3.3 二项式定理与杨辉三角 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 3.3 二项式定理与杨辉三角 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 118.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-26 13:52:04 | ||
图片预览
文档简介
课程基本信息
课题 3.3二项式定理与杨辉三角
教科书 书名： 数学选择性必修第二册（B版） 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 7月
教学目标
教学目标：1.能根据特例归纳猜想二项展开式系数以及二项展开式的通项． 2.理解二项式定理通项的意义，并会灵活应用． 3.能正确区分二项式系数和某一项的系数． 4.能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出指定的项或系数． 5.体验二项式定理的发现过程，能运用不完全归纳法进行合理猜想． 6.能利用赋值法求二项式系数和，培养学生利用赋值的方法解决问题的能力． 教学重点：二项式定理的理解及展开式应用． 教学难点：二项式定理的理解及展开式的灵活应用．
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
1 分钟 创 设 情 境 小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投篮结果可以分成11类：投中0次，投中1次，投中2次……投中10次.而投中0次只有1（即）种情况，投中1次有种情况，投中2次就有种情况……投中10次有种情况． 因此，小张投篮10次，结果共有 种情况，那么上式的结果是多少呢？大家当然可以逐一计算每个组合数的结果然后求和，有没有办法能算得快一点呢？利用本节我们要学习的二项式定理，就可以快速地解答这个问题． 意图：通过实际问题，激发学生想了解更快的解题方法的学习兴趣．
20 分钟 新 课 讲 解 新 课 讲 解 新 课 讲 解 新 课 讲 解 1.二项式定理的发现 对于 通过观察，根据多项式乘法的结构特征，归纳总结． 归纳反思： （1）展开式中每一项都是3次项，这个次数由有多少个a + b相乘决定，即由二项式的次数决定． （2）按照搭配，可以将这些3次项按a的降幂排列，或按b的升幂排列，总共有4种结果，项的个数比次数多1个． （3）3次式，选k个b（得到）系数就是． 猜想规律： （1）对来说，展开式中的每一项都是n次项； （2）按a的降幂排列，有,,……,,……, 共n+1种结果． （3）n次式，选k个b（得到）系数就是． 意图：通过特例分析，思考二项式定理中每一项的形成过程、系数来源，猜想二项式定理． 2.二项式定理及相关概念 一般地，当n是正整数时，有 ． 上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为的展开式，它共有n+1项，其中是展开式中的第k+1项（通常用表示），称为第k+1项的二项式系数，我们将称为二项展开式的通项公式． 分析的特点：a与b的指数和为n，b的指数k与二项式系数上角标相同，二项式系数是，这些都是对应展开式中的第k+1项． 意图：分析二项式定理中每一项的特点，帮助学生记忆定理内容． 3.例题分析 例1.(1)写出的展开式． 解：在二项式定理中，令a=1，b=x，n=6，可得 (2)写出的展开式． 解：在二项式定理中，令a=2，b= –x，n=5，可得 归纳反思： （1）明确二项式中的加减号可以看成是b自带的符号，定理内容永远都是“ + ”，b = –x在进行指数运算时，会因为指数的奇偶导致展开式中正负号交替出现． （2）展开式中，可以看出常数项是32，x的系数是–80，注意到展开式中第1项的二项式系数是=1，第2项的二项式系数为=5，由此可知展开式中某一项的系数与二项式系数，一般情况下并不相等． 【小结】：利用二项式定理写展开式，要找好a,b分别是什么，括号内的两项，前面一项看成是a，后面一项看成是b， 比如遇到，就认定a=p , b=q, 遇到，就认定a=p, b= – q按照定理展开即可． 意图：帮助学生熟悉二项式定理的内容，会写二项展开式，教会学生怎么确定二项式定理中的a和b． 例2.（1）的展开式的第4项是_______，含的项的二项式系数是________． 解：根据通项公式， 由已知k=5，则其二项式系数为． （2）求的展开式中含的项． 解：因为，所以展开式中的第k+1项为 . 要使此项含，必须有9 – 2 k = 3，从而有k = 3， 因此含的项为第4项． （3）求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数． 解：因为，所以展开式中的第k+1项为． 要得到常数项，必须有3–k=0，从而有k=3，因此常数项是第4项，且 ． 从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为． 【小结】：求二项展开式中指定项的解题程序： S1：确定定理中的a,b,n在题目中指的都是什么； S2：写通项公式，通过指数运算进行整理； S3：若所求指定项的次数为t，令指数运算后整理出的字母指数等于t（常数项指指数为0），计算出k； S4：将k代入通项公式，即为所求． 意图：通过本例，让学生明确利用通项公式可以求二项展开式中指定项． 4.二项式系数和的特征 根据二项式定理可知 再对比课前引入的投篮问题，要计算的是： 引导学生思考二者关系．让学生理解赋值法的含义及目的． 对于，令x=1，可得 ， 如果令x = – 1呢？可以得到 即， 利用赋值法，小结二项式系数和的规律： （1）如果令a = b = 1，则有 结论1：在的展开式中，二项式系数和为，二项式系数的和只与n有关． （2）如果令a = 1，b = –1，则有 ， 也就是说. 结论2：在的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和． 综合结论1与结论2，可知奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，各占二项式系数和的一半，且二项式系数和为，也可得出：. 意图：让学生明确用需要的特殊值能够找到自己想要求出的表达式的整体，体会赋值法的应用．
课堂小结 本节课学习了二项式定理，即 ， 要清楚二项展开式有n+1项，按a的降幂排列，利用定理可以直接写二项展开式．二项式定理的通项公式为，利用通项公式可以求指定次数或项数的项．还要区分清楚系数和二项式系数．
作业 教材P33 习题3–3A4、2、6 教材P34 习题3–3B2
课题 3.3二项式定理与杨辉三角
教科书 书名： 数学选择性必修第二册（B版） 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 7月
教学目标
教学目标：1.能根据特例归纳猜想二项展开式系数以及二项展开式的通项． 2.理解二项式定理通项的意义，并会灵活应用． 3.能正确区分二项式系数和某一项的系数． 4.能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出指定的项或系数． 5.体验二项式定理的发现过程，能运用不完全归纳法进行合理猜想． 6.能利用赋值法求二项式系数和，培养学生利用赋值的方法解决问题的能力． 教学重点：二项式定理的理解及展开式应用． 教学难点：二项式定理的理解及展开式的灵活应用．
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
1 分钟 创 设 情 境 小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投篮结果可以分成11类：投中0次，投中1次，投中2次……投中10次.而投中0次只有1（即）种情况，投中1次有种情况，投中2次就有种情况……投中10次有种情况． 因此，小张投篮10次，结果共有 种情况，那么上式的结果是多少呢？大家当然可以逐一计算每个组合数的结果然后求和，有没有办法能算得快一点呢？利用本节我们要学习的二项式定理，就可以快速地解答这个问题． 意图：通过实际问题，激发学生想了解更快的解题方法的学习兴趣．
20 分钟 新 课 讲 解 新 课 讲 解 新 课 讲 解 新 课 讲 解 1.二项式定理的发现 对于 通过观察，根据多项式乘法的结构特征，归纳总结． 归纳反思： （1）展开式中每一项都是3次项，这个次数由有多少个a + b相乘决定，即由二项式的次数决定． （2）按照搭配，可以将这些3次项按a的降幂排列，或按b的升幂排列，总共有4种结果，项的个数比次数多1个． （3）3次式，选k个b（得到）系数就是． 猜想规律： （1）对来说，展开式中的每一项都是n次项； （2）按a的降幂排列，有,,……,,……, 共n+1种结果． （3）n次式，选k个b（得到）系数就是． 意图：通过特例分析，思考二项式定理中每一项的形成过程、系数来源，猜想二项式定理． 2.二项式定理及相关概念 一般地，当n是正整数时，有 ． 上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为的展开式，它共有n+1项，其中是展开式中的第k+1项（通常用表示），称为第k+1项的二项式系数，我们将称为二项展开式的通项公式． 分析的特点：a与b的指数和为n，b的指数k与二项式系数上角标相同，二项式系数是，这些都是对应展开式中的第k+1项． 意图：分析二项式定理中每一项的特点，帮助学生记忆定理内容． 3.例题分析 例1.(1)写出的展开式． 解：在二项式定理中，令a=1，b=x，n=6，可得 (2)写出的展开式． 解：在二项式定理中，令a=2，b= –x，n=5，可得 归纳反思： （1）明确二项式中的加减号可以看成是b自带的符号，定理内容永远都是“ + ”，b = –x在进行指数运算时，会因为指数的奇偶导致展开式中正负号交替出现． （2）展开式中，可以看出常数项是32，x的系数是–80，注意到展开式中第1项的二项式系数是=1，第2项的二项式系数为=5，由此可知展开式中某一项的系数与二项式系数，一般情况下并不相等． 【小结】：利用二项式定理写展开式，要找好a,b分别是什么，括号内的两项，前面一项看成是a，后面一项看成是b， 比如遇到，就认定a=p , b=q, 遇到，就认定a=p, b= – q按照定理展开即可． 意图：帮助学生熟悉二项式定理的内容，会写二项展开式，教会学生怎么确定二项式定理中的a和b． 例2.（1）的展开式的第4项是_______，含的项的二项式系数是________． 解：根据通项公式， 由已知k=5，则其二项式系数为． （2）求的展开式中含的项． 解：因为，所以展开式中的第k+1项为 . 要使此项含，必须有9 – 2 k = 3，从而有k = 3， 因此含的项为第4项． （3）求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数． 解：因为，所以展开式中的第k+1项为． 要得到常数项，必须有3–k=0，从而有k=3，因此常数项是第4项，且 ． 从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为． 【小结】：求二项展开式中指定项的解题程序： S1：确定定理中的a,b,n在题目中指的都是什么； S2：写通项公式，通过指数运算进行整理； S3：若所求指定项的次数为t，令指数运算后整理出的字母指数等于t（常数项指指数为0），计算出k； S4：将k代入通项公式，即为所求． 意图：通过本例，让学生明确利用通项公式可以求二项展开式中指定项． 4.二项式系数和的特征 根据二项式定理可知 再对比课前引入的投篮问题，要计算的是： 引导学生思考二者关系．让学生理解赋值法的含义及目的． 对于，令x=1，可得 ， 如果令x = – 1呢？可以得到 即， 利用赋值法，小结二项式系数和的规律： （1）如果令a = b = 1，则有 结论1：在的展开式中，二项式系数和为，二项式系数的和只与n有关． （2）如果令a = 1，b = –1，则有 ， 也就是说. 结论2：在的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和． 综合结论1与结论2，可知奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，各占二项式系数和的一半，且二项式系数和为，也可得出：. 意图：让学生明确用需要的特殊值能够找到自己想要求出的表达式的整体，体会赋值法的应用．
课堂小结 本节课学习了二项式定理，即 ， 要清楚二项展开式有n+1项，按a的降幂排列，利用定理可以直接写二项展开式．二项式定理的通项公式为，利用通项公式可以求指定次数或项数的项．还要区分清楚系数和二项式系数．
作业 教材P33 习题3–3A4、2、6 教材P34 习题3–3B2