2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）3.3 幂函数（教学课件）(37张ppt)

3.3 幂函数
第 3章 函数的概念与性质
人教A版2019必修第一册
01幂函数的概念
02幂函数的图像和性质
目录
03幂函数的单调性
04.利用幂函数的单调性比较
指数幂的大小
3
学习目标
1、理解幂函数的概念，会画幂函数
y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x 的图象；
2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；
3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．
4
重点难点
重点：
常见幂函数的概念、图象和性质
难点：
幂函数的单调性及比较两个幂值的大小
第一次给幂这个概念下定义的是我国明代著名的科学家、政治家徐光启,同时他还是一位沟通中西文化的先行者。徐光启在和意大利人利玛窦合译欧几里德《几何原本》时，给幂字下注解：“自乘之数曰幂”。
徐光启
（1562—1633）
情景引入
前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例.
（1）如果宋老师以1元/????????的价格购买了某种蔬菜????????????，那么她需要支付????=????元，这里????是????的函数;
（2）如果正方形的边长为????,那么正方形的面积????=????2,这里????是????的函数;
（3）如果立方体的棱长为????，那么立方体的体积????=????3,这里????是????的函数;
（4）如果一个正方形场地的面积为????，那么这个正方形场地的边长????=????,这里????是????的函数;
（5）如果某人?????????内骑车行进了1????????，那么他骑车的平均速度????=1????????????/????,即????=?????1,这里????是????的函数.
?
（1）????=????; （2）????=????2; （3）????=????3;
（4）????=????，即????=????12; （5）????=1????,即????=?????1.
?
活动1：请观察（1）—（5）中的函数解析式，讨论它们有何共同特征.
实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，????????，-1；它们都是形如????=????????的函数.
?
一般地，函数????=????????叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
?
注：幂函数中????的系数为“1”.
?
1.在函数????=1????2,????=2????2,????=????3+????,????=1中，幂函数的个数为（ ）.
????.0?????????????????????????????????.1???????????????????????????????????.2??????????????????????????????????????.3
?
答案：B.其中????=1的定义域为R，而????=????0中，????≠0.所以????=1不是幂函数.
?
练一练
活动2：对于幂函数，我们只研究α=1，2，3，12，?1时的图象与性质.现请同学们尝试在同一坐标系中画出这五个函数的大致图象.（取点要具有代表性）
活动3：观察现场利用软件作图.
?
思考1：我们已经学习过函数的哪些性质？
思考2：根据以往学习函数的经验，结合着函数图象，来找一找这5个函数的“异同”点.
思考3：观察5个函数图象，哪个象限一定有幂函数的图象，哪个象限一定没有
幂函数的图象.
幂函数????=????????的性质：
（1）过定点（1,1）；
（2）幂函数的图象一定会在第一象限，一定不在第四象限；
（3）当????>0时，函数在区间[0,+∞)上是增函数；
（4）当????<0时，函数在区间[0,+∞)上是减函数；
（5）在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近????轴（指大图低）；
（6）在(1,+∞)上，指数越大，幂函数图象越远离????轴（指大图高）；
?
2.判断正误.
（1）幂函数的图象必过（0,0）和（1,1）.（ ）
（2）幂函数的图象都不过第二、四象限. （ ）
（3）当幂指数????取1,3，????????时，幂函数????=????????是增函数.（ ）
（4）若幂函数????=????????的图象关于原点对称，则????=????????在定义域内
????随????的增大而增大.（ ）
?
答案：×，×，√，×.
练一练
1.幂函数的概念
已知函数 ，m为何值时，f(x)是幂函数?
解：若f(x)为幂函数，则m2＋2m －2＝1，∴m＝－3或1.
3.函数 是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求实数m的值。
解：由m2－m＋1＝1，得m＝0或m＝1，再把m＝0和m＝1分别代入m2＋2m－3＜0检验，得m＝0
典例1
练一练
4.已知幂函数 的图像经过点 ，求这个函数的表达式.
????=????????
?
????,????
?
【解】由题意设函数的表达式为
????????=????????
?
把点 代入，得：
????,????
?
????=????????
?
即 ，所以
????????????=????????
?
????=????????
?
所以这个函数的表达式为
????????=????????????
?
和初中解决一次函数一样，利用待定系数法.因为幂函数只有一个系数，所以只需要一个点的坐标就可以求写出幂函数的表达式.
练一练
2.幂函数的图像与性质
n典例2
[解析]　过原点的指数α>0，不过原点的α<0，
∴n<0，
当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，
∴p>1,0x>1时，指数越大，图象越高，∴m>q，
综上所述n[答案]　n求幂函数 的定义域并讨论其奇偶性和单调性.
【解】因为 ， ，又 为
两个连续的正整数相乘，其结果必为正偶数，所以
为正奇数，所以函数的定义域为R.
????????=????????????????+????+????????∈?????
?
????????+????+????=????????+????+????
?
????∈?????
?
????????+????
?
????????+????+????
?
由 为正奇数，得
????????+????+????
?
?????????=?????????????????+????+????=?????????????????+????+????=?????????
?
，所以 为增函数.
????????
?
因为 ，所以 是正的奇次方根，所以
在定义域内为增函数.
????????????+????+????>????
?
????????????????+????+????
?
????????
?
典例3
3.幂函数的单调性
【例题】证明幂函数 是增函数.
????????=????
?
【证明】函数的定义域是[0，+∞).
?????????,????????∈????,+∞，且?????????
?????????????????????????=?????????????????
?
=?????????????????????????+????????????????+????????
?
=??????????????????????????+????????
?
因为 ， ，所以
??????????????????
????????+????????>????
?
?????????????
即幂函数 是增函数.
????????=????
?
典例4
练一练
4.利用幂函数的单调性
比较指数幂的大小
利用幂函数的性质，比较下列两个数的大小.
【解】设 ，则 在R上为增函数.
比较大小用作差法.由增减性，根据自变量的大小，比较函数值的大小；或者根据函数值的大小，比较自变量的大小.
????????=????????
?
????????
?
∵ -1.5＜-1.4，∴ (-1.5)3＜(-1.4)3
(-1.5)3 和 (-1.4)3
典例5
课堂练习
2.若f(x)=(m2-4m+5)x-m+|n+1|是幂函数，则f(2)＝_____.
不是
1.辨析1：判断下列函数是不是幂函数？
是
不是
不是
是
不是
由f(x)=(m2-4m+5)x-m+|n+1|是幂函数得
∴f(x)=x-2，
简析：
3.判断正误.
（1）幂函数的图象必过（0,0）和（1,1）.（ ）
（2）幂函数的图象都不过第二、四象限. （ ）
（3）当幂指数????取1,3，????????时，幂函数????=????????是增函数.（ ）
（4）若幂函数????=????????的图象关于原点对称，则????=????????在定义域内????随????的增大而增大.（ ）
?
×
×
√
×
4.若四个幂函数图象????=????????,????=????????,????=????????,????=????????在同一坐标系中的图象如图所示，则????,????,????,????的大小关系是（ ）.
????.????>????>????>????????????????.????>????>????>????????????????.????>????>????>????????????????.????>????>????>????
?
????=????????
?
????=????????
?
????=????????
?
????=????????
?
随堂检测
1.已知幂函数的图像经过点(9,3)，求这个幂函数的解析式.
设幂函数为 ????????=????????，
?
因为图像经过点(9,3)，
所以 3=9?????，
?
所以 ????????=???????????? .
?
所以 ????=????????，
?
2.比较下面两组数的大小.
(1) 2.31.1 和 2.51.1 （2）(????2+2)????????? 和 2?????????
?
3.如果幂函数的图象????=(?????????????????+????)??????????????????????不过原点，求实数m的值
?
4.在同一平面直角坐标系中画出函数 ????????=???? 与 ????????=?????1 的图象，并利用图象求不等式 ????> ?????1 的解集.
?
5.已知在区间(0,?????)(????＜0)上，函数????=????????2?1与????=????????2+????????+12????+1都是减函数，试求????的取值范围.
?
6.下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
6.下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.