2022-2023学年高一数学同步精讲课件（人教A版2019必修第一册）3.2.1函数的单调性(共28张PPT)

(共28张PPT)
3.2 函数的基本性质
3.2.1 函数的单调性
前面学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)
(x∈A)描述了客观世界中变量之间的一种对应关系。我们可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律。因此，研究函数的性质，是认识客观规律的重要方法。
思考
？
0.2
观察下列图像，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？
在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性。
1.当x∈[0,+∞)，函数图象是上升的，f(x)随着x的增大而______．
画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：
探究
？
x
y
O
2.当x∈(-∞,0]，函数图象是下降的，f(x)随着x的增大而______．
任取x1，x2∈[0,+∞)，x1增大
单调递增
<
任取x1，x2∈(-∞,0]，x1减小
>
单调递减
PART 1 增函数
定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果
x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增。
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
PART 2 减函数
定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果
x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减。
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
若f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D，且x1≠x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增（或减）。
变形：
你能举出在整个定义域内单调递增的函数（即增函数）例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？
思考
？
x
y
O
x
y
O
PART 3 单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
PART 3 单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
例如：函数有两段单调区间，分别是(-∞,0)和(0,+∞).
所以说函数的单调递增区间是
(-∞,0)和(0,+∞).
注意：多个单调区间之间用“，”或“和”连接，不能用“∪”符号.
基础测试
判断正误
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性。 (　　)
(2)若函数y＝f(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1,3]。 (　　)
(3)若函数f(x)为R上的减函数，则f(-3)>f(3)。 (　　)
(4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)(　　)
(5)若函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减，则f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减。 (　　)
×
×
×
×
√
题型一 函数的单调性的证明
例1 根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.
分析：根据函数单调性的定义，需要考察当x1f(x2).根据实数大小关系的基本事实，只要考察f(x1)-f(x2)与0的大小关系。
题型一 函数的单调性的证明
例1 根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.
解：函数f(x)=kx+b(k≠0)的定义域是R。x1，x2∈R，且x1由x1当k>0时，k(x1-x2)<0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)这时f(x)=kx+b是增函数；
当k<0时，k(x1-x2)>0，所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2),
这时f(x)=kx+b是减函数
方法小结
证明函数单调性的方法：
①在定义域内任取x1，x2，且x1②做差f(x1)-f(x2)，并通过因式分解、配方等方法，进行变形
③判断f(x1)-f(x2)的符号，当符号不确定使，进行分类讨论
④根据定义得出结论
取值
做差
变形
定号
结论
题型一 函数的单调性的证明
巩固练习 研究函数 在x∈(-1,1)上的单调性.
题型一 函数的单调性的证明
巩固练习 研究函数 在x∈(-1,1)上的单调性.
解：x1，x2∈(-1,1)，且x1由-10，>0，所以
当a>0时，，所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2),
这时f(x)=上是减函数；
当a<0时，，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)这时f(x)=上是增函数.
题型二 求函数的单调区间
例2. 函数f(x)=x2+2x+1的单调递减区间是________.
(-∞,-1]
分析：根据函数图像得到函数单调区间。
x
y
O
-1
1
解析：由函数图像可知，函数的
单调递减区间是(-∞,-1]
题型二 求函数的单调区间
巩固练习 函数 的单调递减区间为　　 .
(-∞,1)和(1,+∞)
分析：根据函数图像得到函数单调区间。
x
y
O
1
解析：由函数图像可知，函数的
单调递减区间是(-∞,1)和(1,+∞)
题型三 函数单调性的应用
例3. 若y＝(2k-1)x＋b是R上的减函数，则有(　　)
A. B. C. D.
C
题型三 函数单调性的应用
巩固练习 已知函数f(x)＝-x2-2(a+1)x+3.若函数f(x)在区间(-∞,3]上是增函数，求实数a的取值范围。
解：函数f(x)＝-x2-2(a+1)x+3.图像如图所示，
对称轴是x=-a-1
因为函数f(x)在区间(-∞,3]上是增函数
所以-a-1≥3
所以a≤-4
x
y
O
-a-1
巩固练习 已知函数y＝f(x)是(-∞,+∞)上的增函数，且
f(2x-3)>f(5x-6)，则实数x的取值范围为　　　　.
题型三 函数单调性的应用
(-∞,1)
解析：根据定义，函数y＝f(x)是(-∞,+∞)上的增函数，
f(2x-3)>f(5x-6)，则2x-3>5x-6
即x<1
PART 4 函数单调性的加减及复合函数单调性
增函数+增函数=增函数
增函数-减函数=增函数
减函数+减函数=减函数
减函数-增函数=减函数
PART 4 函数单调性的加减及复合函数单调性
复合函数:y=f[g(x)]
t=g(x)
y=f(t)
内层函数（以x为自变量）
外层函数（以t为自变量）
t=g(x) y=f(t) y=f[g(x)]
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
同增异减
题型四 复合函数单调性
例4 求函数的单调区间。
题型四 复合函数单调性
例4 求函数的单调区间。
解：要使函数有意义，则有 解得,
所以函数的定义域为[-1,3].
因为的对称轴为直线x=1，开口向下，
所以的单调递减区间是[1,3],单调递增区间是[-1,1]
所以的单调递减区间是[1,3],
单调递增区间是[-1,1]
题型四 复合函数单调性
巩固练习 求函数的单调递增区间。
题型四 复合函数单调性
巩固练习 求函数的单调递增区间。
解：函数定义域为R.
因为的对称轴为直线x=-1，开口向上，
所以的单调递减区间是(-∞,-1],
单调递增区间是[-1,+∞)
所以 在u>0时单调递减,
所以的单调递增区间是(-∞,-1].
同增异减
课堂小结
单调性定义
增：若x1函数的单调性
单调性的证明
单调性的应用
同增异减
复合函数单调性
减：若x1