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专题 一元一次方程与实际问题
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用一元一次方程解决配套问题
1．某玩具厂有工人84人，平均每人每天生产如图所示的大玩具熊10个或小玩具熊16个，2个大玩具熊和1个小玩具熊正好配成一套“快乐之家”，要使每天生产的大玩具熊、小玩具熊刚好配家成“快乐之家”，则应安排生产大玩具熊、小玩具熊的人数分别为多少人？
2．一套仪器由2个A部件和5个B部件构成，用1m3钢材可做40个A部件或200个B部件，现要用6钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套？
3．师傅和徒弟两人检修一条长300米的管道，师傅每小时检修17米，徒弟每小时检修13米，现两人同时合作，用多少时间可以完成检修？
考查题型二 利用一元一次方程解决工程问题
4．一项工程，如果甲队单独做5天可以完成全工程的；如果乙、丙两队合做2天可以完成全工程．三队合做多少天可以完成全工程？
5．甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同．正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？
考查题型三 利用一元一次方程解决销售问题
6．列方程（组）解决下列问题
某蔬菜公司收购到一批蔬菜，计划用天加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工吨或者粗加工吨，且每吨蔬菜精加工后的利润为元，粗加工后的利润为元，已知公司售完这批加工后的蔬菜，共获得利润元，求这批蔬菜共多少吨？
7．学校准备添置一批课桌椅，原计划订购80套，每套120元．店方表示：如果多购可以优惠．结果校方购了95套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．
(1)求每套课桌椅的成本；
(2)求商店获得的利润．
8．某书城开展学生优惠购书活动，凡是一次性购买不超过200元的一律九折优惠；超过200元时，其中的200元按九折计算，超过200元的部分按八折计算．小军第一次购书付款72元，第二次购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元．
(1)求小军第一次所购书的定价是多少元？
(2)求小军第二次购书的实际付款是多少元？
考查题型四 利用一元一次方程解决比赛积分问题
9．小明和爸爸下象棋，爸爸赢一盘得1分，小明赢一盘得3分，下了8盘后，两人得分相等，如果没有和棋，那么他们各赢了多少盘？对于这个问题，请你设未知数，列出方程，并解方程．
10．利用二元一次方程组解应用题：为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
11．为庆祝“建党100周年”，某学校组织“学党史”知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分，参赛者小红得88分，则她答对几道题？
考查题型五 利用一元一次方程解决数字问题
12．符号“”代表一种新运算，例如，，，
(1)求的值；
(2)是否存在整数，使？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．
13．将正整数1至2018按一定规律排列如图：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和是2013，请求出这三个数．
14．用方程解答：x的3倍与1之和的二分之一等于x的四倍与1之差的三分之一，求x．
考查题型六 利用一元一次方程解决和差倍分问题
15．列综合算式或方程进行计算
(1)一个数的是15，它的是多少？
(2)一个数的75%比它的多25，这个数是多少？
16．甲、乙、丙、丁四人一共做了820个零件，如果把甲做的个数加10个，乙做的个数减去20个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么四人做的个数正好相等，问乙实际上做了多少个零件
17．已知，当取何值时，比大3？
考查题型七 利用一元一次方程解决行程问题
18．甲以每小时30千米的速度由A地行驶到B地，如果以比原速度多20%的速度行驶，则甲花了原来时间的多20分钟到达B地，求甲原来需要行驶的时间与A、B两地间的距离．
19．某中学学生步行到郊外旅行，七年级（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/小时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/小时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/小时．
(1)后队追上前队需要多长时间？
(2)后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？
(3)七年级（1）班出发多少小时后两队相距2千米？
20．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2.5 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了3 h．已知水流的速度是2 km/h，求船在静水中的平均速度．
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专题 一元一次方程与实际问题
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用一元一次方程解决配套问题
1．某玩具厂有工人84人，平均每人每天生产如图所示的大玩具熊10个或小玩具熊16个，2个大玩具熊和1个小玩具熊正好配成一套“快乐之家”，要使每天生产的大玩具熊、小玩具熊刚好配家成“快乐之家”，则应安排生产大玩具熊、小玩具熊的人数分别为多少人？
【详解】解：设安排生产大玩具熊的人数为x人，则安排生产小玩具熊的人数为（84-x）人，根据题意得：，解得：，则84-x=20，
答：安排生产大玩具熊的人数为64人，则安排生产小玩具熊的人数为20人．
2．一套仪器由2个A部件和5个B部件构成，用1m3钢材可做40个A部件或200个B部件，现要用6钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套？
【详解】解：设应用钢材做A部件，（6-x）钢材做B部件，
根据题意得，5×40x=2×200（6-x）
解得x=4
6-x=2．
答：应用4钢材做A部件，2钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套．
3．师傅和徒弟两人检修一条长300米的管道，师傅每小时检修17米，徒弟每小时检修13米，现两人同时合作，用多少时间可以完成检修？
【详解】解：设用x小时可以完成检修，
17x+13x=300
x=10．
答：用10小时可以完成检修．
考查题型二 利用一元一次方程解决工程问题
4．一项工程，如果甲队单独做5天可以完成全工程的；如果乙、丙两队合做2天可以完成全工程．三队合做多少天可以完成全工程？
【详解】解：设三队合做x天可以完成全工程，依题意有
，
解得x＝．
故三队合做天可以完成全工程．
5．甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同．正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？
【详解】解：能履行该合同
理由如下：设甲、乙两人合作需要天完成，根据题意，
，
解得，
因为，所以甲、乙两人能履行该合同
考查题型三 利用一元一次方程解决销售问题
6．列方程（组）解决下列问题
某蔬菜公司收购到一批蔬菜，计划用天加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工吨或者粗加工吨，且每吨蔬菜精加工后的利润为元，粗加工后的利润为元，已知公司售完这批加工后的蔬菜，共获得利润元，求这批蔬菜共多少吨？
【详解】解：设精加工天，则粗加工天，
依题意得：，
解得：，
．
答：这批蔬菜共吨．
7．学校准备添置一批课桌椅，原计划订购80套，每套120元．店方表示：如果多购可以优惠．结果校方购了95套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．
(1)求每套课桌椅的成本；
(2)求商店获得的利润．
（1）
解：设每套课桌椅的成本为x元，
根据题意得：80×120﹣80x＝95×（120﹣3）﹣95x，
解得：x＝101．
答：每套课桌椅的成本为101元；
（2）
80×（120﹣101）＝1520（元）．
答：商店获得的利润为1520元．
8．某书城开展学生优惠购书活动，凡是一次性购买不超过200元的一律九折优惠；超过200元时，其中的200元按九折计算，超过200元的部分按八折计算．小军第一次购书付款72元，第二次购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元．
(1)求小军第一次所购书的定价是多少元？
(2)求小军第二次购书的实际付款是多少元？
（1）
解：设小军第一次所购书的定价是元，
，
，
则，
解得，
答：小军第一次所购书的定价是80元．
（2）
解：设小军第二次所购书的定价是元，
由题意得：小军第二次节省的钱数为（元），
小军第二次购书享受了八折优惠，
，
则，
解得，
所以小军第二次购书的实际付款是（元），
答：小军第二次购书的实际付款是204元．
考查题型四 利用一元一次方程解决比赛积分问题
9．小明和爸爸下象棋，爸爸赢一盘得1分，小明赢一盘得3分，下了8盘后，两人得分相等，如果没有和棋，那么他们各赢了多少盘？对于这个问题，请你设未知数，列出方程，并解方程．
【详解】解：设小明爸爸赢了盘，则小明赢了盘，
由题意得：，
解得，
则，
答：小明爸爸赢了6盘，小明赢了2盘．
10．利用二元一次方程组解应用题：为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
【详解】解：设该队获胜x场，则平（11 x）场，
依题意得：3x＋（11 x）＝25，解得：x＝7，
∴11 x＝11 7＝4，
答：该队获胜7场．
11．为庆祝“建党100周年”，某学校组织“学党史”知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分，参赛者小红得88分，则她答对几道题？
【详解】解：设她答对x道题，则答错（20-x）道题．
根据题意得：
解得：
答：她答对18道题
考查题型五 利用一元一次方程解决数字问题
12．符号“”代表一种新运算，例如，，，
(1)求的值；
(2)是否存在整数，使？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．
（1）
由题意可知；
（2）
不存在，
理由：，
，
，
解得：．
不存在整数，使．
13．将正整数1至2018按一定规律排列如图：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和是2013，请求出这三个数．
【详解】解：设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，根据题意得：
（x﹣1）+x+（x+1）=2013，
解得：x=671，
答：这三个数为670，671，672．
14．用方程解答：x的3倍与1之和的二分之一等于x的四倍与1之差的三分之一，求x．
【详解】解：由题意可得：，
解得：x=-5．
考查题型六 利用一元一次方程解决和差倍分问题
15．列综合算式或方程进行计算
(1)一个数的是15，它的是多少？
(2)一个数的75%比它的多25，这个数是多少？
解：设这个数为x，
由题意得，
解得，
∴；
（2）
解：设这个数为x，
由题意得：，
解得．
16．甲、乙、丙、丁四人一共做了820个零件，如果把甲做的个数加10个，乙做的个数减去20个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么四人做的个数正好相等，问乙实际上做了多少个零件
【详解】解：设四个人做的零件数相等时为x个，
由题意可得：，
解得：x=180，
乙：180+20=200个，
∴乙实际上做了200个零件．
17．已知，当取何值时，比大3？
【详解】解：比大3，且，
，
解得，
故当时，比大3．
考查题型七 利用一元一次方程解决行程问题
18．甲以每小时30千米的速度由A地行驶到B地，如果以比原速度多20%的速度行驶，则甲花了原来时间的多20分钟到达B地，求甲原来需要行驶的时间与A、B两地间的距离．
【详解】解：30×(1+20%)＝36(千米/时)，20÷60=(小时)，
设甲原来需要行驶的时间为x小时，
由题意得：30x=36(x+)，
解得：x=1，
30×1=30(千米)．
答：甲原来需要行驶的时间是1小时，A、B两地间的距离30千米．
19．某中学学生步行到郊外旅行，七年级（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/小时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/小时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/小时．
(1)后队追上前队需要多长时间？
(2)后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？
(3)七年级（1）班出发多少小时后两队相距2千米？
（1）
设后队追上前队需要x小时，
根据题意得：（6﹣4）x＝4×1
∴x＝2
答：后队追上前队需要2小时，
（2）
10×2＝20千米
答：联络员走的路程是20千米，
（3）
设七年级（1）班出发t 小时后，两队相距2千米，
当七年级（2）班没有出发时，t＝＝，
当七年级（2）班出发，但没有追上七年级（1）班时，4t＝6（t﹣1）+2
∴t＝2，
当七年级（2）班追上七年级（1）班后，6（t﹣1）＝4t+2
∴t＝4，
答：七年级（1）班出发小时或2小时或4小时后，两队相距2千米．
20．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2.5 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了3 h．已知水流的速度是2 km/h，求船在静水中的平均速度．
【详解】设船在静水中的平均速度为x km/h，则顺流速度为km/h，逆流速度为km/h．
依题意，．
解得．
答：船在静水中的平均速度为22 km/h．
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