(共13张PPT)
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一、选择题（每小题4分，共40分）
1.设直角三角形的两条直角边的长分别为a和b,斜边长为c,已知b=12,c=13,则a的值为(B)
A.1
B.5
C.10
D.25
2.已知三组数据：①2,3,4；②3,4,5；③1W3,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直
角三角形的有(D)
A.②
B.①②
C.①③
D.②③
3.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289，则字母A所代表的正方形的面积为(D)
A.4
B.8
C.16
D.64
5.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航号”“海天号”轮船同时离开港口，各自沿一固定方向
航行，“远航号”每小时航行l6 n mile,“海天号”每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别
位于点Q,R处，且相距30nile.如果知道“远航号”沿东北方向航行，则“海天号”的航行方向是
(C)
A.北偏西30
B.北偏西60
C.西北方向
D.北偏西50°
6.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,下列说法中错误的是(D)
A.如果∠C-∠B=∠A,那么∠C=90°
B.如果∠C=90°，那么c2一a2=b2
C.如果(a十b)(a一b)=c2,那么∠A=90°
D.如果∠A=30°，那么AC=3BC
7.(2019·白银)如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF
的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2,则AE的长为(D
)
A.5
B./23
C.7
D./29
8.如图，盒内长、宽、高分别是6cm,3cm,2cm,盒内可放木棒最长的长度是(B
)
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
C
中
Q
B
D
B
第8题图
第9题图
第10题图
9.(2019·毕节)将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF,∠F=∠ACB=90°，
∠E=30°，∠A=45°，AC=12√2，则CD的长为(B)
A.4√3
B.12-4√3
C.12-6√3
D.6√3
二、填空题（每小题5分，共20分）
11.在△ABC中，若AB=17,AC=8,BC=15,则根据AC+BC=AB2,可知∠ACB=90度.
12.如图，把长、宽、对角线的长分别是α，b,c的长方形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三
角形拼接成如图所示的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是a2十b2=c2
C
B
b
第12题图
第13题图
13.(2019·淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=5,分别以点A,B为圆心、大于号AB的
长为半径画弧，两弧分别交于点P,Q,过P,Q两点的直线交BC于点D,则CD的长是
8
5(共14张PPT)
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直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理
验证：拼图法
判别直角三角形：三边是否满足a2+b2=c2(三边长
勾股定理
直角三角形
分别为a,b,c,且c是最长边).
的判别条件
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数.
最短路线：把立体图形表面展开成平面图形，依据
“两点之间线段最短”，以最短路线为边构造直
勾股定理
角三角形，利用勾股定理求解
的应用
实际应用：从实际问题中抽象出直角三角形，
利用勾股定理求解.
重热点一勾股定理
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交边AB于点D.
若AC=6,BC=8,则BD的长是(A)
A.4
B.5
C.6
D.7
【变式训练1】如图，正方形ABCD的边长为1cm,以对角线AC为边长再作一个正方形，则正方形ACEF的面
积是(D
)
A.3 cm2
B.4 cm
B
C.5 cm2
D.2 cm2
重热点二
勾股定理的逆定理
【例2】将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的一组是(D)
A.1.5,2,3
B.2,4,6
C.8,10,12
D.7,24,25
【变式训练2】在△ABC中，AB=12cm,AC=9cm,BC=15cm,则△ABC是直角三角形，其面积是54cm.
重热点三
勾股定理的应用
【例3】(8分)学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高
度.爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了
一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米.请你
设法帮小明算出旗杆的高度.
解：设旗杆的高为x米，则绳子长为(x十1)米，…
(2分)
评分说明：
1.由题意设出旗杆的高与绳子
由勾股定理得(x+1)2=x2+52,
(5分)
的长，得2分.
解得x=12.…
(7分)
2.根据勾股定理列出关于x的
方程，得3分.
答：旗杆的高度是12米.
(8分)
3.正确解出方程得到旗杆的高
度，得2分
4.正确作答，得1分.
综合训练
一、选择题
1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)3,4，
5;(2)5,12,13;(3)8,15,17;(4)32,42,52.其中能构
成直角三角形的有(B)
A.4组
B.3组
C.2组
D.1组(共11张PPT)
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类型一利用垂线段最短求最值
1.如图，E为边长为4的等边△ABC的BC边上一动
点（点E不与点B,C重合），以AE为边在AE右侧
作等边△AEF,求△AEF面积的最小值.
A
F
B
E
C
解：过点A作AM⊥EF于
A
点M..'△AEF为等边三
角形，∴.∠AEF=∠EAF=
M
60°，AM平分∠EAF,.
B
E
∠EAM=
EAF=30°.在Rt△AEM中，EM=
IAE.AF-EM+AM.AM-AE.'.Sm
2
FF·AM=AE,要使SAr最小，只需AE
4
最小，即AE L BC,同理可得，AE=AB=23,
2
∴.S△AEr的最小值为3√/3.
类型二
利用两点之间线段最短求最值
2.如图，在长方形ABCD中，AB=
B
4,BC=2,把长方形ABCD沿
D'
过点A的直线AE折叠使点D
E
落在四边形ABCD内部的点D处，则CD'的最小
值是2W5-2
【思路提示】连接AC,当点D位于AC上时，CD取
最小值
类型三利用轴对称求最值
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=
8,AD是∠BAC的平分线，若点P,Q分别是AD
和AC上的动点，求PC十PQ的最小值
解：取点Q关于AD的对称
点Q',则PC十PQ=PC+
PQ'≥CQ',故PC+PQ的
B
最小值即为CQ的最小值.
当CQ'⊥AB时，CQ'最小，在Rt△ABC中，AB=
√AC+BC=10.由面积法可得CQ=
AC·BC
AB
24
类型四
化曲为直求最值
4.我国古代有这样一道数学问题：
“枯木一根直立地上，高二丈，周三
尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而
达其顶，问葛藤之长几何？”题意
是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，
则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自
点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B
处，则问题中葛藤的最短长度为
25尺.
2
5 cm
2 cm
4 cm
P
解：长方体的侧面展开图如图所
示..长方体的底面长为4cm,宽
为2cm,高为5cm,
..PA=2+4+2+4=12(cm),
4
cm
QA=5 cm..'PQ=VPA2+AQ2-13
cm.
'.蚂蚁爬行的最短路径长为13
cm.
6.如图，透明的圆柱形容器（容器
厚度忽略不计)的高为12cm,
蚂蚁A
底面周长为10cm,在容器内壁
B饭粒
离容器底部3cm的点B处有一
饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上
沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短
路径是多少？(共11张PPT)
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。
类型一
直角边与斜边不确定要分类讨论
1.直角三角形的两边分别是3和4，则第三边上的高
是2.4或3
2.直角三角形的两边长是6和8，则这个三角形的面
积是
24或6W7
解：分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形时，如图1，.CD AB,
.∠CDA=90°..CD=/3,AD=1,.AC=2.
AB=2AC,..AB=4,..BD=AB-AD=4-1=3,
.BC=CD2十BD=√/32+(W3)2=2√3；
②当△ABC是钝角三角形时，如图2，同理，得AC
=2,AB=4,则BD=BA十AD=5,..BC=
/CD2十BD=√/（√3）2+5=2√7.综上所述，BC
的长为2√3或2√/7.
类型三
涉及等腰三角形腰底不明确问题时
要分类讨论
4.已知：如图，在平面直角坐标
B
系中，O为坐标原点，四边形
OABC是长方形，点A,C的
D
A x
坐标分别为A(10,0),C(0,
4),点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当
△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标
为(3,4)或(2,4)或(8,4)
5.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,过
点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中
只有一个是等腰三角形，求这个等腰三角形的
面积.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,
六AC=VAB+BC=5,SaAc=2AB·BC=6.
过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其
中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
②当BP=AB=3,且点P在AC上时，如图2所
AB·BC
示，过点B作△ABC的高BD,则BD=
AC
3X4
5
=2.4,.AD=DP=W/32-2.42=1.8,.AP
=2AD=3.6,.∴.
等腰△ABP=
2
·AP·BD=
2
3.6×2.4=4.32;
C
③
当CP=CB=4时，如图3所示，S等腰△cP
AC
S△ABC=-
×6=4.8.综上所述，等腰三角形的面积
可能为3.6或4.32或4.8.
易错提
醒
1.已知直角三角形两边的长，求第三边长，没有指明斜边就要分类讨论，一是两边均为直角边，二
是两边为一直角边和斜边.
2.无图问题中涉及三角形高的求解时，应考虑全面，避免漏解，应分高在三角形内部和外部两种
情况进行讨论.(共20张PPT)
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01基础题组
知识点一勾股数
1.下列几组数中，是勾股数的是(C)
Ag好日
B.3,4,6
C.5,12,13
D.0.9,1.6,2.5
2.下列各组数中，不是勾股数的是(B)
A.7,24,25
B.4,5,6
C.5,12,13
D.8,15,17
3.将勾股数3,4,5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到
勾股数6,8,10；9,12,15；12,16,20；…，则我们把
3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两
组不同于以上所给出的基本勾股数：答案不唯
一，如：5,12,13；7,24,25
知识点二勾股定理的逆定理
4.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(B)
A.4,5,6
B.1.5,2,2.5
C.2,3,4
D.1,W2,3
5.将一个直角三角形的三边扩大3倍，得到的三角形
是(A)
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
6.(课本P59练习T3改编)三角形的三边长a,b,c满
足等式(a+b)2=c2十2ab,则这个三角形是(B)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
7.如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的形状是
(B)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
8.有5根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25，现想
把它们摆成两个直角三角形，则图中正确的是
(C)
24
25
24
25
24
20
20
15
20
25
24
25
7
7
15
7
15
15
20
A
B
C
D
A.a=5,b=12,c=13
B.a=b=5,c=5W2
C.∠A:∠B:∠C=3:4:5
D.∠A+∠B+9∠C=135
10.如图，学校B前面有一条笔直的
A
公
公路，学生放学后走BA,BC两
路
条路均可到达公路，经测量BC=
1200m,BA=1600m,AC=
B
2000m,现要再修建一条路从学
校B到公路，则学校B到公路的最短距离
为960
m.
11.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准，四
边形ABCD应为长方形，他在挖完后测量了一下
发现AB=CD=8m,AD=BC=6m,AC=9m,
请你帮他看一下挖的地基是否合格.
解：.'AD2十DC2=62+82=100,
A
AC2=92=81,.'。AD2十DC2≠
AC2,.△ADC不是直角三角形，
.∠ADC≠90°.而标准地基为长
B
方形，四个角均应为直角，.该农
民挖的地基不合格.(共18张PPT)
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01基础题组
知识点勾股定理实际应用
1.如图，有两棵树，一棵高12米，
另一棵高6米，两树相距8米.
一只鸟从一棵树的树梢飞到
另一棵树的树梢，则小鸟至少
飞行10米.
2.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六
尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意
是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对
角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈=10
尺，1尺=10寸)如果设门的宽为x尺，那么这个门
的高为(x+6.8)尺，根据题意可列方程为x2+
(x+6.8)2=102
3.古文中有这样的记载“今有竹高一丈，末折抵地，去
本三尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一
丈，中部一处折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹
子根部3尺远.问：折断处离地面多高？(1丈=10
尺)答：折断处离地面有
91
20
尺高.
4.印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中曾提出
过“莲花问题”：“平平池水清可鉴，面上半尺生红
莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；花触水面半
浸没，偏离原位二尺远；能算诸君请解题，池水如何
知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.
C
A
B
0
解：如图，由题意可知AC=0.5尺，AB=2尺，OB
=OC,设OA=x尺，则OB=OA十AC=(x+0.5)
尺.在Rt△OAB中，OA十AB2=OB2,.'.x2十22=
(x十0.5)，解得x=3.75.
答：池水深3.75尺.
5.马鞍山市为了开发农业，决定在公路上相距25km
的A,B两站之间E处修建一个土特产加工基地，
使点E到C,D两村的距离相等，如图，DA⊥AB于
点A,CB⊥AB于点B,DA=15km,CB=10km,
求土特产加工基地E应建在距离A站多远的
地方
D
C
G
A
E
B
解：设AE=xkm,则BE=
(25一x)km.在Rt△DAE
中，DA2十AE=DE2,在
Rt△EBC中，BE2+BC2=
E
B
CE..CE=DE,..DA2十
AE2=BE2+BC2,..152+x2=102+(25-x)2,解
得x=10.
答：土特产加工基地E应建在距离A站10km的
地方.
6.如图，有一个圆柱形无盖油罐，它的底
面周长为24dm,高为6dm,一只老鼠
从距底面1dm的A处沿油罐侧面爬行
到对面B处偷油吃，测它爬行的最短路
程为多少？
B
A
