
24．【答案】解：按小虎的解法解方程： ，
得 ，
又∵小虎解得x＝－2，
∴3a+1＝－2，
即a=-1，
把a＝－1代入原方程，得 ，
解得 ，
即原方程正确的解为 ．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】先此方法去分母，再将X=-2代入方程，求a的值，再把a的值代入原方程并解方程即可。
25．【答案】解：∵3[x-2（x- ）]＝4x
∴
∵ ＝1
∴
∵关于x的方程3[x-2（x- ）]＝4x和 ＝1有相同的解
∴
∴
将 代入
∴ ．
【知识点】一元一次方程的解；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】通过分别求解一元一次方程，结合两个方程有相同的解，建立关于a的方程并求解，再将a代入到原关于x的方程的解，即可得到答案．
26．【答案】解：把 代入方程②得： ，
解得： ，
把 代入方程①得： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
则方程的正确解为 .
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】 把 代入方程②中求出m=1，再把 代入方程①中，利用去分母、去括号、移项合并 、系数化为1进行解方程即可.
27．【答案】①当x≥3时，原方程可化为2（x-3）＋5＝13，它的解是x＝7；
②当x＜3时，原方程可化为2（3-x）＋5＝13，它的解是x＝-1.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【分析】根据绝对值的定义分 x-3≥0 或 x-3＜0 ，进行方程求解.
28．【答案】（1）解：∵点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，AB=24.
∴点B表示的数为-1，点A表示的数为-1+24=23.
∵点P从数轴上点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t秒，
∴当t=1时，点P表示的数为23-4×1=19.
（2）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为23-4t，点Q表示的数为3t-1，
依题意，得：|23-4t-（3t-1）|=3，
即24-7t=3或7t-24=3，
解得：t=3或t= ，
答：当t为3或 时，点P与点Q相距3个单位长度.
（3）解：∵点B表示的数为-1，点A表示的数为23，点C为线段AB的中点，
∴点C表示的数为11.
∵24÷2÷4=3（秒），3×2=6（秒），24÷3=8秒，
∴当0≤t≤3时，点P表示的数为23-4t；当3＜t≤6时，点P表示的数为11+4（t-3）=4t-1；当6＜t≤8时，点P表示的数为23；当0≤t≤8时，点Q表示的数为3t-1.
∵点C为[P，Q]的“好点”，
∴当0≤t≤3时，11-（3t-1）=2（23-4t-11）或2[11-（3t-1）]=23-4t-11，
解得：t= 或t=6（不合题意，舍去）；
当3＜t≤6时，|11-（3t-1）|=2（4t-1-11）或2|11-（3t-1）|=4t-1-11，
即12-3t=8t-24或3t-12=8t-24或24-6t=4t-12或6t-24=4t-12，
解得：t= 或t= （不合题意，舍去）或t= 或t=6；
当6＜t≤8时，23-11=2（3t-1-11），
解得：t=6（不合题意，舍去）.
答：当t为 或 或 或6时，点C为[P，Q]的“好点”.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由点B表示的数为最大的负整数及线段AB的长可得出点B，A表示的数，再结合点P的出发点、运动速度及运动方向，可找出当t=1时点P表示的数；（2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为23-4t，点Q表示的数为3t-1，根据PQ=3，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）由点A，B表示的数结合点C为线段AB的中点，可找出点C表示的数，分0≤t≤3，3＜t≤6和6＜t≤8三种情况，根据点C为[P，Q]的“好点”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.
29．【答案】（1）1或－5
（2）6；4或－6
（3）解：线段MN的长度不发生变化.
理由：分两种情况：
①当点P在A，C两点之间运动时，如图：
；
②当点P运动到点C的左边时，如图：
.
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为4
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1） 即
或
解得： 或
故答案为：1或－5
（2）如图， 表示 表示 表示数
表示：
显然：当 在线段 上时， 最短，即 最小，
此时：
当
在 的左边或 的右边，
当 在 的左边时，如图，
此时
解得：
当 在 的右边时，如图，
同理可得：
解得：
综上： 时，a的值为4或－6
故答案为：最小值为6；a的值为4或－6；
【分析】（1）根据已知条件可得|a+2|=3，则a+2=3或a+2=-3，求解就可得到a的值；
（2）数轴上A表示2，B表示-4，C表示a，则|a+4|+|a-2|为BC+AC，显然当C在线段AB上时，AC+BC最短，此时|a+4|+|a-2|=6，则C在B的左边或A的右边，当C在B的左边时，BC=-a-4，AC=2-a，此时-a-4+2-a=10；当C在A的右边时，有a+4+a-2=10，求解即可；
（3）①当点P在A，C两点之间运动时，MN=MP+NP=PA+PC=AC；②当点P运动到点C的左边时，MN=MP-NP=PA-PC=AC，据此求解.
30．【答案】（1）﹣12
（2）6或10；20
（3）解：由题意得：│8－5t│＝2，
所以8－5t＝2或﹣（8－5t）＝2，解得t＝1.2或2；
（4）解：由题意得：│﹣12＋10t－5t│＝4，
所以﹣12＋10t－5t＝4或﹣（﹣12＋10t－5t）＝4，
解得t＝3.2或1.6
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）数轴上B表示的数为8－20＝﹣12；
故答案为：-12；
（2）①因为互为相反数的两个数绝对值相同，
所以由│x－8│＝2可得x－8＝2或﹣（x－8）＝2，解得x＝6或10；
故答案为：6或10；
②当-12≤x≤8时，│x＋12│＋│x－8│的值是20，
当x<-12或x>8时│x＋12│＋│x－8│的值大于20，
所以最小值为20；
故答案为：20；
【分析】（1）利用AB=20及点A表示的数是8，可求出点B表示的数；
（2）①利用绝对值的性质，可知绝对值等于2的数有两个，它们互为相反数，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；②分情况讨论：当-12≤x≤8时；当x<-12或x>8时，利用绝对值的性质，可得此代数式的最小值；
（3）利用数轴上两点之间的距离的意义，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；
（4）利用点的运动方向和速度，分别表示出点P和点Q表示的数，再根据P，Q之间的距离为4，建立关于t的方程，解方程求出t的值.
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