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专题14 分解因式
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 提公因式法分解因式
1．三个多项式：的最大公因式是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：∵，，，∴最大公因式是，故D正确．故选：D．
2．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字： 中， 爱， 我， 数， 学，马， 现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学 B．爱马中 C．我爱马中 D．马中数学
【详解】解：
=，
∵分别对应下列六个字：中， 爱， 我， 数， 学，马，
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱马中，
故选：C．
4．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（ ）
A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5
【详解】解：原式，
另一个因式是，
故选：A．
5．已知a-b=2，a=3，则等于（ ）
A．1 B．4 C．5 D．6
【详解】解：∵，a-b=2，a=3，
∴原式，
故选：D．
6．已知，那么代数式的值是（ ）
A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故选：B．
考查题型二 公式法分解因式
7．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：①，能用完全平方公式分解，不符合题意；
②，不能用完全平方公式分解，符合题意；
③，不能用完全平方公式分解，符合题意；
④，能用完全平方公式分解，不符合题意；
⑤，不能用完全平方公式分解，符合题意．
综上，不能用完全平方公式分解的是②③⑤，共3个
故选：C．
8．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：能运用平方差公式分解因式的是．
故选：C．
9．当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：
∴无论m为任何自然数，始终能被8整除，
故选：D．
10．能用公式法因式分解，则m的值为（ ）
A．9 B．3 C．3或 D．6或
【详解】解：∵能用公式法因式分解，
∴m=±2×3=±6，
故选：D．
11．若的三边a，b，c，满足，则的面积为（ ）
A．6 B． C． D．8
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
∴的面积为．
故选：A
12．下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
【详解】①不能用公式法因式分解；
②，可以用公式法因式分解；
③不能用公式法因式分解；
④=，能用公式法因式分解；
⑤=，能用公式法因式分解．
∴能用公式法分解因式的是②④⑤
故选C．
13．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】a2-6ab+5b2
=a2-6ab+9b2-4b2
=(a-3b)2-(2b)2
=(a-3b+2b)(a-3b-2b)
=(a-b)(a-5b)；
故选：D．
考查题型三 因式分解在有理数运算时的应用
14．如果能被n整除，则n的值可能是
A．20 B．30 C．35 D．40
【详解】，
能被n整除，则n的值可能是30，
故选B．
15．已知，，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵，，，
∴=a(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a-c)
=(2017x+2016-2017x-2017)×(2017x+2016-2017x-2018)=-1×(-2)=2．
故选：A．
16．将变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】原式=（200+2）（200-2）
=
=
故选A.
17．能被（ ）整除
A．76 B．78 C．79 D．82
【详解】
因为803－80＝80(802－1)＝80(80＋1)(80－1)＝80×81×79，所以803－80能被80，81，79整除.故选C.
考查题型四 十字相乘法分解因式
18．把多项式分解因式，其结果是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：x2+3x 54＝（x 6）（x＋9）；故选：B．
19．已知x2＋x﹣6＝（x＋a）（x＋b），则（ ）
A．ab＝6 B．ab＝﹣6 C．a＋b＝6 D．a＋b＝﹣6
【详解】解：∵x2＋x﹣6＝（x＋a）（x＋b），
∴x2＋x﹣6＝x2＋（a＋b）x＋ab，
∴a＋b＝1，ab＝﹣6；
故选：B．
20．若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个
【详解】解：18=1×18=2×9=3×6=（-1）×（-18）=（-2）×（-9）=（-3）×（-6），
所以a=1+18=19或2+9=11或3+6=9或（-1）+（-18）=-19或（-2）+（-9）=-11或（-3）+（=6）=-9．
∴整数a的值是±9或±11或±19，共有6个．
故选：B．
21．下列四个选项中，哪一个为多项式的因式？（ ）
A．2x-2 B．2x+2 C．4x+1 D．4x+2
【详解】解：8x2-10x+2=2（4x2-5x+1）
=2（4x-1）（x-1）
=（4x-1）（2x-2），
故多项式8x2-10x+2的因式为（4x-1）与（2x-2），
故选：A．
考查题型五 因式分解的实际应用
22．设，，，则数按从小到大的顺序排列，结果是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：，
，
，
所以．
故选：A．
23．若△ABC的三边a、b、c满足，则△ABC形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【详解】解：由得：
，
∴，
即，
∴a=b或，
∴△ABC形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
24．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、，周长为20，面积为16，请计算的值为（ ）
A．96 B．480 C．320 D．160
【详解】解：∵长方形的边长为A、b（a＞b），周长为20，面积为16，
∴2（a+b）=20，ab=16，
∴a+b=10，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=102-4×16=100-64=36，
∵a＞b，
∴a-b=6，
∴原式=ab（a-b）=16×6=96．
故选：A．
25．2161可以被1020之间的两个整数整除，那这两个整数是（ ）
A．13和15 B．12和16 C．14和17 D．15和17
【详解】解：2161=（281）（281）
=（281）（241）（241）
=（281）×17×15
即，2161的计算结果可以被17和15整除，
故选：D．
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专题14 分解因式
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 提公因式法分解因式
1．三个多项式：的最大公因式是（ ）
A． B．
C． D．
2．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字： 中， 爱， 我， 数， 学，马， 现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学 B．爱马中 C．我爱马中 D．马中数学
4．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（ ）
A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5
5．已知a-b=2，a=3，则等于（ ）
A．1 B．4 C．5 D．6
6．已知，那么代数式的值是（ ）
A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001
考查题型二 公式法分解因式
7．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
9．当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（ ）
A． B． C． D．
10．能用公式法因式分解，则m的值为（ ）
A．9 B．3 C．3或 D．6或
11．若的三边a，b，c，满足，则的面积为（ ）
A．6 B． C． D．8
12．下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
13．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
考查题型三 因式分解在有理数运算时的应用
14．如果能被n整除，则n的值可能是
A．20 B．30 C．35 D．40
15．已知，，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
16．将变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．能被（ ）整除
A．76 B．78 C．79 D．82
考查题型四 十字相乘法分解因式
18．把多项式分解因式，其结果是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知x2＋x﹣6＝（x＋a）（x＋b），则（ ）
A．ab＝6 B．ab＝﹣6 C．a＋b＝6 D．a＋b＝﹣6
20．若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个
21．下列四个选项中，哪一个为多项式的因式？（ ）
A．2x-2 B．2x+2 C．4x+1 D．4x+2
考查题型五 因式分解的实际应用
22．设，，，则数按从小到大的顺序排列，结果是（ ）
A． B． C． D．
23．若△ABC的三边a、b、c满足，则△ABC形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
24．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、，周长为20，面积为16，请计算的值为（ ）
A．96 B．480 C．320 D．160
25．2161可以被1020之间的两个整数整除，那这两个整数是（ ）
A．13和15 B．12和16 C．14和17 D．15和17
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