2022年“国庆假期7件套”八年级上册：11.1 与三角形有关的线段 同步练习（1）（含解析）

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11.1 与三角形有关的线段 同步练习
一、选择题
1．观察下列图形，其中是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短．
C．两定确定一条直线 D．三角形具有稳定性
3．在如图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．下图中有（　　）个三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．线段首尾顺次相接组成三角形，若，则的长度可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知有两条长度分别是3和7的木棍，需要再找一条木棍组成三角形，现有3、4、5、6、7、8、9、10可供选择，能组成三角形的木棍有（　　）条．
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（ ）
A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
8．如图，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，连接BE、CE，若图中阴影部分的面积为10，则△ABC的面积为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
二、填空题
9．如图所示的是自行车的三角形支架，这是利用三角形具有 ________________．
10．三角形的三边长分别是2，5，m，则|m﹣3|＋|m﹣7|等于___．
11．如图，以点A为顶点的三角形有_____个，它们分别是_____．
12．已知的两条边、的长分别为4和7，则第三边的正整数值是___________
13．如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，AD是△ABC的中线，则△ABD的周长比△ACD的周长大 __cm．
14．如图，是的中线，是上的一点，，连接，若，则为______．
三、解答题
15．对于下面每个三角形，过顶点A画出中线和高．
16．已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简
17．已知三角形的两边长分别为5cm和2cm．
(1)如果这个三角形的第三边是偶数，求它的第三边的长以及它的周长；
(2)如果这个三角形的周长为偶数，求它的第三边的长以及它的周长；
(3)如果这个三角形的周长为奇数，求它的第三边的长以及它的周长．
18．如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．
(1)作出△ABD的边BD上的高．
(2)若△ABC的面积为10，求△ADC的面积．
(3)若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．
19．（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个；
（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．
20．已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：
(1)BD＋CD＜AB＋AC；
(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．
参考答案
1．B
【分析】根据三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，得出正确选项．
【详解】解：因为由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，
所以A，C，D错误，只有B符合，
故选B．
【点睛】本题考查的知识点是三角形的定义，解题关键是准确理解掌握三角形定义．
2．D
【分析】三角形具有稳定性的实际应用．
【详解】根据题意窗钩AB可固定，用的是三角形（图中的）的稳定性，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性性质的实际应用，理解性质是解题关键．
3．C
【分析】根据三角形的高的概念判断．从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
【详解】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，连接BD，因此只有选项C符合条件，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的高，利用基本作图作三角形高的方法解答是解题的关键．
4．C
【分析】根据三角形的定义，即可求解．
【详解】解：图中三角形有：，
答：图中有3个三角形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形，熟练掌握三角形是由三条线段首尾相接围成的图形是解题的关键．
5．A
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边，即可得出c的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
即：，
∴c的长度可能为3．
故选：A
【点睛】本题考查三角形的三边和关系，属于基础题，熟练掌握三角形三边关系，得出第三边的取值范围是解题的关键．
6．A
【分析】根据三角形三边关系求得第三边的取值范围，结合题意即可求解．
【详解】解：∵有两条长度分别是3和7的木棍，需要再找一条木棍组成三角形，设第三条木棍长度为，
∴第三条木棍的长度范围为，
即，
∴第三条木棍的长度可以是5、6、7、8、9，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键．
7．C
【分析】根据三角形的中线的概念解答即可．
【详解】解：∵CM是△ABC的中线，AB＝10cm，
∴BM＝AB＝5cm，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
8．D
【分析】根据三角形面积公式，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则，，，进而推出即可解答．
【详解】解：∵E为AD的中点，
∴，，
∵AD为BC边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的面积以及三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
9．稳定性
【分析】根据三角形的特性即可解答．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，
∴自行车三角形支架是利用了三角形稳定性的特性．
故答案为：稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的特性，解决本题的关键是掌握三角形的特性．
10．4
【分析】根据构成三角形的条件可得出m的取值范围，再根据m的取值范围化简绝对值即可求解．
【详解】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，
∴5﹣2＜m＜5+2，
故3＜m＜7，
∴|m﹣3|+|m﹣7|
＝m﹣3+7﹣m
＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件及化简绝对值，熟练掌握构成三角形的条件是解题的关键．
11． 4 △ABC，△ADC，△ABE，△ADE
【分析】根据三角形的定义得出答案即可．
【详解】解：以点为顶点的三角形有4个，它们分别是，，，．
故答案为：4，，，，．
【点睛】此题主要考查了三角形的定义，解题的关键是理解三角形的定义：由三条都不共线的线段首尾相连围成的图形得出三角形个数．
12．4，5，6，7，8，9，10
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边．即可求解．
【详解】解：∵三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．
∴7 4＜c＜7＋4，
即3＜c＜11．
∴正整数值为：4，5，6，7，8，9，10，
故答案为：4，5，6，7，8，9，10．
【点睛】此题考查三角形三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
13．2
【分析】根据中线的定义可得BD＝CD，然后求出△ABD的周长与△ACD的周长的差为（AB﹣AC），从而得解．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC，
∵AB＝8cm，AC＝6cm，
∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝8﹣6＝2cm，
即△ABD的周长比△ACD的周长大2cm．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线，求出两个三角形的周长的差等于（AB﹣AC）是解题的关键．
14．12
【分析】过作，交的延长线于，过作于，根据和的面积求出的面积，求出的面积，再根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积的面积，再求出答案即可．
【详解】解：过作，交的延长线于，过作于，
，，
的面积，
的面积，
是的中线，
，
，，
，
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形的面积等知识点，解题的关键是能熟记等底等高的三角形的面积相等．
15．见解析
【分析】根据尺规作图即可过每个三角形的顶点A画出中线和高．
【详解】解：如图，
线段AD、线段AE是每个三角形的高和中线．
AD、AE即为所求．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
16．
【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：∵△ABC的三边长分别为3、5、a，
∴5﹣3＜a＜3+5，
解得：2＜a＜8，
故|a﹣2|﹣|a﹣1|+|a﹣8|．
＝a﹣2﹣（a﹣1）+8﹣a
＝7﹣a．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系、绝对值的性质、整式的加减，正确得出a的取值范围是解题关键．
17．(1)它的第三边的长以及它的周长分别为4cm和11cm，或6cm和13cm；
(2)第三边的长为5cm，它的周长为12cm；
(3)它的第三边的长以及它的周长分别为4cm和11cm，或6cm和13cm．
【分析】（1）根据已知两条边的长度，知道第三边的取值范围，再根据第三边是偶数确定第三边的长和三角形的周长；
（2）由这个三角形的周长为偶数推出第三边为奇数，再根据第三边的取值范围确定第三边的长和三角形的周长；
（3）由这个三角形的周长为奇数推出第三边为偶数，于是与（1）答案相同．
（1）
解：∵三角形的两边长分别为5cm和2cm，
∴根据三角形三边关系知道第三边的取值范围是：3cm<第三边的长<7cm，
又∵这个三角形的第三边是偶数，
∴第三边的长为4cm或6cm．
当第三边的长为4cm时，三角形的周长为：2+5+4=11（cm）；
当第三边的长为5cm时，三角形的周长为：2+5+6=13（cm）．
故它的第三边的长以及它的周长分别为4cm和11cm，或6cm和13cm．
（2）
∵这个三角形的周长是偶数，已知两边之和为7cm，是奇数，
∴第三边为奇数．
又∵第三边的取值范围是：3cm<第三边的长<7cm，
∴第三边的长为5cm，它的周长为：2+5+5=12（cm）．
（3）
∵这个三角形的周长是奇数，已知两边之和为7cm，是奇数，
∴这个三角形的第三边是偶数，
由（1）可知：它的第三边的长以及它的周长分别为4cm和11cm，或6cm和13cm．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，能通过已知两边确定第三边的取值范围，由周长的奇偶确定第三边的奇偶是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)5
(3)8
【分析】（1）过点A作△ABD的边BD上的高；
（2）根据三角形面积公式底乘高即可解得；
（3）中线所分的两个三角形面积相等，求出△ABC的面积为12，即可求得BC．
（1）
如图所示，虚线即为所求．
（2）
∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为10，
∴△ADC的面积．
（3）
∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD＝CD，
∵△ABD的面积为6，∴△ABC的面积为12，
∵BD边上的高为3，∴．
【点睛】此题考察了三角形的高、面积、边长，解题的关键是熟悉三角形面积公式以及三角形中线平分两个三角形的面积．
19．（1）10；24；（2）个
【分析】（1）根据三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形来判断图1和图2中三角形的个数即可；
（2）通过数三角形的个数可知，图1中有10个三角形，图2中，增加一条线后三角形的个数为，增加2条线后，三角形的个数为，增加3条线后，三角形的个数为，依次类推即可推出增加条线后，三角形的个数，据此即可得到增加10条线后三角形的个数．
【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1中三角形个数为10；
根据三角形的定义可得图2中三角形个数为24；
（2）增加1条线，三角形个数为：；
增加2条线，三角形个数为：；
增加3条线，三角形个数为：；
则增加条线，三角形个数为：，
所以增加10条线，三角形个数为个；
【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式，列整式，找规律等知识点，解答本题的关键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长BD交AC于E，从而找到BD＋CD与AB＋AC的中间量BE+CE，再利用不等式的传递性(若a（2）同理可得AD+CD（1）
证明：延长BD交AC于E，
在△ABE中，有AB+AE＞BE，
∴AB＋AC=AB+AE+CE＞BE+CE，
在△EDC中，有DE+CE＞CD，
∴BE+CE= BD+DE+CE＞BD+CD，
∴AB＋AC＞BE+CE＞BD+CD，
∴BD＋CD＜AB＋AC；
（2）
解：由（1）同理可得：
BD＋CD＜AB＋AC①，
AD＋CD＜AB＋BC②，
BD＋AD＜BC＋AC③，
①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC），
∴AD+BD+CD【点睛】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，能否根据题意添加辅助线和利用不等式的性质是解题的关键．