2022-2023学年度 人教版数学九年级下册第二十七章 相似 达标测试卷 (含答案)

第二十七章 相似
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列图形中，属于相似图形的是(　　)
2．下列各组线段中，是成比例线段的是(　　)
A．1，2，3，4 B．3，6，9，18
C．1，2，2，6 D．1，，4，3
3．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝40°，∠E＝80°，则∠F的度数为(　　)
A．30° B．60° C．70° D．80°
4．如图，l1∥l2∥l3，BC＝1，＝，则AB的长为(　　)
A．4 B．2 C. D.
(第4题) 　　 (第5题)
5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE＝2：1，则△ABC与△DEF的面积比是(　　)
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件不能判定△ADE与△ACB相似的是(　　)
A．∠AED＝∠B B.＝
C．AD·BC＝DE·AC D．DE∥BC
(第6题) 　　 (第7题)
7．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，小正方形的边长均为1，则下列三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(　　)
(第8题) 　　　 (第9题)
9．如图，为测量河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝15 m，EC＝9 m，CD＝16 m，则河的宽度AB为(　　)
A．35 m B. m C. m D. m
10．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
(第10题)　　 (第12题)　　 (第13题)
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如果＝，那么＝________．
12．如图，在 ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F, 若EC＝2BE, EF＝2，则AE＝________．
13．如图，有一组平行横格线，相邻横格线间的距离都相等，已知点A，B，C，D，O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O，则ABCD等于________．
14．在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为(2，3)，(1，0)，现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为__________．
15．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点P1，P2，P3，…，Pn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn＋1的中点，△B1C1P1的面积为S1，△B2C2P2的面积为S2，…，△BnCnPn的面积为Sn.
(1)S1＝________；(2)Sn＝________(用含n的式子表示)．
三、解答题(一)(每小题8分，共24分)
16．若＝＝，且3a＋2b－4c＝9，求a＋b＋c的值．
17．如图，△ABC在方格纸(小正方形的边长均为1)中．
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(3，4)，点C的坐标为(7，3)，并写出点B的坐标；
(2)以(1)中所建立的坐标系的原点O为位似中心，相似比为2?1，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的位似图形△A′B′C′；
(3)计算△A′B′C′的面积S.
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D分别是BC，AC上的点，且∠AED＝45°.
(1)求证：△ABE∽△ECD；
(2)若AB＝4，BE＝，求CD的长．
四、解答题(二)(每小题9分，共27分)
19．如图，小强在地面E处放一个平面镜，刚好能从平面镜中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．
20．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F.
求证：AC·CF＝CB·DF.
21．如图，在梯形ABCD中， AD∥BC, AB⊥BC，∠AEB＝∠ADC.
(1)求证：△ADE∽△DBC；
(2)连接EC，若CD2 ＝AD·BC ，求证：∠DCE＝∠ADB.
五、解答题(三)(每小题12分，共24分)
22．如图，BC是⊙O的一条弦，过点O作OM⊥BC于点M，延长MO交⊙O于点A，连接AB，AC，∠ABC的平分线交AM于点D，交⊙O于点F，并与过点A的⊙O的切线交于点G.
(1)求证：AB＝AG；
(2)连接AF，若AB＝10，BC＝12，求AF的长．
23．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20 cm，AC＝30 cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4 cm的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，沿CA以每秒3 cm的速度向点A运动，当其中一个动点停止，另一个动点也停止运动，设运动时间为x秒．
(1)当x为何值时，PQ∥BC；
(2)是否存在某一时刻，使△APQ与△CQB相似？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．
答案
一、1.D　2.B　3.B　4.C　5.C　6.C　7.B　8.B　9.C
10．A　点拨：连接DE，过点D作DH⊥AB于点H，如图．
∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴＝＝2，∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，
∴＝，＝.易知＝，∴＝＝，
∴＝，∴＝，
∵DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD，
∴S△ABE－S△ABF＝S△ABD－S△ABF，
∴S△AEF＝S△BDF＝S△ABD.
∵AB＝6，是定值，∴当DH最大时，△ABD的面积最大，
∵DH≤BD，易知BD＝BC＝，∴当DH＝时，△ABD的面积最大，最大值为××6＝5，
∴△AFE面积的最大值是×5＝2.
二、11.　12.8　13.2∶3　14.(4，6)或(－4，－6)
15．(1)　(2)　
三、16.解：设＝＝＝k(k≠0)，则a＝3k，b＝5k，c＝7k，代入3a＋2b－4c＝9，得9k＋10k－28k＝9，
解得k＝－1，
∴a＋b＋c＝15k＝－15.
17．解：(1)建立平面直角坐标系如图所示．点B的坐标为(3，2)．
(2)△A′B′C′如图所示．
(3)△A′B′C′的面积S为×4×8＝16.
18．(1)证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°.
∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，
∠AED＝45°，
∴∠BAE＝∠CED，∴△ABE∽△ECD.
(2)解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝4 .∵BE＝，∴EC＝3 .
∵△ABE∽△ECD，∴＝，即＝，
解得CD＝.
四、19.解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△AEB∽△CDE，∴＝，
即＝，解得AB＝16米．
答：教学楼AB的高度为16米．
20．证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为CB的中点，
∴CE＝EB＝DE，∴∠B＝∠BDE＝∠FDA.
∵∠B＋∠CAB＝90°，∠FCD＋∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠FCD，∴∠FDA＝∠FCD.
又∵∠F＝∠F，∴△FDA∽△FCD，∴＝.
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，
即AC·CF＝CB·DF.
21．证明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DBC，∠ADC＋∠C＝180°，
∵∠AEB＝∠ADC，∠AEB＋∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠C，∴△ADE∽△DBC.
(2)由(1)得△ADE∽△DBC，
∴＝，∴DB·DE＝AD·BC，
∵CD2＝AD·BC，∴CD2＝DB·DE，∴＝.
又∵∠CDE＝∠BDC，∴△CDE∽△BDC，
∴∠DCE＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DBC，∴∠DCE＝∠ADB.
五、22. (1)证明：∵BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠CBG，
∵AG是⊙O的切线，∴AG⊥AM，
∵AM⊥BC，∴AG∥BC，∴∠G＝∠CBG，∴∠G＝∠ABG，
∴AB＝AG.
(2)解：设AC与BG交于点N，由(1)知AG＝AB＝10.
∵OM⊥BC，∴＝，∴∠C＝∠ABC，AC＝AB＝10，
∵AG∥BC，∴∠GAN＝∠C，∴∠ABC＝∠GAN，
∵∠GAN＝∠GAF＋∠FAN，∠ABC＝∠FBC＋∠ABG，∠FAN＝∠FBC，
∴∠GAF＝∠ABG.由(1)知∠G＝∠ABG，
∴∠GAF＝∠G，∴AF＝GF.
∵AG∥BC，∴△GAN∽△BCN，
∴＝＝＝＝，∴易得CN＝，
设NG＝5x，AF＝GF＝y(x>0，y>0)，则BN＝6x，
∴BG＝11x，∵∠ABF＝∠NBC，∠AFB＝∠C，
∴△ABF∽△NBC，∴＝＝，
∴＝＝，解得x＝，y＝，∴AF＝.
23．解：(1)由题意知，AP＝4x cm，CQ＝3x cm.
若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，∴＝，
即＝，解得x＝，
∵∴0∴x＝符合题意，即当x＝时，PQ∥BC.
(2)存在．∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，
分以下两种情况：
①当△APQ∽△CQB时，＝，
即＝，解得x1＝，x2＝0(舍去)．
经检验，x＝是上述方程的解．
∴当AP＝ cm时，△APQ∽△CQB；
②当△APQ∽△CBQ时，＝，
即＝，解得x3＝5，x4＝－10(舍去)．
经检验，x＝5是上述方程的解．
∴当AP＝20 cm时，△APQ∽△CBQ.
综上所述，当AP的长为cm或20 cm时，△APQ与△CQB相似．