2022-2023学年 苏科版九年级数学上册1.1 一元二次方程 提升题(含解析)

1.1 一元二次方程（提升题）-苏科版九年级上册
一．选择题
．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣2a2+2a+2020的值为（　　）
A．2018 B．﹣2018 C．2019 D．﹣2019
．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2020，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（　　）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2015
．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（　　）
A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定
．关于一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜ D．a＞
．关于x的方程m（x+h）2+k＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（m，h，k均为常数，m≠0），则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　）
A．x1＝0，x2＝5 B．x1＝﹣6，x2＝﹣1
C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2
若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2
若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2022，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（　　）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
．下列命题：①方程kx2﹣x﹣2＝0是一元二次方程；②x＝1与方程x2＝1是同解方程；③方程x2＝x与方程x＝1是同解方程；④由（x+1）（x﹣1）＝3可得x+1＝3或x﹣1＝3．其中正确的命题有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
根据下列表格的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3
x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　）
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3
二．填空题
．若m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为　 　．
．已知x＝1是关于x的方程ax2+bx﹣2＝0的一个根，则2a+2b+3＝　 　．
．设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝　 　．
．若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为 　 　．
．方程2x2+8x＝x+9的二次项系数是　 　，一次项系数是　 　．
三．解答题
．求下列各式中的x的值：
（1）9x2＝16
（2）（x﹣4）2＝4
．用适当的方法解下列方程．
（1）（2x﹣1）2﹣9＝0
（2）x2﹣2x+2＝0
（3）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）+2＝0
．已知方程x2﹣3x+1＝0
（1）求x+的值
（2）求x﹣的值
（3）若a为方程x2﹣3x+1＝0一个根，求2a2﹣6a+2017的值．
．关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2①与一元一次方程2x+1＝2a﹣x②．
（1）若方程①的一个根是方程②的根，求a的值；
（2）若方程②的根不小于方程①两根中的较小根且不大于方程①两根中的较大根，求a的取值范围．
．已知，下列关于x的一元二次方程
（1）x2﹣1＝0 （2）x2+x﹣2＝0 （3）x2+2x﹣3＝0 …（n）x2+（n﹣1）x﹣n＝0
（1）求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，并猜测方程（n）的根．
（2）请指出上述几个方程的根有什么共同特点，写出一条即可．
参考答案与试题解析
一．选择题
．【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1，
∴﹣2a2+2a+2020＝﹣2（a2﹣a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．
故选：A．
．【解答】解：由a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5得到a（x+1）2+b（x+1）+5＝0，
对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，
设t＝x+1，
所以at2+bt+5＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为x＝2020，
所以at2+bt+5＝0有一个根为t＝2020，
则x+1＝2020，
解得x＝2019，
所以一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5有一根为x＝2019．
故选：C．
．【解答】解：∵x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，
∴ax12﹣2x1＝c，
则p﹣q＝（ax1﹣1）2﹣（ac+1.5）
＝a2x12﹣2ax1+1﹣ac﹣1.5
＝a（ax12﹣2x1）﹣ac﹣0.5
＝ac﹣ac﹣0.5
＝﹣0.5，
∴p﹣q＜0，
∴p＜q．
故选：A．
．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（1﹣a）＜0，
解得，a＜0，
故选：A．
．【解答】解：关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，
可得：m（﹣3+h）2+k＝0，m（2+h）2+k＝0，
可得：m（0+h﹣3）2+k＝0，m（5+h﹣3）2+k＝0，
所以0与5是m（x+h﹣3）2+k＝0的两个根，
则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x1＝0，x2＝5．
故选：A．
【解答】解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：
k2﹣4＝0，
解得k1＝2，k2＝﹣2，
而k﹣2≠0，
所以k＝﹣2．
故选：A．
【解答】解：由a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5得到a（x+1）2+b（x+1）+5＝0，
对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，
设t＝x+1，
所以at2+bt+5＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为x＝2022，
所以at2+bt+5＝0有一个根为t＝2022，
则x+1＝2022，
解得x＝2021，
所以一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5有一根为x＝2021．
故选：D．
【解答】解：根据题意，将x＝﹣1代入x2﹣2x+m＝0，得：1+2+m＝0，
解得m＝﹣3，
故选：C．
【解答】解：①方程kx2﹣x﹣2＝0当k≠0时才是一元二次方程，故错误；
②x＝1与方程x2＝1不是同解方程，故错误；
③方程x2＝x与方程x＝1不是同解方程，故错误；
④由（x+1）（x﹣1）＝3可得x＝±2，故错误．
故其中正确的命题有0个．
故选：A．
【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，
x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，
∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0，
即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，
故选：B．
二．填空题
．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，
∴m2﹣m＝5，
m﹣1﹣＝0，
故m﹣＝1，
则（m2﹣m）（m﹣+1）
＝5×2
＝10．
故答案为：10．
．【解答】解：将x＝1代入方程，得：a+b﹣2＝0，即a+b＝2，
原式＝2a+2b+3＝2（a+b）+3＝2×2+3＝7．
故答案为：7．
．【解答】解：∵α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，
∴α2+2020α﹣2＝0，
β2+2020β﹣2＝0
∴α2+2020α＝2，
β2+2020β＝2
∴（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）
＝（2﹣1）（2+2）＝4．
故答案为4．
．【解答】解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴（﹣6）2﹣4m≥0，m≤9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，
a＝，b＝6﹣a＝，
∴m＝ab＝＝，
故答案为．
．【解答】解：2x2+8x＝x+9，
3x2+7x﹣9＝0，
∴二次项系数为2，一次项系数为7，
故答案为：2，7．
三．解答题
．【解答】解：（1）9x2＝16，
x2＝，
x＝±；
（2）（x﹣4）2＝4，
x﹣4＝±2，
解得x1＝2，x2＝6．
．【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2＝9，
∴2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3，
解得：x＝2或x＝﹣1；
（2）∵a＝1、b＝﹣2、c＝2，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝4＞0，
则x＝＝±1；
（3）∵（x﹣1）2﹣3（x﹣1）+2＝0，
∴（x﹣1﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，即（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝2或x＝3．
．【解答】解：（1）∵x2﹣3x+1＝0，
∴x≠0，方程两边同时除以x，得x﹣3+＝0，
∴x+＝3；
（2）∵（x﹣）2＝（x+）2﹣4＝9﹣4＝5，
∴x﹣＝±；
（3）∵a为方程x2﹣3x+1＝0一个根，
∴a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，
∴2a2﹣6a+2017＝2（a2﹣3a）+2017＝﹣2+2017＝2015．
．【解答】解：解方程①，得x1＝1，x2＝2，
解方程②，得x＝．
当＝1时，a＝2；
当＝2时，a＝．
综上所述，a的值是2或；
（2）由题可知，1≤≤2，解得2≤a≤．
．【解答】解：（1）（1）x2﹣1＝0，
（x+1）（x﹣1）＝0，
x+1＝0，或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝1；
（2）x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0，或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1；
（3）x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0，或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
…
猜测方程（n）x2+（n﹣1）x﹣n＝0的根为x1＝﹣n，x2＝1；
（2）上述几个方程都有一个公共根是1．