2022年苏科版初中数学七年级上册 4.3 用一元一次方程解决问题（6）——几何问题 同步练习
一、夯实基础
1．（2021七上·临颍期末）用 米长的铁丝做成一个长方形框架，使长比宽多 米，求这个长方形框架的宽是多少米？设长方形的宽x米，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021七上·桂林期末）用一根长100 的绳子围成一个长方形，且长方形的长比宽多10 ，则这个长方形的面积是（ ）
A．25 B．45 C．600 D．2475
3．（2021七上·会宁期末）一个底面半径为10cm、高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12 cm
4．（2019七上·南通月考）周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形，如图所示，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．98 B．196 C．280 D．284
5．（2021七上·玉山期末）一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为 ，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（ ） ．
A．80 B．70 C．60 D．50
6．（2020七上·平罗期末）根据下列条件列方程，并求出方程的解：
（1）一个数的2倍与3的和等于这个数与7的差.
（2）已知一个角的余角比这个角的补角的 小 ，求这个角的余角和补角的度数.
7．（2021七上·永吉期末）如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，则x的值为 ．
8．（2021七上·宜春期末）一个角比它的补角的3倍多40°，则这个角的度数为 ．
9．已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设宽为x，列方程为 ．
10．把直径为20 cm的圆柱形钢材截下一段，锻造成底面直径40 cm，高12 cm的圆锥形零件，求要截下多长的钢材？
11．（2019七上·滕州月考）一根内径为 3cm 的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内 径为 8cm、高为 1.8cm 的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降 了多少 cm？
12．（2021七上·中方期末）五个完全相同的小长方形拼成如图5所示的大长方形，小长方形的周长是8cm，则小长方形的宽是多少？大长方形的面积是多少？
13．列方程求解：如图，用总长为7.2米的铝合金制作“日”字形窗框，已知窗的高比宽多0.6米，求窗的高和宽．
14．（2019七上·崂山月考）如图，若要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长36m．围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．若墙长为18m，要求长比宽大11米（规定与墙平行的为长边），问围成这样的养鸡场的长和宽各为多少？设计是否合理？
二、能力提优
15．（2020七上·西城期中）已知一个长方形的周长为30cm，若长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个正方形，设原来长方形的长为xcm，则可列方程（ ）
A．x﹣1=2（15﹣x） B．x﹣1=2（30﹣x）
C． D．
16．（2020七上·安陆期末）足球的表面一般是由若干黑色五边形和白色六边形围成的，一个足球的表面共有32个皮块.设白皮有x块，则黑皮有 块，每块白皮有六条边，共有6x条边，因为每块白皮有三条边和黑皮连在一起，故黑皮共有3x条边.要求出白皮、黑皮的块数，列出的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2020七上·太湖期末）如图，小明将一个正方形纸剪出一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为（ ）
A． B． C． D．
18．（2020七上·定远月考）如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为 、 ，且甲乙容器等高，甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了 ，则甲的容积为（ ）
A． B． C． D．
19．（2021七上·邹城月考）在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE．若AE＝x（cm），依题意可得方程（ ）
A． B．6+2x＝14﹣x
C．14﹣3x＝6 D．6+2x＝x+（14﹣3x）
20．（2021七上·紫金期末）如图，四个一样大的小矩形拼成一个大矩形，如果大矩形的周长为，那么小矩形的周长为 cm．
21．（2022七上·宝安期末）如图，在△ABC中，AB=3cm，BC=6cm，AC=5cm，蚂蚁甲从点A出发，以1.5cm/s的速度沿着三角形的边按A→B→C→A的方向行走，甲出发1s后蚂蚁乙从点A出发，以2cm/s的速度沿着三角形的边按A→C→B→A的方向行走，那么甲出发 s后，甲乙第一次相距2cm．
22．（2021七上·柯桥月考）如图，点A、O、B都在直线MN上，射线OA绕点O按顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒6°的速度旋转（当其中一条射线与直线MN叠合时，两条射线停止旋转）.经过 秒，∠AOB的大小恰好是60°.
23．（2021七上·大洼期末）如图1是边长为6的正方形硬纸版，在每个角上都剪去一个边长相等的小正方形，将其做成如图2的底面周长为16的正方形无盖纸盒，则这个无盖纸盒的高等于多少？
24．（2021七上·锦江期末）已知一个长方体合金底面长为80，宽为40，高为60．
（1）现要锻压成新的长方体，其底面是边长为40的正方形，则新长方体的高为多少？
（2）若将长方体合金锻压成圆柱体，其底面是直径为80的圆，则新圆柱体合金的高为多少？（ 取3）
25．（2020七上·覃塘期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且 动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒.
（1）写出数轴上点B表示的数 ，点P表示的数 用含t的代数式表示 ；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长.
三、延伸拓展
26．实验室里，水平桌面上甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，求开始注入多少分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm？
27．（2022六下·哈尔滨开学考）中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案：
方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；
方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；
方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．
（1）如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．
（2）如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？
（3）如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取3）
28．（2020七上·高新期末）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=70°．
（1）如图1，若OD平分∠AOC，求∠DOB的度数；
（2）射线OM从OA出发，绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，同时，射线ON从OC出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，OM与ON同时出发(当ON首次与OB重合时，两条射线都停止运动)，设运动的时间为t秒．
(i)如图2，在整个运动过程中，当∠BON=2∠COM时，求t的值；
(ⅱ)如图3，OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，是否存在合适的t，使OC平分∠POQ，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设长方形的宽x米，长为 米，
由题意得， ，
故答案为：C.
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程.设长方形的宽x米，长为 米，根据题意可得周长为 米，据此列方程
2．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设宽为x厘米，则长为x+10厘米，
根据题意得：2（x+x+10）=100，
解得：x=20，
所以长为30厘米，宽为20厘米，
所以面积为600cm2，
故答案为：C.
【分析】根据题意可设未知数，由长方形的周长计算方法列出方程，求得长和宽，即可求的长方形的面积.
3．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小杯的高为x，
根据题意得：π×102×30=π×（10÷2）2 x×12
解得：x=10
则小杯的高为10cm.
故答案为：C.
【分析】设小杯的高为x，根据圆柱体的体积计算方法，由大圆柱杯中水的体积等于12个小圆柱杯中水的体积建立关于x的方程求解即可.
4．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设小长方形的宽为x，则其长为 -6x=34-6x，
所以AD=5x，CD=2（34-6x）=68-12x，
则有5x=68-12x，
解得：x=4，
则大长方形的面积为7×4×（34-6×4）=280，
故答案为：C．
【分析】观察图形可知AD=BC，也就是5个小长方形的宽与2个小长方形有长相等．设小长方形的宽为x，则其长为34﹣6x，根据AB=CD列方程即可求解即可．
5．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由左图知，水体积为40 cm3，
在左图中用v表示瓶子的体积，
空余容积为（v-40）cm3；
由右图知空余容积为 cm3，
由左右两图得到的空余容积应相等得方程：v-40=20．
v=40+20=60
故答案为：C．
【分析】先求出v-40=20，再计算求解即可。
6．【答案】（1）设这个数为x，则
移项，得：
（2）设这个角是x度，它的补角是 ，它的余角是 ;
根据关系可列方程：
移项合并同类项得：
∴这个角的余角为： ；
这个角的补角为： .
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设这个数为x，根据题意列出方程即可求解；（2）设这个角是x度，根据题意列出方程即可求解.
7．【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：标注字母A的面与标注字母x的面相对，标注数字1和标注数字3的面相对，标注x-3和标注3x-2的面相对，
又∵标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，
∴x-3=3x-2，
解得，
故答案为：．
【分析】根据正方体的展开图的特征可得x-3=3x-2，再求出x的值即可。
8．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个角的补角的度数为 ，则这个角的度数为 ，根据题意得：
，
解得： ，
∴这个角的度数为．
故答案为：
【分析】根据题意设这个角的补角的度数为 ，则这个角的度数为 ，列出方程求解即可。
9．【答案】2[x+（x+5）]=50
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设宽为x，则长为x+5， 2[x+（x+5）]=50，
故答案为： 2[x+（x+5）]=50．
【分析】此题的等量关系为：长=宽+5；2（长+宽）=50，列方程即可。
10．【答案】解：设截下的钢材长x cm，根据题意，得
，
解这个方程，得x=16．
答：截下的钢材长16 cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设截下的钢材长x cm，再根据直径为20 cm的圆柱形钢材截下一段的体积=底面直径40 cm，高12 cm的圆锥形的体积，列出方程，解方程即可解答。
11．【答案】解：设试管中的水的高度下降了 ，
根据题意有： ；
解之得： ．
故答案为： ．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意可知，内径为3cm的圆柱形长试管中水柱少的体积等于内径为8cm、高为1.8cm的圆柱形玻璃杯的体积，用此作为相等关系列方程可求解．
12．【答案】解：∵小长方形的周长是8cm，
∴长与宽的和是4cm.
设小长方形的宽为xcm，则长为（4﹣x）cm，根据题意得
3x＝4﹣x
解得x＝1，
所以大长方形的宽为3x＝3cm，长为4﹣x+2x＝5cm，
所以大长方形的面积是15 .
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设小长方形的宽为xcm，则长为（4-x）cm，根据大长方形的宽相等列方程求解.
13．【答案】解：设窗的宽是x米，则高为（x+0.6）米，
由题意得： 3x+2（x+0.6）=7.2，
解得：x=1.2．
则x+0.6=1.8．
答：窗的高为1.8米，宽为1.2米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】等量关系：窗的高=宽+0.6（辅助设未知数）；3×宽+2×高=7.2（方程的等量关系），设未知数列方程，解方程即可。
14．【答案】解：设养鸡场的宽为 ，则长为( 根据题意得：
，
解得： ，
则养鸡场的宽是 ，长为 ．
而墙长只有18m，所以设计不合理.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】先设养鸡场的宽为 xm ，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出 x 的值即可，注意 x 要符合题意.
15．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵长方形的长为xcm，长方形的周长为30cm，
∴长方形的宽为（15﹣x）cm，
∵这长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个正方形，
∴x﹣1=2（15﹣x）．
故答案为A．
【分析】先根据长方形的周长公式用x表示出长方形的宽，再由正方形的四条边都相等即可列出方程．
16．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意得：
.
故答案为：B.
【分析】根据黑皮的边数等于白皮的边数可列方程.
17．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设原正方形的边长为x，则4x=5(x-4)，解得x=20，所以4x=80，
故答案为：D.
【分析】本题考查一元一次方程的应用：几何问题。抓住两次剪下的长条面积相等，列一个等式即可。
18．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设高都为h，根据水的容积相等可列方程80×h=100×（h 8）.
解得h=40，
所以甲的容积为40×80=3200，
故答案为：C.
【分析】本题主要考察了用一元一次方程解决等积变形问题，根据圆柱的体积等于底面积乘以高，可以得出甲容器中装满的水的体积等于后来乙容器中的水的体积，由此可以设甲容器的高为未知数建立等量关系列出方程，注意求出甲容器的高以后要计算出甲容器的容积.
19．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：标字母如图所示：
设AE=xcm，MD=3xcm，则AM=（14-3x）cm，
∵AB=AN+6=6+2x，MR=AM=（14-3x）cm，
∴AB=AE+MR，
即6+2x=x+（14-3x）
故答案为：D．
【分析】先求出AB=AE+MR，再列方程即可。
20．【答案】6
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小矩形的宽为 ，则小矩形的长为 ，
∵大矩形的周长为，
∴
解得：
∴小长方形的周长为 ．
故答案为：6．
【分析】设小矩形的宽为 ，则小矩形的长为 ，根据大矩形的周长为列出方程，解出x值即可.
21．【答案】4
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设甲出发t秒后，甲乙第一次相距2cm，
∴（1.5t-3）-[2（t-1）-5]=2，
∴t=4，
∴甲出发4秒后，甲乙第一次相距2cm，
故答案为：4.
【分析】设甲出发t秒后，甲乙第一次相距2cm，根据题意列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案.
22．【答案】12或24
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设经过x秒，∠AOB的大小恰好是60° ,
依题意得: 4x+60+6x=180或4x+6x-60=180，
解得: x=12或x=24.
故答案为: 12或24.
【分析】经过x秒，∠AOB的大小恰好是60°，分∠AOM+∠AOB+∠BON=180°和∠AOM+∠BON-∠AOB=180°两种情况，可得出关于x的一元一次方程，分别求解即可.
23．【答案】解：由题意可得，底面边长为16÷4=4，
设无盖纸盒的高为x，则有4+x+x=6，
解得：x=1，
答：无盖纸盒的高为1.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据底面是正方形可求得底面边长为4，设无盖纸盒的高为x，根据展开图可列出方程，进而解方程即可求解.
24．【答案】（1）解：设新长方体的高为x，
根据题意得：40×40 x=80×40×60，
解得：x=120．
答：新长方体的高为120．
（2）解：设新圆柱体合金的高为y，
根据题意得： ，
解得： .
答：新圆柱体合金的高为40.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设新长方体的高为x，则新长方体体积为40×40 x，原来长方体体积为80×40×60，然后根据体积相等建立方程，求解即可；
（2）设圆柱体合金的高为y，则新圆柱体合金体积为3×(80÷2)2y，原来长方体体积为80×40×60，然后根据体积相等建立方程，求解即可.
25．【答案】（1）－6；8－5t
（2）解：设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，
则AC=5x，BC=3x， ∵AC﹣BC=AB，
∴5x﹣3x=14，解得：x=7，
∴点P运动7秒时追上点Q；
（3）解：线段MN的长度不发生变化，都等于7；
理由：
∵①当点P在点A、B两点之间时：
MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB= ×14=7；
②当点P运动到点B的左侧时：
MN=MP﹣NP= AP﹣ BP= （AP﹣BP）= AB=7，
∴线段MN的长度不发生变化，其值为7.
【知识点】无理数在数轴上表示；列式表示数量关系；一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的计算
【解析】【解答】解：（1）、∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=14， ∴点B表示的数是8﹣14=﹣6，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，
∴点P表示的数是8﹣5t；
【分析】（1）由已知，数轴上点A表示的数为8，且 AB=14，B在A点左边，由此可算得点B表示的数；动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒 ，则AP=5t，同理由此可算得点B表示的数；（2）由题意， 设点P运动x秒时，在点C处追上点Q， 由数轴图及追及问题得特征可得 AC﹣BC=AB ，由此建立关于x的一元一次方程，即可求得点P运动x秒时追上点Q中得x；（3）由题意分当点P在点A、B两点之间时和当点P运动到点B的左侧时，MN与MP，NP之间的位置数量关系可求得MN的长度进而判定其长度是否发生变化.
26．【答案】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，且注水1分钟，乙的水位上升cm，
∴注水1分钟，丙的水位上升×22=cm．
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，
甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：
①当乙的水位低于甲的水位时，
有1﹣t=0.5，
解得：t=分钟；
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，
∵t﹣1=0.5，
解得：t=，
又∵×=6＞5．
∴此时丙容器已向乙容器溢水．
∵5÷=分钟，×=，即经过分钟丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升cm．
∴+2×（t﹣）﹣1=0.5，
解得t=；
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为：+（5﹣）÷÷2=分钟，
∴5﹣1﹣2×（t﹣）=0.5，
解得：t=．
综上所述，开始注水、、分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】先找出一分钟丙的水位上升的高度，再分析当甲与乙的水位高度之差是0.5cm有几种情况，分情况列出方程，解出方程即可．
27．【答案】（1）20π
（2）解：2+3=5
20×=8（米）
20×=12（米），
8π+12π=20π（米），
答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等．
（3）解：综合前两问可得，花坛的总周长为20π，修完花坛共花费20π×10=200π=600元，
设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米，
4x+（x +x）×（8-4）=20π
解得x=4，
（4×4+4××4）×10=360（元），
答：甲可以得到360元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】 (1)π×10×2=20π（米），
答：修的花坛的周长是20π米．
【分析】（1）利用转化的思想，变成一个直径为20m的圆，再利用圆的周长公式求解即可；
（2）利用转化的思想，变为直径为20m的圆，得出周长相等；
（3） 设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米， 列出方程求出x的值，即可得出答案。
28．【答案】（1）解：∵∠AOC=70°，OD平分∠AOC，∴∠AOD=35°，∴∠DOB=180°﹣∠AOD=145°；
（2）解：∵∠AOC=70°，∴∠BOC=180°﹣70°=110°，
(i)∵70°÷6 (秒)，110°÷4 (秒)
当0＜t 时，如图1，
则∠BON=180°﹣70°﹣4t=110°﹣4t，∠COM=70°﹣6t．
∵∠BON=2∠COM，
∴110°﹣4t=2(70°﹣6t)，
∴t (秒)；
当 时，如图2，
则∠BON=180°﹣70°﹣4t=110°﹣4t，∠COM=6t﹣70°．
∵∠BON=2∠COM，
∴110°﹣4t=2(6t﹣70°)，
∴t (秒)
综上，t 或 ；
(ⅱ)如图3，∠AOM=6t，∠BON=110°﹣4t，
∵OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，
∴∠AOP=3t，∠NOQ=55°﹣2t，
∴∠COP=70°﹣3t，∠COQ=4t (110°﹣4t)=55°+2t．
∵OC平分∠POQ，
∴70°﹣3t=55°+2t，
∴t=3(秒)，
∴当t=3秒时，OC平分∠POQ．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由角平分线定义求出∠AOD．再由平角求得∠BOD；（2）（i）分两种情况：OM没超过OC时，OM超过OC时，列出t的方程，解方程便可得答案；（ⅱ）由题意知OP在OQ的右边，据此画出草图，分别用t表示∠COP和∠COQ，由两角相等，列出t的方程进行解答便可．
1 / 12022年苏科版初中数学七年级上册 4.3 用一元一次方程解决问题（6）——几何问题 同步练习
一、夯实基础
1．（2021七上·临颍期末）用 米长的铁丝做成一个长方形框架，使长比宽多 米，求这个长方形框架的宽是多少米？设长方形的宽x米，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设长方形的宽x米，长为 米，
由题意得， ，
故答案为：C.
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程.设长方形的宽x米，长为 米，根据题意可得周长为 米，据此列方程
2．（2021七上·桂林期末）用一根长100 的绳子围成一个长方形，且长方形的长比宽多10 ，则这个长方形的面积是（ ）
A．25 B．45 C．600 D．2475
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设宽为x厘米，则长为x+10厘米，
根据题意得：2（x+x+10）=100，
解得：x=20，
所以长为30厘米，宽为20厘米，
所以面积为600cm2，
故答案为：C.
【分析】根据题意可设未知数，由长方形的周长计算方法列出方程，求得长和宽，即可求的长方形的面积.
3．（2021七上·会宁期末）一个底面半径为10cm、高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12 cm
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小杯的高为x，
根据题意得：π×102×30=π×（10÷2）2 x×12
解得：x=10
则小杯的高为10cm.
故答案为：C.
【分析】设小杯的高为x，根据圆柱体的体积计算方法，由大圆柱杯中水的体积等于12个小圆柱杯中水的体积建立关于x的方程求解即可.
4．（2019七上·南通月考）周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形，如图所示，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．98 B．196 C．280 D．284
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设小长方形的宽为x，则其长为 -6x=34-6x，
所以AD=5x，CD=2（34-6x）=68-12x，
则有5x=68-12x，
解得：x=4，
则大长方形的面积为7×4×（34-6×4）=280，
故答案为：C．
【分析】观察图形可知AD=BC，也就是5个小长方形的宽与2个小长方形有长相等．设小长方形的宽为x，则其长为34﹣6x，根据AB=CD列方程即可求解即可．
5．（2021七上·玉山期末）一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为 ，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（ ） ．
A．80 B．70 C．60 D．50
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由左图知，水体积为40 cm3，
在左图中用v表示瓶子的体积，
空余容积为（v-40）cm3；
由右图知空余容积为 cm3，
由左右两图得到的空余容积应相等得方程：v-40=20．
v=40+20=60
故答案为：C．
【分析】先求出v-40=20，再计算求解即可。
6．（2020七上·平罗期末）根据下列条件列方程，并求出方程的解：
（1）一个数的2倍与3的和等于这个数与7的差.
（2）已知一个角的余角比这个角的补角的 小 ，求这个角的余角和补角的度数.
【答案】（1）设这个数为x，则
移项，得：
（2）设这个角是x度，它的补角是 ，它的余角是 ;
根据关系可列方程：
移项合并同类项得：
∴这个角的余角为： ；
这个角的补角为： .
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设这个数为x，根据题意列出方程即可求解；（2）设这个角是x度，根据题意列出方程即可求解.
7．（2021七上·永吉期末）如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，则x的值为 ．
【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：标注字母A的面与标注字母x的面相对，标注数字1和标注数字3的面相对，标注x-3和标注3x-2的面相对，
又∵标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，
∴x-3=3x-2，
解得，
故答案为：．
【分析】根据正方体的展开图的特征可得x-3=3x-2，再求出x的值即可。
8．（2021七上·宜春期末）一个角比它的补角的3倍多40°，则这个角的度数为 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个角的补角的度数为 ，则这个角的度数为 ，根据题意得：
，
解得： ，
∴这个角的度数为．
故答案为：
【分析】根据题意设这个角的补角的度数为 ，则这个角的度数为 ，列出方程求解即可。
9．已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设宽为x，列方程为 ．
【答案】2[x+（x+5）]=50
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设宽为x，则长为x+5， 2[x+（x+5）]=50，
故答案为： 2[x+（x+5）]=50．
【分析】此题的等量关系为：长=宽+5；2（长+宽）=50，列方程即可。
10．把直径为20 cm的圆柱形钢材截下一段，锻造成底面直径40 cm，高12 cm的圆锥形零件，求要截下多长的钢材？
【答案】解：设截下的钢材长x cm，根据题意，得
，
解这个方程，得x=16．
答：截下的钢材长16 cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设截下的钢材长x cm，再根据直径为20 cm的圆柱形钢材截下一段的体积=底面直径40 cm，高12 cm的圆锥形的体积，列出方程，解方程即可解答。
11．（2019七上·滕州月考）一根内径为 3cm 的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内 径为 8cm、高为 1.8cm 的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降 了多少 cm？
【答案】解：设试管中的水的高度下降了 ，
根据题意有： ；
解之得： ．
故答案为： ．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意可知，内径为3cm的圆柱形长试管中水柱少的体积等于内径为8cm、高为1.8cm的圆柱形玻璃杯的体积，用此作为相等关系列方程可求解．
12．（2021七上·中方期末）五个完全相同的小长方形拼成如图5所示的大长方形，小长方形的周长是8cm，则小长方形的宽是多少？大长方形的面积是多少？
【答案】解：∵小长方形的周长是8cm，
∴长与宽的和是4cm.
设小长方形的宽为xcm，则长为（4﹣x）cm，根据题意得
3x＝4﹣x
解得x＝1，
所以大长方形的宽为3x＝3cm，长为4﹣x+2x＝5cm，
所以大长方形的面积是15 .
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设小长方形的宽为xcm，则长为（4-x）cm，根据大长方形的宽相等列方程求解.
13．列方程求解：如图，用总长为7.2米的铝合金制作“日”字形窗框，已知窗的高比宽多0.6米，求窗的高和宽．
【答案】解：设窗的宽是x米，则高为（x+0.6）米，
由题意得： 3x+2（x+0.6）=7.2，
解得：x=1.2．
则x+0.6=1.8．
答：窗的高为1.8米，宽为1.2米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】等量关系：窗的高=宽+0.6（辅助设未知数）；3×宽+2×高=7.2（方程的等量关系），设未知数列方程，解方程即可。
14．（2019七上·崂山月考）如图，若要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长36m．围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．若墙长为18m，要求长比宽大11米（规定与墙平行的为长边），问围成这样的养鸡场的长和宽各为多少？设计是否合理？
【答案】解：设养鸡场的宽为 ，则长为( 根据题意得：
，
解得： ，
则养鸡场的宽是 ，长为 ．
而墙长只有18m，所以设计不合理.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】先设养鸡场的宽为 xm ，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出 x 的值即可，注意 x 要符合题意.
二、能力提优
15．（2020七上·西城期中）已知一个长方形的周长为30cm，若长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个正方形，设原来长方形的长为xcm，则可列方程（ ）
A．x﹣1=2（15﹣x） B．x﹣1=2（30﹣x）
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵长方形的长为xcm，长方形的周长为30cm，
∴长方形的宽为（15﹣x）cm，
∵这长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个正方形，
∴x﹣1=2（15﹣x）．
故答案为A．
【分析】先根据长方形的周长公式用x表示出长方形的宽，再由正方形的四条边都相等即可列出方程．
16．（2020七上·安陆期末）足球的表面一般是由若干黑色五边形和白色六边形围成的，一个足球的表面共有32个皮块.设白皮有x块，则黑皮有 块，每块白皮有六条边，共有6x条边，因为每块白皮有三条边和黑皮连在一起，故黑皮共有3x条边.要求出白皮、黑皮的块数，列出的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意得：
.
故答案为：B.
【分析】根据黑皮的边数等于白皮的边数可列方程.
17．（2020七上·太湖期末）如图，小明将一个正方形纸剪出一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设原正方形的边长为x，则4x=5(x-4)，解得x=20，所以4x=80，
故答案为：D.
【分析】本题考查一元一次方程的应用：几何问题。抓住两次剪下的长条面积相等，列一个等式即可。
18．（2020七上·定远月考）如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为 、 ，且甲乙容器等高，甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了 ，则甲的容积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设高都为h，根据水的容积相等可列方程80×h=100×（h 8）.
解得h=40，
所以甲的容积为40×80=3200，
故答案为：C.
【分析】本题主要考察了用一元一次方程解决等积变形问题，根据圆柱的体积等于底面积乘以高，可以得出甲容器中装满的水的体积等于后来乙容器中的水的体积，由此可以设甲容器的高为未知数建立等量关系列出方程，注意求出甲容器的高以后要计算出甲容器的容积.
19．（2021七上·邹城月考）在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE．若AE＝x（cm），依题意可得方程（ ）
A． B．6+2x＝14﹣x
C．14﹣3x＝6 D．6+2x＝x+（14﹣3x）
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：标字母如图所示：
设AE=xcm，MD=3xcm，则AM=（14-3x）cm，
∵AB=AN+6=6+2x，MR=AM=（14-3x）cm，
∴AB=AE+MR，
即6+2x=x+（14-3x）
故答案为：D．
【分析】先求出AB=AE+MR，再列方程即可。
20．（2021七上·紫金期末）如图，四个一样大的小矩形拼成一个大矩形，如果大矩形的周长为，那么小矩形的周长为 cm．
【答案】6
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小矩形的宽为 ，则小矩形的长为 ，
∵大矩形的周长为，
∴
解得：
∴小长方形的周长为 ．
故答案为：6．
【分析】设小矩形的宽为 ，则小矩形的长为 ，根据大矩形的周长为列出方程，解出x值即可.
21．（2022七上·宝安期末）如图，在△ABC中，AB=3cm，BC=6cm，AC=5cm，蚂蚁甲从点A出发，以1.5cm/s的速度沿着三角形的边按A→B→C→A的方向行走，甲出发1s后蚂蚁乙从点A出发，以2cm/s的速度沿着三角形的边按A→C→B→A的方向行走，那么甲出发 s后，甲乙第一次相距2cm．
【答案】4
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设甲出发t秒后，甲乙第一次相距2cm，
∴（1.5t-3）-[2（t-1）-5]=2，
∴t=4，
∴甲出发4秒后，甲乙第一次相距2cm，
故答案为：4.
【分析】设甲出发t秒后，甲乙第一次相距2cm，根据题意列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案.
22．（2021七上·柯桥月考）如图，点A、O、B都在直线MN上，射线OA绕点O按顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒6°的速度旋转（当其中一条射线与直线MN叠合时，两条射线停止旋转）.经过 秒，∠AOB的大小恰好是60°.
【答案】12或24
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设经过x秒，∠AOB的大小恰好是60° ,
依题意得: 4x+60+6x=180或4x+6x-60=180，
解得: x=12或x=24.
故答案为: 12或24.
【分析】经过x秒，∠AOB的大小恰好是60°，分∠AOM+∠AOB+∠BON=180°和∠AOM+∠BON-∠AOB=180°两种情况，可得出关于x的一元一次方程，分别求解即可.
23．（2021七上·大洼期末）如图1是边长为6的正方形硬纸版，在每个角上都剪去一个边长相等的小正方形，将其做成如图2的底面周长为16的正方形无盖纸盒，则这个无盖纸盒的高等于多少？
【答案】解：由题意可得，底面边长为16÷4=4，
设无盖纸盒的高为x，则有4+x+x=6，
解得：x=1，
答：无盖纸盒的高为1.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据底面是正方形可求得底面边长为4，设无盖纸盒的高为x，根据展开图可列出方程，进而解方程即可求解.
24．（2021七上·锦江期末）已知一个长方体合金底面长为80，宽为40，高为60．
（1）现要锻压成新的长方体，其底面是边长为40的正方形，则新长方体的高为多少？
（2）若将长方体合金锻压成圆柱体，其底面是直径为80的圆，则新圆柱体合金的高为多少？（ 取3）
【答案】（1）解：设新长方体的高为x，
根据题意得：40×40 x=80×40×60，
解得：x=120．
答：新长方体的高为120．
（2）解：设新圆柱体合金的高为y，
根据题意得： ，
解得： .
答：新圆柱体合金的高为40.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设新长方体的高为x，则新长方体体积为40×40 x，原来长方体体积为80×40×60，然后根据体积相等建立方程，求解即可；
（2）设圆柱体合金的高为y，则新圆柱体合金体积为3×(80÷2)2y，原来长方体体积为80×40×60，然后根据体积相等建立方程，求解即可.
25．（2020七上·覃塘期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且 动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒.
（1）写出数轴上点B表示的数 ，点P表示的数 用含t的代数式表示 ；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长.
【答案】（1）－6；8－5t
（2）解：设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，
则AC=5x，BC=3x， ∵AC﹣BC=AB，
∴5x﹣3x=14，解得：x=7，
∴点P运动7秒时追上点Q；
（3）解：线段MN的长度不发生变化，都等于7；
理由：
∵①当点P在点A、B两点之间时：
MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB= ×14=7；
②当点P运动到点B的左侧时：
MN=MP﹣NP= AP﹣ BP= （AP﹣BP）= AB=7，
∴线段MN的长度不发生变化，其值为7.
【知识点】无理数在数轴上表示；列式表示数量关系；一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的计算
【解析】【解答】解：（1）、∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=14， ∴点B表示的数是8﹣14=﹣6，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，
∴点P表示的数是8﹣5t；
【分析】（1）由已知，数轴上点A表示的数为8，且 AB=14，B在A点左边，由此可算得点B表示的数；动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒 ，则AP=5t，同理由此可算得点B表示的数；（2）由题意， 设点P运动x秒时，在点C处追上点Q， 由数轴图及追及问题得特征可得 AC﹣BC=AB ，由此建立关于x的一元一次方程，即可求得点P运动x秒时追上点Q中得x；（3）由题意分当点P在点A、B两点之间时和当点P运动到点B的左侧时，MN与MP，NP之间的位置数量关系可求得MN的长度进而判定其长度是否发生变化.
三、延伸拓展
26．实验室里，水平桌面上甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，求开始注入多少分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm？
【答案】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，且注水1分钟，乙的水位上升cm，
∴注水1分钟，丙的水位上升×22=cm．
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，
甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：
①当乙的水位低于甲的水位时，
有1﹣t=0.5，
解得：t=分钟；
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，
∵t﹣1=0.5，
解得：t=，
又∵×=6＞5．
∴此时丙容器已向乙容器溢水．
∵5÷=分钟，×=，即经过分钟丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升cm．
∴+2×（t﹣）﹣1=0.5，
解得t=；
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为：+（5﹣）÷÷2=分钟，
∴5﹣1﹣2×（t﹣）=0.5，
解得：t=．
综上所述，开始注水、、分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】先找出一分钟丙的水位上升的高度，再分析当甲与乙的水位高度之差是0.5cm有几种情况，分情况列出方程，解出方程即可．
27．（2022六下·哈尔滨开学考）中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案：
方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；
方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；
方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．
（1）如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．
（2）如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？
（3）如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取3）
【答案】（1）20π
（2）解：2+3=5
20×=8（米）
20×=12（米），
8π+12π=20π（米），
答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等．
（3）解：综合前两问可得，花坛的总周长为20π，修完花坛共花费20π×10=200π=600元，
设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米，
4x+（x +x）×（8-4）=20π
解得x=4，
（4×4+4××4）×10=360（元），
答：甲可以得到360元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】 (1)π×10×2=20π（米），
答：修的花坛的周长是20π米．
【分析】（1）利用转化的思想，变成一个直径为20m的圆，再利用圆的周长公式求解即可；
（2）利用转化的思想，变为直径为20m的圆，得出周长相等；
（3） 设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米， 列出方程求出x的值，即可得出答案。
28．（2020七上·高新期末）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=70°．
（1）如图1，若OD平分∠AOC，求∠DOB的度数；
（2）射线OM从OA出发，绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，同时，射线ON从OC出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，OM与ON同时出发(当ON首次与OB重合时，两条射线都停止运动)，设运动的时间为t秒．
(i)如图2，在整个运动过程中，当∠BON=2∠COM时，求t的值；
(ⅱ)如图3，OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，是否存在合适的t，使OC平分∠POQ，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵∠AOC=70°，OD平分∠AOC，∴∠AOD=35°，∴∠DOB=180°﹣∠AOD=145°；
（2）解：∵∠AOC=70°，∴∠BOC=180°﹣70°=110°，
(i)∵70°÷6 (秒)，110°÷4 (秒)
当0＜t 时，如图1，
则∠BON=180°﹣70°﹣4t=110°﹣4t，∠COM=70°﹣6t．
∵∠BON=2∠COM，
∴110°﹣4t=2(70°﹣6t)，
∴t (秒)；
当 时，如图2，
则∠BON=180°﹣70°﹣4t=110°﹣4t，∠COM=6t﹣70°．
∵∠BON=2∠COM，
∴110°﹣4t=2(6t﹣70°)，
∴t (秒)
综上，t 或 ；
(ⅱ)如图3，∠AOM=6t，∠BON=110°﹣4t，
∵OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，
∴∠AOP=3t，∠NOQ=55°﹣2t，
∴∠COP=70°﹣3t，∠COQ=4t (110°﹣4t)=55°+2t．
∵OC平分∠POQ，
∴70°﹣3t=55°+2t，
∴t=3(秒)，
∴当t=3秒时，OC平分∠POQ．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由角平分线定义求出∠AOD．再由平角求得∠BOD；（2）（i）分两种情况：OM没超过OC时，OM超过OC时，列出t的方程，解方程便可得答案；（ⅱ）由题意知OP在OQ的右边，据此画出草图，分别用t表示∠COP和∠COQ，由两角相等，列出t的方程进行解答便可．
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