2022—2023学年九年级人教版数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课时练习(含解析)

24.1.2 垂直于弦的直径（附解析）
一、单选题(共10个小题)
1．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　 　）
A．（4﹣）米 B．2米 C．3米 D．（4+）米
3．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　 　）
A．1或7 B．7 C．1 D．3或4
4．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
5．如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．下列说法正确的是（　　 ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
7．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（　 　）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
8．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为（ ）
A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸
9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　 ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则四边形ACDB的面积是（　 　）
A．119 B．289 C．77或119 D．119或289
二、填空题(共10个小题)
11．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=6，则⊙O半径为_______．
12．如图，已知⊙O 中，半径 OC 垂直于弦 AB，垂足为 D， 若 ，则 AB 的长是__________．
13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =__________．
14．如图，是⊙O的弦，长为8，是⊙O上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为________．
15．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是______．
16．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．
17．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_____cm．
18．已知⊙O的半径为5，为圆内的一点，，则过点P的弦长的最小值是________．
19．在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB=6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了__________m．
20．如图，在中，是弧的中点，作点关于弦的对称点，连接并延长交于点，过点作于点，若，则等于_________度．
三、解答题(共3个小题)
21．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，求⊙O的半径长．
22．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
(1)求证：AC＝BD；
(2)连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
23．如图，在半径为2的扇形中，，点C是弧上的一个动点（不与点A、B重合），，垂足分别为D、E．
(1)当时，求线段的长；
(2)在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
(3)在中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数，如果不存在，请说明理由．
24.1.2 垂直于弦的直径解析
1．
【答案】A
【详解】解：如图，连接AO，
∵半径与点D，
∴，
∵，
∴根据勾股定理，，
∴，
∴．
故选A．
2．
【答案】A
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，
故选：A．
3．
【答案】A
【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，
∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE2＝OC2﹣CE2
∴OE3，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF2＝OA2﹣AF2
∴OF4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，
AB与CD的距离为7；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE＝3，OF＝4；
则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7．
故选：A.
4．
【答案】D
【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
C点是AB的中点，即AC=BC==6；
并且OC⊥AB，在中，
由勾股定理得，
所以；AO=8cm，
所以，
所以OC=
故选：
5．
【答案】A
【详解】解：过O作OD⊥AB于D，连接OA，
∵OA=10，AB=16，
∴AD=AB=×16=8，
∴OD==6，
∴OD≤OM≤OA，即6≤OM≤10．
∴OM不可能为5，
故选：A．
6．
【答案】D
【详解】根据垂径定理及其推论进行判断．
【解答】解：根据垂径定理，
①正确；
②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；
③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；
④正确．
故选：D．
7．
【答案】A
【详解】解：第一块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
8．
【答案】C
【详解】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：
由题意知：CE过点O，且，
则．
设圆形木材半径为r，
则，．
∵，
∴，
解得 ，
即⊙O的半径为13寸，
∴⊙O的直径为26寸．
故选：C．
9．
【答案】C
【详解】解：∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵OA＝OB，AC＝4
∴OD＝AC＝2．
故选C．
10．
【答案】D
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∴OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=12-5=7cm；
∴四边形ACDB的面积
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴.AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=OF+OE=17cm.
∴四边形ACDB的面积
∴四边形ACDB的面积为119或289.
故选D.
11．
【答案】
【详解】解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=6，
∴BE=3，∠OEB=90°，
设OB=x，则OC=x，
∵CE=2，
∴OE=x-2，
∵在Rt△OBE中，，
∴，解得：，
∴，即⊙O的半径为，
故答案为：．
12．
【答案】8
【详解】解：∵OC为半径，OC⊥AB，
∴AB=2AD，
∵，
∴，
∴AB=2AD=8．
故答案为：8
13．
【答案】
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH=EF=2，
∵GB=5，
∴OF=OB=，
在△OHF中，勾股定理，得
OH=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH=，
故答案为：．
14．
【答案】4
【详解】解：∵，，
∴，，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：4．
15．
【答案】16
【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
∴S矩形APND=S矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD
∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4
故S△AOD的最大值为4
∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16
故答案为：16．
16．
【答案】
【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
， ∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF=DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴．
故答案为：．
17．
【答案】12
【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为60cm，
∴OB＝OC＝30cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝18（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝30﹣18＝12（cm），
即水的最大深度为12cm，
故答案为：12．
18．
【答案】8
【详解】过P点作弦AB，使AB⊥OP，则AB为过P点的最短的弦，
连结OA，
∵OP⊥AB，
∴AP=BP，
在Rt△AOP中，OA=5，OP=3，
∴AP=，
∴AB=2AP=8．
故答案为：8．
19．
【答案】1或7
【详解】解：连接OA，作OG⊥AB于G，
∵AB=6m，
∴AG=AB=3m，
∵油槽直径为10m，
∴OA=5m，
∴OG=4m，即弦AB的弦心距是4m，
同理当油面宽AB为8m时，弦心距是3m，
∴当油面没超过圆心O时，油上升了1m；
当油面超过圆心O时，油上升了7m．
故答案为：1或7．
20．
【答案】18
【详解】设∠EBF=x,则∠BAE=2x,连接OC交AB于点G,连接OB,BC,OD,如下图所示
∵C是的中点,点O为圆心
∴OCAB（垂径定理）
又∵点C与点D关于弦AB对称
∴CDAB,且C,D,O三点共线，GD=GC
∴∠AGD=∠BGC=90°，GA=GB
故△AGD△BGC（SAS）
∴∠ADG=∠BCG=90°-2x
又∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=∠ADC=90°-2x
又∵同弧
∠E=∠COB=180°-2∠OBC=180°-2（90°-2x）（在△OCB中）
∵BFAE
在△BEF中，∠E=90°-∠EBF=90°-x
故综上：180°-2（90°-2x）=90°-x
解得x=18°
故本题答案为：18
21．
【答案】⊙O的半径长为
【详解】连接OC
∵直径AB⊥CD
∴CE＝DE，∠OEC＝90°
∵CD＝10
∴CE＝DE＝5
设半径为x，则OC＝x，OE＝x－2
在Rt△OEC中，，
∴，
∴x＝
∴⊙O的半径长为．
22．
【答案】(1)见解析；(2)
【详解】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH＝CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴AH＝＝＝2，
∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．
23．
【答案】(1)；(2)存在，中，的长度保持不变为
(3)存在，中，的度数保持不变为
【详解】（1）∵
∴
在中．
（2）存在，
连接
∵
∴，
∴
∴中，的长度保持不变为．
（3）存在，
连接
∵，
∴
同理：
∵
∴
∴
∴中，的度数保持不变为