人教A版（2019）选择性必修第一册高二上学期 直线方程 学案（含答案）

直线方程
名称 方程 适用范围
点斜式 不含垂直与x轴的直线
斜截式 不含垂直与x轴的直线
两点式 不含直线和直线
截距式 不含垂直坐标轴和过原点的直线
一般式 平面内所有直线都适用
特殊方程 （1）直线过，垂直于X轴的方程为
直线过，垂直于Y轴的方程为
y轴的方程为
x轴的方程为
考点一 点斜式方程
【例1】已知直线l过点（0,3）且与直线垂直，则l的方程是（ ）
D.
【答案】B.因为直线l与直线垂直，所以，所以直线l的方程为
【例2】过点（-1,3）且垂直与直线的直线方程为（ ）
D.
【答案】A.有题意可知的斜率为，则过点（-1,3）且垂直与直线的直线方程为。化为一般式为.
考点二 斜截式方程
【例3】过点P（-2,3）且直线垂直的直线方程为 .
【答案】.由题意直线的斜率为，故所求直线的斜率为，所以所求直线方程为即.
【例4】倾斜角为135°，在y轴上的截距为-1的直线方程是（ ）
D.
【答案】D.因为直线倾斜角为135°，所以直线的斜率等于-1，又因为在y轴上的截距是-1，由直线方程的斜截式得：.即 .
考点三 两点式方程
【例5】已知点A(1,2),B(-1,-2),则直线AB的方程为 .
【答案】.因为直线的两点式方程为，整理的直线方程为.
【例6】若直线过点和点（0,4）则该直线的方程为（ ）
B.
C.
D.
【答案】A.因为直线过点和点（0,4），所以直线的斜率为，所以直线的方程为，整理得.
考点四 截距式方程
【例7】设直线在x轴上截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B.在直线中，令x=0，得y=5,即b=5,令y=0,得x=3，即a=3.
【例8】经过点M（1,1）且在两轴上的截距相等的直线方程为（ ）
D.
【答案】D.若直线过原点，则直线方程为；若直线不过原点，则设直线方程为，代入点（1,1）解得m=2，故直线方程为.故选D.
【注意】在直线的截距式方程中，解题时注意：截距相等或截距的绝对值相等时，要讨论截距为0的情况.
考点五 一般式方程
【例9】已知△ABC中，A(1,-4），B(6,6),C(-2,0).求
过点A且平行于BC边的直线的方程；
求BC边的中线所在直线的方程.
【答案】（1）△ABC中，因为A(1,-4），B(6,6),C(-2,0)，所以BC的斜率为，故过点A且平行于BC边的直线方程为，即.
（2）BC的中点为D（2,3）,由两点式求出BC边的中线所在直线AD的方程为，及.
考点六 直线方程综合运用
【例10】已知直线坐标系平面上的直线经过第一、第二和第四象限，则a,b满足（ ）
D.
【答案】A.令x=0,则y=b；令y=0,则x=a，所以（0，b），（a,0）在直线上，又因为直线经过第一、第二和第四象限，所以.故选A.
【小提示】解决直线过定点的问题，主要有三种方法：
化成点斜式方程，即恒过定点；
代两个不同的值，转化为求两条直线的交点；
化成直线系方程，即过直线和直线的交点的直线 可设为.
【例11】已知直线
若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
若直线l交x轴负半轴与点A，交y轴正半轴与点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
【答案】（1）直线l的方程可化为：，则直线l在y轴上的截距为，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围为：.
（2）依题意，直线l在x轴上的截距为：，在y轴上的截距为,所以，又，所以k>0，故，当且仅当，即时取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为.