第三章 排列、组合与二项式定理小结 教学设计（表格式）

课程基本信息
课题 第三章 排列、组合与二项式定理小结
教科书 书名： 选择性必修2 人 教B版 出版社： 人民教育出版社 出版日期： 年 月
教学目标
教学目标：1、使学生能从整体把握全章知识点，理解各知识点之间的联系； 2、能熟练掌握解决排列、组合与二项式定理中的基本问题的方法； 3、能较为深刻理解分组问题的解题策略. 教学重点：排列、组合、二项式定理中的问题解决策略. 教学难点：理解均匀分组问题的解题策略.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
一、基础知识复习 （一）概念复习 1．分类加法计数原理：完成一件事，如果有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理：完成一件事，如果需要分成个步骤，且：做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法，……，做第个步骤有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 3. （1）排列：一般地，从n个不同对象中，任取m(mn)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．m=n的排列称为全排列． （2）排列数：从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从个不同对象中取出个对象的排列数，用符号表示．m=n的排列数用符号表示为 排列数公式（1）： 特别地： 排列数公式（2）： 规定： 4．（1）组合：一般地，从n个不同对象中，取出m(mn)个对象并成一组，称做从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． （2）组合数：n个不同对象中，取出m(mn)个对象的所有组合的个数，称为从个不同对象中取出个对象的组合数，用符号表示． 组合数公式： 组合数性质： 5.二项式定理：一般地，当n是正整数时，有 6.知识结构图： 目的：复习全章知识，形成知识结构，可以从整体把握全章，更好理解章节知识之间的联系，能让记忆保持更加持久.
二、典型例题讲解 （二）典型例题 一、夯实基础 例1.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选出两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为________个. (用数字作答) 解：解决这个问题可以分两类： 从0，2中选0或者从0，2中选2，每一类中再分步完成。 第一类：先从0，2中选0，0只能排在中间位置，有一种方法；再从1，3，5中任选2个数排剩下的两个位置，有种方法，分步用乘法，共有 种方法； 第二类：先从0，2中选2，可以排在首位和第二位，有2种方法；再从1，3，5中任选2个数排剩下的两个位置，有种方法；分步用乘法，共有种方法。 完成这件事总共 总结：这道题复习了解决排列问题的基本方法。具体来说就是首先要理清完成这件事的策略，是分类完成还是分步完成 亦是分类里有分步，分布中还有分类，分类用加法，分步用乘法；在排列过程中始终要有“特殊元素特殊位置优先排列”的解题思想。 例2.张老师、李老师和甲乙丙丁四位同学排成一排准备照相： 若老师必须相邻，共有多少种不同的排法； 若两位老师不相邻，共有多少种不同的排法； 又来了两个同学加入，如果保持原来6人的相对顺序不变，则不同的加入方法有多少种？ 解：(1)必相邻问题可以采用“捆绑”的方法。首先把两位老师看成一个元素，他们之间可以交换顺序有=2种情况，和剩下的 4名同学一起看成5个元素的排列问题，因此共有 =240种不同的排法. (2)必不相邻问题可用“插空”。先排好4位学生，共有 种可能，4位学生共形成5个空，再把两位老师排在5个空里，就可以保证老师不相邻，因此共有 =480种不同的排法. （3）又来了两个同学，而原来6人的相对顺序保持不变，即相当于8个人排序，其中6人定序.可以采用如下的策略.策略1：8个位置，可以让后来的同学先选共有 种情况，剩下6个位置，让剩下的6个人保持顺序进去即可，所以总共是=56种不同的加入方法.策略2：因为要保持之前的顺序，可以让之前的6人只选不排，所以是 种情况，让后来的两人占剩下的两个位置有 种情况，所有共有种不同的加入方法。 目的：本题复习了排列问题种的几个典型问题“相邻问题”、“不相邻问题”和“定序问题”及相对应的解题策略。 以上两题，复习完了解决排列问题的所有方法。 例3．从3名男生4名女生中，选出3人参加某课外小组，分别求符合下列条件的选法种数． （1）A、B必须当选； （2）A、B都不当选； （3）男、女生至少各1人． 解：（1）A必须当选，则实际上只需要从剩下的6人中选出2人，因为是只选不排，所以是 种情况； （2）A、B都不当选，需要从剩下的4人中选出3人，因为是只选不排，所以是 （3）男、女生至少各1人，就是包含1男2女，2男1女共两种情况，所以一共有 或者也可以用不带限制条件的组合 减去全是男生和全是女生的情况即 .第二个思路是一种间接的思路，就是我们常说的“正难则反”. 还有一种思路，就是先选出一个男生 ,再选出一个女生 ,最后随便选出一个，无论男女有 ,总共是 ,结果比前面的两种方法多出1倍来。这个情况是怎么产生的呢？举个例子：比如先选出一个男生的时候选的是甲男生，选 的时候选出的是乙男生，即得到男甲某女男乙的一个结果；但如果先选出一个男生的时候选的是乙男生，选 的时候选出的是甲男生，又会得到男乙某女男甲的结果，但若满足“只选不排”的要求，以上两个结果是同一个结果.因此，“至多……”、“至少……”的组合问题一定要做到“彻底分类”，即明确“几个男生几个女生”后再进行选择. 目的：以上例题复习了条件限制的组合问题.常见的限制条件有“一定当选”、“一定不当选”、“至多……”、“至少……”等问题. 例4．已知的展开式中，各项二项式系数和是512， 求n的值; 求各项系数的和； 含 项的系数； 系数最大的项是第几项？ 解：（1） ，n=9；（2）令 即得，各项系数和为； (3)， 含 项的系数为 二项式系数最大的项是展开式的中间两项即第5和第6项， 故5项为系数为 ，第6项系数为 因此系数最大的项是第5项. 目的:通过这一组问题复习二项式问题的常见考点及解决策略.即利用二项展开式的通项解决某项的问题.应该记各项二项式的系数 ，各项系数的和 可以通过赋值1来完成. 以上通过一组因知因会的问题把排列问题、组合问题及二项式定理中的最基本的问题和解决方法进行了梳理. 二、难点辨析： 例5.标号为1，2，3，4的4个球和3个不同的盒子， (1)每个盒子恰好只能放一个球，一共有种方法？ (2)4个球全部放入盒子，一共有多少种方法？ 解：（1）依题意只有3个球能放到盒子里，所以是个先选后排的问题，即 即 种； （2）4个球全部放入盒子，可以有两个角度，一个是从球的角度，一个是从盒子的角度： 法1：从球的角度来看，把球放到盒子里，这件事就完成了。我们的策略是一个一个放球，放第一个球有3种方法，第2个球有3种方法， 第3个球有三种方法 ，第4个球有3种方法，因此是 种。 法2：从盒子的角度，可分成3类，即一个盒子得球，2个盒子得球和3个盒子得球： 第一类，4个球全部放入1个盒子，有3种. 第二类， 4个球放入2个盒子，有两种情况，把球按照或者 放到两个盒子里，前者是不均匀分组问题，而后者是均匀分组问题. 先看按把球放到2个盒子的情况.第一步：选出要放的盒子即，第二步：按照非均匀分组分成两组即，第三步：把分好堆的球放到选好的盒子里即，总共是种. 再看按把球放到2个盒子的情况.先选出盒子 ，再把球分成两堆，最后把分好堆的球除堆的顺序后放到选好的盒子里，因此,共 种. 第三类：4个球放入3个盒子，只有1种情况，即按放入盒子.这是部分均匀分组问题. 方法1：仍用先分组后分盒子的策略. 即 ; 方法2：采用捆绑的策略.就是把2个球捆在一起当做一个球，加上剩下的2个球共3个球放入3个盒子里，即 种 . 三类共有种. 以上两个方法比较起来，显示了解题策略的重要性.所以说排列组合问题与其说是在计数不如说是在进行决策，所谓好的方法一定是因为决策的优化。当然不是说第二种里面讲到的方法就可以不会了,学习的过程不是只为了解出一道题，第二种方法里面涉及到的有序分类，均分与不均分问题在排列里面也是一个重要的知识点，易混易错，也需要同学们去理解和掌握. 例6.相同的5个小球，放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，有多少种不同的方法？ 这是相同元素的分组问题，只需要区分数量，采用的方法是插板法.因为每个盒子不空，所以两头不插板，所以5个相同的球之间形成4个空，插2块板，即可把5个球分成3份，共有种情况. 目的：让学生明白解题策略的重要性，同时也复习了不同元素的分组，包含均分不均分问题，也复习了相同元素的分组问题，把这两类问题放在一起可以通过对比加以区分.
三、课堂小结 1.归纳形成体系；2.整合突破难点.
四、家庭作业 家庭作业： 1.书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，将这些书全部竖起来排成一排； （1）如果同类书不能分开，一共有多少种不同的排法？ （2）如果要使任意两本物理书都不相邻，一共有多少种不同的排法？ 2.从10名学生中选出3人担任课代表，则甲、乙两人中至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法共有多少种？ 3.已知a是实常数，且二项式 的展开式 的系数是84，求a的值，常数项是展开式中的第几项？ 4．将3名医生和6名护士分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，共有多少种不同的分配方案？ 5.通过书籍或网络查找有关的数学史资料，了解贾宪用“杨辉三角”进行高次开方的方法，并给出实例进行说明.将有关材料整理成小论文，然后与其他同学进行交流.