3.1.3 组合与组合数 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 3.1.3 组合与组合数 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 116.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-26 13:52:04 | ||
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文档简介
课程基本信息
课题 3.1.3 组合与组合数
教科书 书名：数学 选择性必修 第二册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年6月
教学目标
教学目标： （1）理解组合与组合数的概念，会利用排列数推导组合数的公式； （2）会利用组合的知识，解决一些简单的组合问题. （3）经历“发现、猜想、归纳、证明”的学习过程，探究组合数的性质，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 教学重点：组合数的概念、组合数的公式及性质. 教学难点：组合数性质的推导过程.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
3min I. 复习回顾 、 情境导入 【情境与问题】 （1）小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？ （2）小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？ 你能否用适当的符号列举两问的选择方式； 两问的结果是否一样？你能否从“列举”的结果或运用“排列”的知识，说明理由. 你能否找到两个问题的内在联系，并用数学式表示？ ④你能类比排列的知识，从问题（2）中提炼出数学本质吗？ 解：（1）设3所学校分别为A,B,C. 问题1的所有情况： 问题2的所有情况： （A,B），（B,A）, （A,B）， （A,C），（C,A）, （A,C）， （B,C），（C,B）. （B,C）. （2）显然两个问题结果并不一样. 从列举的结果来看： 在问题（1）中（A,B）与（B,A）代表了两种不同选择方式，一个是第一志愿为A，第二志愿为B；另一个是第一志愿为B，第二志愿为A.而在问题（2）中这两种情况是完全相同的，只记为一种方法. 从“排列”的角度来看： 问题（1）不仅要选出两所学校，还要制定一所作为第一志愿，另一所作为第二志愿. 相当于“从3个不同对象中任取2个按照一定的顺序排成一列”，属于排列问题，排列数为. 问题（2）只需选出两所学校，而无需排序，所以不是排列问题. （3）相对于问题（2），问题（1）可以看作分成两步完成： 第一步，从3所学校中任取2所学校，即完成问题（2）的事情，设有种方法； 第二步，将选出的2所学校全排列，排列数为； 由问题（1）的答案为，根据分步乘法计数原理可知：. 即：. （4）事实上，问题（2）也是计数问题中的一种重要模型，你能类比排列的知识，从问题（2）中提炼数学本质吗？ 从3所大学中选择2所，有多少种不同的选择方式？ ↓ 从3个不同对象中任取出2个对象，不考虑顺序并成一组，有多少种不同的组法？ 这类问题就是我们这节课要学习的组合问题，我们再将它一般化，归纳出组合的定义.
20min Ⅱ. 探究新知 【抽象概括，形成概念】 1. 组合 一般地，从n个不同对象中取出m（m≤n）个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合. 组合的两个特征： （1）研究的n个对象和取出的m个对象，都是互不相同的； （2）取出后“并成一组”，即与对象的顺序无关. {A,B},{A,C},{B,C} → 一个组合看成一个集合 对比： 排列组合定义一般地，从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.一般地，从n个不同对象中取出m（m≤n）个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.相同点从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象不同点与对象的顺序有关与对象的顺序无关
“先选后排” “只选不排” 2. 组合数 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号表示. 从n个不同对象中取出m个做排列，可以按 “先选后排”，分为两个步骤完成： 第一步，先从n个不同对象取出m个，有种选法； 第二步，将选出的m个对象做全排列，有种排法. 由分步乘法计数原理，则，所以. 组合数公式： （1） （2） 下面我们来看几个特殊的组合数： 当m=0时， ；（注意） 当m=1时，； 当m=n时，. 思考：3个组合数的实际含义. 我们也可以从具体问题中理解这3个组合数的含义 在使用组合数时，需注意一下几点： （1）符号既表示一个结果，又表示一种运算. （2）组合数公式有“连乘”和“阶乘”两种主要形式. （连乘） （阶乘） 通常，当进行具体计算或组合数中m较小时，使用连乘形式比较方便，如：. 当组合数中含有未知量，需要进行恒等变形时，通常用阶乘的形式，简化列式过程. 再或者，我们也可以利用信息技术软件或者科学计算器来计算组合数.同学们可以查阅选修第二册P21，了解相关方法. 例1. 平面内有 5 个点，其中任意三点不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度不相等. （1）这些点共可以连成多少条不同的线段？ （2）以这些点为端点，共可以作出多少个不同的非零向量？ （3）以这些点为顶点，共可以组成多少个不同的三角形？ 解：问题（1）：因为任意三点不共线，由两点可确定一条线段，且与两个端点的顺序无关，所以问题等价于“从5个不同对象中任取2个并成一组”，是“组合”问题，共条线段. 问题（2）：因为以任意一点为始点、另一点为终点，均可作出一个非零向量，而且连成的所有线段中，任意两条线段长度都不相等，所以得到的向量互不相同.问题（2）可转化为“从5个不同对象中任取2个，按一定的顺序排成一列”，需注意到：对调起点和终点的位置，对应的向量不同，故要考虑顺序.所以这是“排列”问题，共个非零向量. 问题（3）：因为以任意三个不共线的点作为顶点，都可以构成一个三角形，且与三个顶点的顺序无关，所以问题等同于“从5个不同对象中任取3个并成一组”，是 “组合”问题，共个三角形. 思考：由问题（1）和问题（3），有，这里是否具有一定规律？我们在后面练习中继续观察. 例2. 计算：（1）； （2）. 解： （1）； （2）. 通过例1和例2，我们发现了三组相等组合数，，和，这三组组合数的共同特征是：两个组合数的下标相同，且两个上标之和等于下标.由此我们猜测：. 证明： ， 因此，. 我们也可以利用组合数的含义来解释这个等式： ：表示为从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数. 当确定了取出哪些m个对象时，那么剩余的n–m个对象也就确定下来了. 所以取m个对象的每一个组合，与选出剩余n–m个对象的每一个组合是一一对应的.所以从n个不同对象中取出m个对象的组合数，与从n个不同对象中取出n–m个对象的组合数是相等的. 组合数的性质1： （1）反映了组合数的对称性； （2）当时，将计算转化为计算会更简便. 例3. 一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取出5个球： （1）共有多少种不同的取法？ （2）如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ （3）如果不取红球，共有多少种不同的取法？ 解：问题（1）只是取出球，所以不用考虑取出球的先后顺序，所以等同于“从8个不同对象中任取5个并成一组”，是组合问题. 其方法有种. 问题（2）：如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 因为红球只有1个，所以取出的红球已经确定下来，只需再从剩余的7个白球中取出4个白球即可，有种方法. 问题（3）： 法1. 不取红球，即取出的5个球均为白球，问题转化为“从7个不同白球中取出5个白球”，仍是组合问题，所以不同的取法为：. 法2. 间接法： “不取红球”，出现“不”这样的否定词语，很容易联想到“间接法”.即从“任意取出5个球”中，去掉“必须取红球”即可.结合前2问的结论可以得到： 种. 从问题（3）的直接法和间接法中，我们又发现一个有趣的结论： 即： . 思考：这个等量关系是偶然还是必然？ 我们可以从实际问题中思考这个问题，这个等式是从一个具体问题中，通过两个不同途径直接法和间接法计算得到的等量关系.所以我们猜测它应具备普遍性.同学们可以自己尝试将这个问题一般化，试试能否提炼出数学本质，归纳出结论？ 我们将刚才的问题和研究过程一般化 一个口袋里有7个不同白球和1个红球，从中取出5个球.情况一：取出球中必有红球； 情况二：取出的球中没有红球. 问题一般化： 假设有n+1个不同对象，甲是其中一个，从这n+1个对象中取出m+1个的组合共有多少个？ 法1. 从个对象中取出m+1个的组合数为. 法2. 利用例3的问题（2）和问题（3），把这个问题分成两类情况： 第一类，如果不取出甲，则问题等价于“从n个不同对象取出m+1个的组合”，共有种方法. 第二类，如果必须取出甲，则问题等价于“从剩余n个不同对象再取出m个的组合”，共有种方法. 根据分类加法计数原理，共有种方法. 因此可得，组合数的性质2：. （选讲）注意到设问中，假定是“从n+1个不同对象中，取出m+1个的对象”. 为何不设为“从n个不同对象中，取出m个的对象”这样看上去更简洁的问题呢？ 从推导的结论来看，后者的推论为，这里则要求.所以，从组合数的定义角度来看，前者更具备普适性. 另外，我们也可以从“数式”的角度分析，在中，等式左边两个组合数，下标相同，上标相差1. 在例2（1）“”中，这两个组合数也具备相同规律，小标相同，上标相差1.那么右式的结果是否也能表示为一个组合数呢？对比两个等式，你能否观察出什么规律？请各位同学课后尝试研究，并证明你的结论. 这里我们给出这个问题的结论：. 这个等式我们把它作为组合数的性质2，在关于一些组合数的计算或化简变形中经常应用. 如：计算： 我们可以分别计算两个组合数，再相加 法1： 此外，我们注意到两个组合数的下标形同，上标相差1，可以利用性质2变形成1个组合数，体现了“合二为一”的作用. 法2： 我们再来看一道例题： 计算： 除了分别计算每个组合数外，我们可以发现前2个组合数具备组合数性质2等式左边的特征，可将其“合二为一”，之后不难发现可以继续利用性质2化简，直至得到. 通过灵活运用组合数的性质，可以达到化简算式，简化计算的效果.
2min III. 小结 【课堂小结】 1.本节课我们仍从具体实例中抽象出概念，通过对比排列问题，概括出问题的本质特征，得到组合的定义.并利用排列数公式推导出组合数的公式. 2.组合与组合数的概念； 特征： （1） “取出的对象互不相同”，即不重复抽取； （2） “取出的对象并成一组” ，即无序性. 3.组合数的公式和性质 公式： 性质：（1）； （2）. 主要用于化简算式，和简化计算. 4.体会组合数性质的推导过程. 我们经历了“发现、猜想、归纳、证明”的学习过程，探究出组合数的性质，感受到了从特殊到一般的探究过程，体会了转化与化归的数学思想，提升了抽象概括能力,
Ⅳ.作业 【作业】 B版 教材22页 A组 1,3；B组 3（选做）. A组 1. 北京队、上海队、天津队、广东队四个足球队举行友谊比赛，每两个队要比赛一场 （1）求一共有多少场比赛？并列出所有可能的情况； （2）最终产生冠、亚军各一个队，一共有多少种情况？并列出所有可能的冠亚军情况. 3. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）. B组 3.（选做）利用组合数公式证明：
课题 3.1.3 组合与组合数
教科书 书名：数学 选择性必修 第二册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年6月
教学目标
教学目标： （1）理解组合与组合数的概念，会利用排列数推导组合数的公式； （2）会利用组合的知识，解决一些简单的组合问题. （3）经历“发现、猜想、归纳、证明”的学习过程，探究组合数的性质，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 教学重点：组合数的概念、组合数的公式及性质. 教学难点：组合数性质的推导过程.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
3min I. 复习回顾 、 情境导入 【情境与问题】 （1）小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？ （2）小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？ 你能否用适当的符号列举两问的选择方式； 两问的结果是否一样？你能否从“列举”的结果或运用“排列”的知识，说明理由. 你能否找到两个问题的内在联系，并用数学式表示？ ④你能类比排列的知识，从问题（2）中提炼出数学本质吗？ 解：（1）设3所学校分别为A,B,C. 问题1的所有情况： 问题2的所有情况： （A,B），（B,A）, （A,B）， （A,C），（C,A）, （A,C）， （B,C），（C,B）. （B,C）. （2）显然两个问题结果并不一样. 从列举的结果来看： 在问题（1）中（A,B）与（B,A）代表了两种不同选择方式，一个是第一志愿为A，第二志愿为B；另一个是第一志愿为B，第二志愿为A.而在问题（2）中这两种情况是完全相同的，只记为一种方法. 从“排列”的角度来看： 问题（1）不仅要选出两所学校，还要制定一所作为第一志愿，另一所作为第二志愿. 相当于“从3个不同对象中任取2个按照一定的顺序排成一列”，属于排列问题，排列数为. 问题（2）只需选出两所学校，而无需排序，所以不是排列问题. （3）相对于问题（2），问题（1）可以看作分成两步完成： 第一步，从3所学校中任取2所学校，即完成问题（2）的事情，设有种方法； 第二步，将选出的2所学校全排列，排列数为； 由问题（1）的答案为，根据分步乘法计数原理可知：. 即：. （4）事实上，问题（2）也是计数问题中的一种重要模型，你能类比排列的知识，从问题（2）中提炼数学本质吗？ 从3所大学中选择2所，有多少种不同的选择方式？ ↓ 从3个不同对象中任取出2个对象，不考虑顺序并成一组，有多少种不同的组法？ 这类问题就是我们这节课要学习的组合问题，我们再将它一般化，归纳出组合的定义.
20min Ⅱ. 探究新知 【抽象概括，形成概念】 1. 组合 一般地，从n个不同对象中取出m（m≤n）个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合. 组合的两个特征： （1）研究的n个对象和取出的m个对象，都是互不相同的； （2）取出后“并成一组”，即与对象的顺序无关. {A,B},{A,C},{B,C} → 一个组合看成一个集合 对比： 排列组合定义一般地，从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.一般地，从n个不同对象中取出m（m≤n）个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.相同点从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象不同点与对象的顺序有关与对象的顺序无关
“先选后排” “只选不排” 2. 组合数 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号表示. 从n个不同对象中取出m个做排列，可以按 “先选后排”，分为两个步骤完成： 第一步，先从n个不同对象取出m个，有种选法； 第二步，将选出的m个对象做全排列，有种排法. 由分步乘法计数原理，则，所以. 组合数公式： （1） （2） 下面我们来看几个特殊的组合数： 当m=0时， ；（注意） 当m=1时，； 当m=n时，. 思考：3个组合数的实际含义. 我们也可以从具体问题中理解这3个组合数的含义 在使用组合数时，需注意一下几点： （1）符号既表示一个结果，又表示一种运算. （2）组合数公式有“连乘”和“阶乘”两种主要形式. （连乘） （阶乘） 通常，当进行具体计算或组合数中m较小时，使用连乘形式比较方便，如：. 当组合数中含有未知量，需要进行恒等变形时，通常用阶乘的形式，简化列式过程. 再或者，我们也可以利用信息技术软件或者科学计算器来计算组合数.同学们可以查阅选修第二册P21，了解相关方法. 例1. 平面内有 5 个点，其中任意三点不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度不相等. （1）这些点共可以连成多少条不同的线段？ （2）以这些点为端点，共可以作出多少个不同的非零向量？ （3）以这些点为顶点，共可以组成多少个不同的三角形？ 解：问题（1）：因为任意三点不共线，由两点可确定一条线段，且与两个端点的顺序无关，所以问题等价于“从5个不同对象中任取2个并成一组”，是“组合”问题，共条线段. 问题（2）：因为以任意一点为始点、另一点为终点，均可作出一个非零向量，而且连成的所有线段中，任意两条线段长度都不相等，所以得到的向量互不相同.问题（2）可转化为“从5个不同对象中任取2个，按一定的顺序排成一列”，需注意到：对调起点和终点的位置，对应的向量不同，故要考虑顺序.所以这是“排列”问题，共个非零向量. 问题（3）：因为以任意三个不共线的点作为顶点，都可以构成一个三角形，且与三个顶点的顺序无关，所以问题等同于“从5个不同对象中任取3个并成一组”，是 “组合”问题，共个三角形. 思考：由问题（1）和问题（3），有，这里是否具有一定规律？我们在后面练习中继续观察. 例2. 计算：（1）； （2）. 解： （1）； （2）. 通过例1和例2，我们发现了三组相等组合数，，和，这三组组合数的共同特征是：两个组合数的下标相同，且两个上标之和等于下标.由此我们猜测：. 证明： ， 因此，. 我们也可以利用组合数的含义来解释这个等式： ：表示为从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数. 当确定了取出哪些m个对象时，那么剩余的n–m个对象也就确定下来了. 所以取m个对象的每一个组合，与选出剩余n–m个对象的每一个组合是一一对应的.所以从n个不同对象中取出m个对象的组合数，与从n个不同对象中取出n–m个对象的组合数是相等的. 组合数的性质1： （1）反映了组合数的对称性； （2）当时，将计算转化为计算会更简便. 例3. 一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取出5个球： （1）共有多少种不同的取法？ （2）如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ （3）如果不取红球，共有多少种不同的取法？ 解：问题（1）只是取出球，所以不用考虑取出球的先后顺序，所以等同于“从8个不同对象中任取5个并成一组”，是组合问题. 其方法有种. 问题（2）：如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 因为红球只有1个，所以取出的红球已经确定下来，只需再从剩余的7个白球中取出4个白球即可，有种方法. 问题（3）： 法1. 不取红球，即取出的5个球均为白球，问题转化为“从7个不同白球中取出5个白球”，仍是组合问题，所以不同的取法为：. 法2. 间接法： “不取红球”，出现“不”这样的否定词语，很容易联想到“间接法”.即从“任意取出5个球”中，去掉“必须取红球”即可.结合前2问的结论可以得到： 种. 从问题（3）的直接法和间接法中，我们又发现一个有趣的结论： 即： . 思考：这个等量关系是偶然还是必然？ 我们可以从实际问题中思考这个问题，这个等式是从一个具体问题中，通过两个不同途径直接法和间接法计算得到的等量关系.所以我们猜测它应具备普遍性.同学们可以自己尝试将这个问题一般化，试试能否提炼出数学本质，归纳出结论？ 我们将刚才的问题和研究过程一般化 一个口袋里有7个不同白球和1个红球，从中取出5个球.情况一：取出球中必有红球； 情况二：取出的球中没有红球. 问题一般化： 假设有n+1个不同对象，甲是其中一个，从这n+1个对象中取出m+1个的组合共有多少个？ 法1. 从个对象中取出m+1个的组合数为. 法2. 利用例3的问题（2）和问题（3），把这个问题分成两类情况： 第一类，如果不取出甲，则问题等价于“从n个不同对象取出m+1个的组合”，共有种方法. 第二类，如果必须取出甲，则问题等价于“从剩余n个不同对象再取出m个的组合”，共有种方法. 根据分类加法计数原理，共有种方法. 因此可得，组合数的性质2：. （选讲）注意到设问中，假定是“从n+1个不同对象中，取出m+1个的对象”. 为何不设为“从n个不同对象中，取出m个的对象”这样看上去更简洁的问题呢？ 从推导的结论来看，后者的推论为，这里则要求.所以，从组合数的定义角度来看，前者更具备普适性. 另外，我们也可以从“数式”的角度分析，在中，等式左边两个组合数，下标相同，上标相差1. 在例2（1）“”中，这两个组合数也具备相同规律，小标相同，上标相差1.那么右式的结果是否也能表示为一个组合数呢？对比两个等式，你能否观察出什么规律？请各位同学课后尝试研究，并证明你的结论. 这里我们给出这个问题的结论：. 这个等式我们把它作为组合数的性质2，在关于一些组合数的计算或化简变形中经常应用. 如：计算： 我们可以分别计算两个组合数，再相加 法1： 此外，我们注意到两个组合数的下标形同，上标相差1，可以利用性质2变形成1个组合数，体现了“合二为一”的作用. 法2： 我们再来看一道例题： 计算： 除了分别计算每个组合数外，我们可以发现前2个组合数具备组合数性质2等式左边的特征，可将其“合二为一”，之后不难发现可以继续利用性质2化简，直至得到. 通过灵活运用组合数的性质，可以达到化简算式，简化计算的效果.
2min III. 小结 【课堂小结】 1.本节课我们仍从具体实例中抽象出概念，通过对比排列问题，概括出问题的本质特征，得到组合的定义.并利用排列数公式推导出组合数的公式. 2.组合与组合数的概念； 特征： （1） “取出的对象互不相同”，即不重复抽取； （2） “取出的对象并成一组” ，即无序性. 3.组合数的公式和性质 公式： 性质：（1）； （2）. 主要用于化简算式，和简化计算. 4.体会组合数性质的推导过程. 我们经历了“发现、猜想、归纳、证明”的学习过程，探究出组合数的性质，感受到了从特殊到一般的探究过程，体会了转化与化归的数学思想，提升了抽象概括能力,
Ⅳ.作业 【作业】 B版 教材22页 A组 1,3；B组 3（选做）. A组 1. 北京队、上海队、天津队、广东队四个足球队举行友谊比赛，每两个队要比赛一场 （1）求一共有多少场比赛？并列出所有可能的情况； （2）最终产生冠、亚军各一个队，一共有多少种情况？并列出所有可能的冠亚军情况. 3. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）. B组 3.（选做）利用组合数公式证明：