2022年“国庆假期7件套”八年级上册：11.2 与三角形有关的角同步练习（2）（含解析）

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11.2与三角形有关的角 同步练习
一、选择题
1．一个三角形，三个内角的度数比是2：3：5这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形
2．如图，∠BAC =90°，AD⊥BC于点D，∠BAD=32°，则∠C 的度数是（ ）
A．30° B．32° C．34° D．36°
3．如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠ADC是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角；
B．∠AEB是△AEB的一个内角，也是△AEF的一个内角；
C．∠ABF是△ABF的一个内角，也是△AEF的一个外角；
D．∠C是△ABC的一个内角，也是△ADC的一个内角；
4．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠2＝80°，那么∠1的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
5．如图，在△ABC中，高BD，CF相交于点E，若∠A＝52°，则∠BEC＝（　　）
A．116° B．128° C．138° D．142°
6．如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是边AB上的高和中线，∠CED=x°，∠A=∠ACE，则∠BCD的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝120°，∠2＝40°，则∠C的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．80°
8．如图，∠O=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠7，∠8=90°则∠O的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．20°
二、填空题
9．在△ABC中，若∠A＝55°，∠B＝100°，则∠C＝________．
10．在△ABC中，∠A+∠B=90°，则△ABC是_______三角形．
11．在中，若一个内角等于另外两个内角的差，则最大一个内角等于______．
12．如图，，则___________．
13．如图，在中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．若，则∠BOC的度数为______．
三、解答题
14．点D为△ABC的边BC的延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A=35°，∠D=40°，求∠ACD的度数．
15．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
(1)求∠BAE的度数；
(2)求∠DAE的度数．
16．如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠AFE＝∠ACB．
(1)求证：∠3＝∠B；
(2)若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠ACB的度数．
17．在中，
(1)如图（1），、的平分线相交于点．
①若，求的度数．
②若，则_________．
(2)如图（2），在中的外角平分线相交于点，，求的度数．
(3)如图（3），的、的平分线相交于点，它们的外角平分线相交于点．请回答：与具有怎样的数量关系？并说明理由．
18．已知：线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD．
(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 　；
(2)如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝44°，则∠P的度数= °；
(3)如图3，∠BAD和∠BCD的三等分线AP和CP相交于点P，，，试探究∠B、∠D、∠P三者之间存在的数量关系，并说明理由．
(4)如图4，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系，直接写出结论，不需要说明理由．
参考答案
1．B
【分析】根据三角形内角和定理求出这个三角形最大的角的度数即可得到答案．
【详解】解：由题意得这个三角形中最大的内角度数为，
所以这个三角形是直角三角形，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，正确求出最大的内角的度数是解题的关键．
2．B
【分析】在中可先算出的度数，在，即可求出．
【详解】解： ，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查直角三角形中两锐角互余，在直角三角形中计算是解题的关键．
3．C
【分析】根据三角形内角、外角的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、∠ADC是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角，正确；
B、∠AEB是△AEB的一个内角，也是△AEF的一个内角，正确；
C、∠ABF是△ABF的一个内角，但不是△AEF的一个外角，原说法错误；
D、∠C是△ABC的一个内角，也是△ADC的一个内角，正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角、外角的识别，熟知三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角叫做三角形的外角是解题的关键．
4．B
【详解】解：如图，
∵ABCD，
∴∠2＝∠3＝80°，
∵∠3＝∠1+30°，
∴∠1＝∠3－30°＝80°－30°＝50°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，关键是根据两直线平行，得出与∠2相等的角．
5．B
【分析】根据高的意义，得出直角，再根据三角形的内角和可求出∠ACF，最后根据外角的性质求出答案．
【详解】解：∵BD，CF是△ABC的两条高，
∴∠AFC＝ADB＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣∠A＝90°﹣52°＝38°，
∴∠BEC＝90°+∠ACF＝90°+38°＝128°．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形高的意义、三角形的内角和定理及三角形外角的性质，掌握三角形的内角和定理是正确解答的关键．
6．C
【分析】根据三角形的外角的性质以及已知条件求得，根据直角三角形的两个锐角互余求得，根据三角形的高线的性质以及直角三角形的两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵∠CED=x°，，∠A=∠ACE，
∠ACB=90°，
，
∵CD是边AB上的高，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角形的高线的性质以及直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．
7．A
【分析】设与AC交于点O，由三角形外角的性质可得，进而得出，最后求得结果．
【详解】解：如图，设与AC交于点O，
∵，
∴，
∵，
∴∠1=∠2 +∠2C，
∴，
∵∠1＝120°，∠2＝40°，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和定理及三角形的外角定理是解题的关键．
8．C
【分析】设∠O=x，进而根据三角形外角的性质表示出∠2，即可表示出∠3，同理表示出∠4，可得∠5，再表示出∠6，即可∠7，最后根据∠8=∠O+∠7得出答案即可．
【详解】设∠O=x，
∵∠2是△ABO的外角，且∠O=∠1，
∴∠2=∠O+∠1=2x，
∴∠3=∠2=2x．
∵∠4是△BCO的外角，
∴∠4=∠O+∠3=3x，
∴∠5=∠4=3x．
∵∠6是△CDO的外角，
∴∠6=∠O+∠5=4x，
∴∠7=∠6=4x．
∵∠8是△DEO的外角，
∴∠8=∠O+∠7=5x，
即5x=90°，
解得x=18°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据三角形外角的性质得出待求角之间的等量关系是解题的关键．
9．25°##25度
【分析】直接利用三角形内角和公式进而得出答案．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝100°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B =180°﹣55°﹣100°=25°．
故答案为：25°
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和公式是解题关键．
10．直角
【分析】根据∠A+∠B=90°，应用三角形的内角和定理，求出∠C的度数，即可判断出△ABC是什么三角形．
【详解】解：∵∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
11．90°##90度
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠B=∠C-∠A代入求出∠C即可．
【详解】解：根据题意得：∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C-∠A，
∴∠A+∠C-∠A +∠C =180°，
∴∠C=90°，
∴最大一个内角为90°，
故答案为90°．
【点睛】此题考查三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键．
12．75°##75度
【分析】直接运用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴,
∵，
∴
故答案为：75°
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键
13．116°##116度
【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB=128°，再根据角平分线的定义求得∠1+∠2=64°，进而可求解∠BOC的度数．
【详解】解：∵∠A=52°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=128°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
∴2∠1+2∠2=128°，即∠1+∠2=64°，
∴∠BOC=180°-64°=116°，
故答案为116°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键．
14．85°
【分析】根据三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；及三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°解答．
【详解】解：∵DF⊥AB于点F，
∴∠DFB=90°
在Rt△DFB中，∠DFB=90°，
∴∠B+∠D=90°
∵∠D=40°，
∴∠B=50°
∵∠ACD是△DFB的外角，∠A=35°，
∴∠ACD=∠B+∠A=50°+35°=85°
【点睛】此题考查三角形外角与内角的关系、三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理．
15．(1)30°
(2)20°
【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠BAD的度数，即可求出∠DAE的度数．
（1）
解：∵∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴；
（2）
解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=50°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=20°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)40°
【分析】（1）先证明，得出∠3＝∠AEF，再根据平行线的判定证明，得出∠AEF＝∠B，即可得证；
（2）根据∠3＝∠B得∠B＝50°，根据三角形内角和定理求出∠ECB＝20°，根据角平分线定义得出∠ACB＝2∠ECB＝40°，即可得出答案．
（1）
证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠FDE＝180°，
∴∠FDE＝∠2，
∴，
∴∠3＝∠AEF，
∵∠AFE＝∠ACB，
∴，
∴∠AEF＝∠B，
∴∠B＝∠3；
（2）
解：∵∠3＝∠B，∠3＝50°，
∴∠B＝50°，
∵∠2+∠B+∠ECB＝180°，∠2＝110°，
∴∠ECB＝20°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ECB＝40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理的应用，能运用定理进行推理是解此题的关键．
17．(1)①；②；
(2)；
(3)
【分析】（1）①运用三角形的内角和定理及角平分线的意义，首先求出，进而求出，即可解决问题；②方法同①；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出和，再根据角平分线的性质求出，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）由（1）得，由（2）可得，两式相加即可得到结论．
（1）
解：①∵∠A=64°，
∴∠ABC+∠ACB=116°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，
∴，
∴，
∴，
②∵∠A=n°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-n° ，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）
解：∵外角和的平分线相交于点Q，
∴
∴，
∵ ，
∴，
（3）
解：由（1）得，
由（2）可得，
∴
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识，灵活运用三角形内角和定理、外角的性质是解答本题的关键．
18．(1)∠A+∠B=∠D+∠C
(2)
(3)∠B+2∠D=3∠P，理由见解析
(4)2∠P=∠B+∠D
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠DOC=180°，根据对顶角相等得∠AOB=∠DOC，所以∠A+∠B=∠D+∠C；
（2）根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）中的结论得到∠1+∠B=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠D，两等式相减得到∠B-∠P=∠P-∠D，即∠P=（∠D+∠B）．进而代入数值可得结论；
（3）利用“8字形”的数量关系结合，即可得出结论．
（4）根据角平分线的定义可得∠ECP=∠PCB，∠FAG=∠GAD，结合三角形的内角和定理可得∠P+∠GAD=∠B+∠PCB，∠P+（180°-∠GAD）=∠D+（180°-∠ECP），进而可求解．
（1）
∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠DOC=180°，
而∠AOB=∠DOC，
∴∠A+∠B=∠D+∠C；
故答案为：∠A+∠B=∠D+∠C
（2）
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠B=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠D，
∴∠B-∠P=∠P-∠D，
即∠P=（∠D+∠B）．
∵∠B=36°，∠D=44°，
∴∠P=40°；
故答案为：40°
（3）
2∠B+∠D=3∠P，理由如下：
∵，
∴∠BAD=3∠2，∠BCD=3∠4
∴∠1=2∠2，∠3=2∠4
由（1）中结论得：∠1+∠B=∠3+∠P①，∠4+∠D=∠2+∠P②，
①+②×2，得：∠B+2∠D=3∠P．
（4）
2∠P=∠B+∠D．
理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，
∴∠ECP=∠PCB，∠FAG=∠GAD，
∵∠PAB=∠FAG，
∴∠GAD=∠PAB，
∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，
∴∠P+∠GAD=∠B+∠PCB，
∵∠P+∠PAD=∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°-∠GAD）=∠D+（180°-∠ECP），
∴2∠P=∠B+∠D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义，解题的关键是理解“8字形”中角的关系．