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专题10 最短路径问题
一、单选题
1．如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ）
A． B．
C． D．
2．小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸CD的距离分别为AC、BD，且，若A到河岸CD的中点的距离为500m.牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，牧童回家所走的最短路程为（ ）
A．500m B．1000m C．1500m D．2000m
5．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（ ）．
A．B．C．D．
6．如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC与点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
8．和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．（垂直于） B．（不平行）
C．（垂直于） D．（平行）
二、解答题
9．如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使到它的距离之和最短，作图并说明．
10．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上，如果用表示点的位置，用表示点的位置，那么：
(1)画出平面直角坐标系；
(2)画出与关于轴对称的图形（点与点对称，点与点E对称，点与点对称）；
(3)为轴上的一个动点，是否存在使的值最小？若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成作图：
(1)作直线，射线，连接；
(2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹）
(3)在直线上确定一点Q，使点Q到点P与点D的距离之和最短．
12．如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．
13．在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案：
(1)三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ；最长的方案是 ．
(2)请根据数学知识说明理由： ．
14．如图（1）所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为，对角线为，长方形对角线为．一只蚂蚁从点爬行到点．
(1)求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由．
(2)如果把右边的正方形沿翻转得到如图（2）所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从点到点的最短路线长是多少？请在图（2）中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断）
15．如图，点A在中，点B、C分别在边OM、ON上．请画出，使的周长最小（请保留作图痕迹）．
16．两个城镇A、B与两条公路、位置如图所示．
（1）电信部门需要处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路、的距离也必须相等，请在图中作出所有符合条件的点（用尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若电信部门要求将发射塔建在公路旁的处，且到两个城镇的距离和最短，请在图中作出符合条件的点（保留作图痕迹，作图工具不限）．
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专题10 最短路径问题
一、单选题
1．如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽，连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E，则EF∥PP′且EF=PP′，于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F=PE，
根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．故C选项符合题意，故选：C．
2．小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：根据两点之间线段最短可知，只需要作A关于直线l的对称点，连接B与A关于直线l的对称点与直线l的交点即可所求，则只有选项B符合题意；
故选：B．
3．如图所示，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如下图，
过D作DE⊥AB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长．
∵AD平分∠CAB，AC⊥BC
∴DE=CD=BC-BD=1000-700=300（米）．
故选：C．
4．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸CD的距离分别为AC、BD，且，若A到河岸CD的中点的距离为500m.牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，牧童回家所走的最短路程为（ ）
A．500m B．1000m C．1500m D．2000m
【详解】解：作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．
由题意：AC=BD，∠A’CM=∠BDM=90°，
∴A′C=BD，
在△A′CM与△BDM中，
，
∴△A′CM≌△BDM，
∴CM=DM，M为CD的中点，A′M=BM，
由于A到河岸CD的中点的距离为500米，
所以A′到M的距离为500米，
A′B=2A′M=1000米．
故最短距离是1000米．
故选：B．
5．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（ ）．
A．B．C．D．
【详解】解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，
∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小
故选：C．
6．如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，
连接，，，其中交于，交于，
此时的周长最小值等于的长，
由轴对称性质可知：，，，，
，
，
，
即，
故选：D．
7．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC与点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【详解】
如图，连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC AD=×4×AD=12，
解得：AD=6（cm），
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）．
故选C．
8．和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．（垂直于） B．（不平行）
C．（垂直于） D．（平行）
【详解】根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线（或直线），只要最短即可，
即过作河岸的垂线，垂足为，在直线上取点，使等于河宽，连接交河的边岸于，作垂直于河岸交边的岸于点，所得即为所求．
易得四边形是平行四边形，则，即．
故选：．
二、解答题
9．如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使到它的距离之和最短，作图并说明．
【详解】解：如图，作点A关于街道得对称点C，连接CB，交街道与点D，则点D即为所求的牛奶站的位置．
由轴对称的性质可知AD=CD，则AD+BD=CD+BD=BC，
在街道上任取一点不同于D点的E，连接CE，BE，
根据两点之间线段最短可知BE+CE＞BC，则点D即为所求；
10．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上，如果用表示点的位置，用表示点的位置，那么：
(1)画出平面直角坐标系；
(2)画出与关于轴对称的图形（点与点对称，点与点E对称，点与点对称）；
(3)为轴上的一个动点，是否存在使的值最小？若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）解：如图所示．
11．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成作图：
(1)作直线，射线，连接；
(2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹）
(3)在直线上确定一点Q，使点Q到点P与点D的距离之和最短．
解：如图，直线AB，射线BD，线段AC即为所求；
（2）解：如图，点P即为所求；
（3）解：如图，点Q即为所求．
12．如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．
【详解】解：如图．
作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''，
分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求．
此时△PMN的周长为PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''，
即最小值为P'P''的长度．
13．在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案：
(1)三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ；最长的方案是 ．
(2)请根据数学知识说明理由： ．
(1)解：∵
∴爬行路线最短的方案是③；最长的方案是①；
故答案为：③；①；
(2)解：根据题意得：方案①爬行的路程为AB+BC+CE，
方案②爬行的路程为AC+CE，
方案③爬行的路程为AE，
如图，
在△ABC中，AB+BC＞AC（三角形的两边之和大于第三边），
∴AB+BC+CE＞AC+CE，
在△ACE中，AC+CE＞AE（三角形的两边之和大于第三边），
∴AB+BC+CE＞AC+CE＞AE，
故答案为：三角形的两边之和大于第三边
14．如图（1）所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为，对角线为，长方形对角线为．一只蚂蚁从点爬行到点．
(1)求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由．
(2)如果把右边的正方形沿翻转得到如图（2）所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从点到点的最短路线长是多少？请在图（2）中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断）
(1)解：从路线长：，
从路线长：，
从路线长：，
根据两点之间，线段最短，
可得，即，
所以，即，
故从到的最短路线长为．
(2)解：从到的最短路线长为，
图中的点为线段的中点，
位置如图．
15．如图，点A在中，点B、C分别在边OM、ON上．请画出，使的周长最小（请保留作图痕迹）．
【详解】①分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；
②连接A′、A″，分别交OM，ON于点B、点C，连接AB、AC、BC，则△ABC即为所求．
16．两个城镇A、B与两条公路、位置如图所示．
（1）电信部门需要处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路、的距离也必须相等，请在图中作出所有符合条件的点（用尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若电信部门要求将发射塔建在公路旁的处，且到两个城镇的距离和最短，请在图中作出符合条件的点（保留作图痕迹，作图工具不限）．
【详解】解：（1）公路l1，l2交于E，作∠FEG的平分线，与线段AB的垂直平分线，两线的交点为点C；
则点C为所求；
（2）过点B作l2的对称点B′，连结AB′交l2于点D，则点D为所求．
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