4.2.5 正态分布 教学设计（表格式）

课程基本信息
课题 正态分布
教科书 书名：普通高中教科书 数学 选择性必修 第二册 出版社： 人民教育出版社 出版日期： 年 月
教学目标
教学目标： 遵循历史上数学家研究问题的路径，理解正态分布和正态曲线的概念、意义及性质；归纳正态曲线的性质，会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题；挖掘蕴含在其中的数形结合、函数与方程等数学思想方法．通过观察、探究，提高分析问题和解决问题的能力， 教学重点：归纳正态分布曲线的性质特点，掌握3 原则. 教学难点：正态分布的意义的理解和性质的应用.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
3分 新课 引入 尝试与发现 已知X服从参数为100，0.5的二项分布，即X~B(100，0.5)，你能手工计算出P(X=50)的值吗？ 因为，手工计算该值是一个“几乎不可能”完成的任务，由此可以看出，若X~B(n，p)，那么n较大时，直接计算P(X=k)的值将是十分困难的，有没有其他办法能得到上式的近似值呢？ 例如，若X~B(6，)，则X的分布列如下. X0123456P
直观图具有以下性质： （1）中间高，两边低； （2）图形关于X=3对称； （3）某一整数k上方的矩形面积等于P(X=k),其中k=0，1，2，3，4，5，6； （4）所有矩形的面积之和为1.
5分 新授课 事实上，许多服从二项分布的随机变量分布列的直观图都有类似的特点. 例如，若X~B(50，)，或者X~B(100，)，则X的分布列可分别用图(1)，(2)表示. 其中：μ=E(X)即X的均值，即X的标准差。 一般地 ，φ(x)对应的图像称为正态曲线. 正态曲线的性质 （1）正态曲线关于直线x=μ对称，具有中间高、两边低的特点； （2）正态曲线与x轴所围成的面积为1； （3）σ决定曲线的“胖瘦”： σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”； σ越小，曲线越“瘦”. 正态曲线与x轴在区间[μ，μ+σ]内所围面积为0.3413，在区间[μ +σ ，μ+2σ]内所围面积约为0.1359，在区间[μ+2σ，μ+3σ]内所围面积约为0.0215 ，如图所示.
3分 例题 分析 例题 求正态曲线与x轴在下列区间内所围面积（精确到0.001） （1）[μ，+∞]； （2）[μ -σ ，μ+σ] （3）[μ-2σ，μ+2σ] （4）[μ-3σ，μ+3σ]. 解（1）因为正态曲线关于x=μ对称，且它与x轴所围成的面积为1，所以所求面积为0.5. （2）利用对称性可知，所求面积为[μ，μ+σ] 内面积的2倍，即约为0.3413×2=0.6826≈0.683. （3）利用对称性可知，所求面积为 (0.3413+0.1359)×2=0.9544≈0.954. （4）利用对称性可知，所求面积为 (0.3413+0.1359+0.0215)×2=0.9974≈0.997.
2分 新授课 正态分布：如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总等于 对应的正态曲线φμ，σ(x)与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ 和σ的正态分布，记作X~N(μ ，σ2 ). μ是X的平均值， σ是X的标准差,σ2是X的方差. 由正态曲线的性质及前面例题可知，如果X~N(μ ，σ2 )，那么 P(X≤μ )= P(X≥μ )=0.5, P(|X –μ|≤σ)= P(μ-σ≤X≤μ+σ ) ≈68.3％, P(|X –μ|≤2σ)= P(μ-2σ≤X≤μ+2σ ) ≈95.4％, P(|X –μ|≤3σ)= P(μ- 3σ≤X≤μ+ 3σ ) ≈99.7％. 现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布：随机误差、同一地区同龄人的身高、正常条件下生产出来的产品尺寸、同一批灯泡的寿命等.
3分 例题 分析 例 假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：cm，下同），标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高： （1）不高于170的概率； （2）在区间[160，180]内的概率； （3）不高于180的概率. 解：设该学生的身高为X，由题意可知X~N(170 ，102 ). （1）P(X≤170 )=50％, （2）因为均值为170，标准差为10，而160=170-10,180=170+10，所以 P(160≤X≤ 170 ) =P(|X –170|≤10) ≈68.3％， (3）由（2）以及正态曲线的对称性可知 P(170≤X≤ 180 )= P(160≤X≤ 180 ) ≈ 68.3％=34.15％， 由概率加法公式可知P(X≤ 180 )= P(X≤ 170 )+ P(170≤X≤ 180 ) ≈ 50％+34.15％=84.15％.
2分 标准正态分布：μ =0，σ=1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0 ，1 )，对于任意a，通常记Φ(a)=P(X3分 例 已知X~N(0 ，1 )，利用上述表格求以下概率值：（1）P(X ＜ 0.28)；（2）P(X ＜－ 0.36)； （3）P(0.18≤X ＜ 0.57)； 解：（1）P(X ＜ 0.28)= Φ(a)= 0.6103； （2）P(X ＜ －0.36)=Φ(－0.36)=1－Φ(0.36)=0.3594 （3）P(0.18≤X ＜ 0.57)= P(X ＜ 0.57) －P(X ＜0.18 )= Φ(0.57) －Φ(0.18) =0.1443.
1分 小结 1.二项分布与正态曲线，曲线的性质与特点； 2.正态分布与3 原则； 3.标准正态分布.
课后 作业 设，则落在内的概率是(　　) A．95.44% B．99.74% C．4.56% D．0.26% 解析：由知，＝－2， ＝12，则＝＝0.9974.