初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.3 确定二次函数的表达式
一、单选题
1．（2020九上·苏州期末）抛物线 的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 的顶点坐标为(0，1)，
∴抛物线的解析式为：y=2（x-0）2+1，即y=2x2+1.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），代入可得到此函数解析式。
2．（2019九上·港口期中）已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】根据题意，图象与y轴交于负半轴，故c为负数，又四个选项中，B、C的c为-3，符合题意，故设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
抛物线过（-1，0），（0，-3），（3，0），
所以
解得a=1，b=-2，c=-3，
这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3.
故答案为：B.
【分析】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可
3．（2019九上·杭州月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3
C．y=﹣x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝ 1，过点（ 3，0）、（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x＋1）2＋k，
将（ 3，0）、（0，3）代入，得：
，
解得：
，
则抛物线解析式为y＝ （x＋1）2＋4＝ x2 2x＋3，
故答案为：C.
【分析】由图象知抛物线的对称轴为直线x＝ 1，过点（ 3，0）、（0，3），从而设出抛物线的顶点式，再将（-3,0）与（0,3）分别代入得出关于a,k的二元一次方程组，求解得出a,k的值从而得出抛物线的解析式.
4．（2019九上·官渡月考）与抛物线y＝－ x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是（ ）
A．y＝－ x2－1 B．y＝ x2－1
C．y＝－ x2＋1 D．y＝ x2＋1
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵与抛物线y＝－ x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，则与抛物线y＝－ x2－1只有二次项系数互为相反数，
∴y＝ x2－1；
故答案为：B.
【分析】与抛物线y＝－ x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，可得新抛物与抛物线y＝－ x2－1只有二次项系数互为相反数，据此判断即可.
二、填空题
5．（2019九上·邗江月考）已知抛物线 图象的顶点为 ，且过 ，则抛物线的关系式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：图象的顶点为 ，设抛物线
又过 代入抛物线解析式得，
由①②③解得， ，
∴抛物线的关系式为： ．
故答案为
【分析】由题知图象的顶点为 ，设抛物线 ，且过 ，将点代入抛物线解析式，再根据待定系数法求出抛物线的解析式．
6．（2019九上·西城期中）运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．
t（s） 0 0.5 1 1.5 2 …
h（m） 0 8.75 15 18.75 20 …
则h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）为
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】设二次函数的解析式为 ，将（0,0）（2,20）（1,15）代入式中有
解得
所以该二次函数的解析式为
【分析】设二次函数的解析式为 ，将（0,0）（2,20）（1,15）（代入的数值可是表格中的随意三组数据，尽量选整数方便计算）代入联立求解即可.
三、解答题
7．（2019九上·东莞期中）已知抛物线y=-x2+bx+c过点(4，0)，点(1，3)，求此抛物线的解析式。
【答案】解：由题意得：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用待定系数法求解即可。
8．（2019九上·余杭期中）已知二次函数的图象与x轴交于点(－1，0)和 (3，0)，并且与y轴交于点(0，3)．求这个二次函数表达式．
【答案】解：设二次函数的表达式为 ，
把点(－1，0)， (3，0)和(0，3)代入，则
，
解得： ，
∴二次函数的表达式为： .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设二次函数的表达式为 ，把点(－1，0)， (3，0)和(0，3)代入，即可求出表达式.
9．（2019九上·长兴月考）设二次函数y=x2+bx+c(b，c是实数)，甲求得当x=0时，y=-2；当x=1时，y=0；乙求得当x=-2时，y=0．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由。
【答案】解：把x=0，y=-2和x=1，y=0分别代入y=x2+bx+c，得
解得 ，∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
当x=-2时，y=4-2-2=0，所以乙求得的结果正确
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】先将当x=0时，y=-2；当x=1时，y=0代入函数解析式，建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，得到函数解析式，再将x=-2代入函数解析式求出对应的函数值，即可作出判断。
四、综合题
10．（2019九上·兴化月考）分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），对称轴是直线x＝2；
（2）图象顶点坐标是（﹣2，3），且过点（1，﹣3）；
【答案】（1）解：∵函数图象的对称轴为x＝2，
∴设函数的解析式 （a≠0）
代入A（1，0），B（0，﹣3）得，
，解得
∴函数解析式为 （或 ）.
（2）解：∵图象的顶点为（﹣2，3），且经过点（1，﹣3），
设抛物线的解析式为： ，
代入（1，﹣3）得 .
解得a＝ ，
∴抛物线的解析式为： （或 ）；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设顶点式 ，然后代入A、B坐标，求出a、k的值，即可得到解析式；（2）设顶点式 ，代入（1，-3）求出a的值，即可得到解析式.
11．（2019九上·下陆月考）
（1）已知某抛物线与抛物线y＝﹣2x2+3x﹣1的形状和开口方向都相同，并且其对称轴为x＝1，函数的最大值为4，求此抛物线的解析式；
（2）已知一个二次函数图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点，求它的解析式；
（3）某抛物线过点（1，0），（﹣2，0）并且与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣2x2+3x﹣1的形状和开口方向都相同，
∴所求抛物线解析式y＝﹣2（x﹣h）2+k，
又∵对称轴为x＝1，函数的最大值为4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+4，即y＝﹣2x2+4x+2
（2）解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得：
，
解得： .
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+5
（3）解：∵抛物线过点（1，0），（﹣2，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），
抛物线与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，
∴5＝2x﹣1，
解得：x＝3，
∴抛物线与直线y＝2x﹣1的交点坐标为（3，5），
将（3，5）代入抛物线解析式可得a（3﹣1）（3+2）＝5，
∴a＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝ （x﹣1）（x+2），即
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式
【解析】【分析】（1）根据抛物线的图象与系数的关系，由 某抛物线与抛物线y＝﹣2x2+3x﹣1的形状和开口方向都相同可知，该抛物线的二次项系数应该为-2，又此题告诉了某抛物线的顶点坐标为（1,4），故可利用顶点式求出此抛物线的解析式；
（2）设出抛物线的一般形式，将三点的坐标分别代入，得出关于a,b,c的三元一次方程组，求解得出a,b,c的值，从而求出抛物线的解析式；
（3）将y=5代入直线y＝2x﹣1，求出对应的自变量的值， 从而求出抛物线与直线y＝2x﹣1的交点坐标为（3，5），由于此题给出了抛物线与x轴的两个交点的坐标，故设出抛物线的交点式，再将（3,5）代入即可算出二次项的系数，从而求出抛物线的解析式.
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.3 确定二次函数的表达式
一、单选题
1．（2020九上·苏州期末）抛物线 的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019九上·港口期中）已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019九上·杭州月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3
C．y=﹣x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
4．（2019九上·官渡月考）与抛物线y＝－ x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是（ ）
A．y＝－ x2－1 B．y＝ x2－1
C．y＝－ x2＋1 D．y＝ x2＋1
二、填空题
5．（2019九上·邗江月考）已知抛物线 图象的顶点为 ，且过 ，则抛物线的关系式为 ．
6．（2019九上·西城期中）运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．
t（s） 0 0.5 1 1.5 2 …
h（m） 0 8.75 15 18.75 20 …
则h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）为
三、解答题
7．（2019九上·东莞期中）已知抛物线y=-x2+bx+c过点(4，0)，点(1，3)，求此抛物线的解析式。
8．（2019九上·余杭期中）已知二次函数的图象与x轴交于点(－1，0)和 (3，0)，并且与y轴交于点(0，3)．求这个二次函数表达式．
9．（2019九上·长兴月考）设二次函数y=x2+bx+c(b，c是实数)，甲求得当x=0时，y=-2；当x=1时，y=0；乙求得当x=-2时，y=0．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由。
四、综合题
10．（2019九上·兴化月考）分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），对称轴是直线x＝2；
（2）图象顶点坐标是（﹣2，3），且过点（1，﹣3）；
11．（2019九上·下陆月考）
（1）已知某抛物线与抛物线y＝﹣2x2+3x﹣1的形状和开口方向都相同，并且其对称轴为x＝1，函数的最大值为4，求此抛物线的解析式；
（2）已知一个二次函数图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点，求它的解析式；
（3）某抛物线过点（1，0），（﹣2，0）并且与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 的顶点坐标为(0，1)，
∴抛物线的解析式为：y=2（x-0）2+1，即y=2x2+1.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），代入可得到此函数解析式。
2．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】根据题意，图象与y轴交于负半轴，故c为负数，又四个选项中，B、C的c为-3，符合题意，故设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
抛物线过（-1，0），（0，-3），（3，0），
所以
解得a=1，b=-2，c=-3，
这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3.
故答案为：B.
【分析】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可
3．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝ 1，过点（ 3，0）、（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x＋1）2＋k，
将（ 3，0）、（0，3）代入，得：
，
解得：
，
则抛物线解析式为y＝ （x＋1）2＋4＝ x2 2x＋3，
故答案为：C.
【分析】由图象知抛物线的对称轴为直线x＝ 1，过点（ 3，0）、（0，3），从而设出抛物线的顶点式，再将（-3,0）与（0,3）分别代入得出关于a,k的二元一次方程组，求解得出a,k的值从而得出抛物线的解析式.
4．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵与抛物线y＝－ x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，则与抛物线y＝－ x2－1只有二次项系数互为相反数，
∴y＝ x2－1；
故答案为：B.
【分析】与抛物线y＝－ x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，可得新抛物与抛物线y＝－ x2－1只有二次项系数互为相反数，据此判断即可.
5．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：图象的顶点为 ，设抛物线
又过 代入抛物线解析式得，
由①②③解得， ，
∴抛物线的关系式为： ．
故答案为
【分析】由题知图象的顶点为 ，设抛物线 ，且过 ，将点代入抛物线解析式，再根据待定系数法求出抛物线的解析式．
6．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】设二次函数的解析式为 ，将（0,0）（2,20）（1,15）代入式中有
解得
所以该二次函数的解析式为
【分析】设二次函数的解析式为 ，将（0,0）（2,20）（1,15）（代入的数值可是表格中的随意三组数据，尽量选整数方便计算）代入联立求解即可.
7．【答案】解：由题意得：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用待定系数法求解即可。
8．【答案】解：设二次函数的表达式为 ，
把点(－1，0)， (3，0)和(0，3)代入，则
，
解得： ，
∴二次函数的表达式为： .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设二次函数的表达式为 ，把点(－1，0)， (3，0)和(0，3)代入，即可求出表达式.
9．【答案】解：把x=0，y=-2和x=1，y=0分别代入y=x2+bx+c，得
解得 ，∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
当x=-2时，y=4-2-2=0，所以乙求得的结果正确
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】先将当x=0时，y=-2；当x=1时，y=0代入函数解析式，建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，得到函数解析式，再将x=-2代入函数解析式求出对应的函数值，即可作出判断。
10．【答案】（1）解：∵函数图象的对称轴为x＝2，
∴设函数的解析式 （a≠0）
代入A（1，0），B（0，﹣3）得，
，解得
∴函数解析式为 （或 ）.
（2）解：∵图象的顶点为（﹣2，3），且经过点（1，﹣3），
设抛物线的解析式为： ，
代入（1，﹣3）得 .
解得a＝ ，
∴抛物线的解析式为： （或 ）；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设顶点式 ，然后代入A、B坐标，求出a、k的值，即可得到解析式；（2）设顶点式 ，代入（1，-3）求出a的值，即可得到解析式.
11．【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣2x2+3x﹣1的形状和开口方向都相同，
∴所求抛物线解析式y＝﹣2（x﹣h）2+k，
又∵对称轴为x＝1，函数的最大值为4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+4，即y＝﹣2x2+4x+2
（2）解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得：
，
解得： .
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+5
（3）解：∵抛物线过点（1，0），（﹣2，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），
抛物线与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，
∴5＝2x﹣1，
解得：x＝3，
∴抛物线与直线y＝2x﹣1的交点坐标为（3，5），
将（3，5）代入抛物线解析式可得a（3﹣1）（3+2）＝5，
∴a＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝ （x﹣1）（x+2），即
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式
【解析】【分析】（1）根据抛物线的图象与系数的关系，由 某抛物线与抛物线y＝﹣2x2+3x﹣1的形状和开口方向都相同可知，该抛物线的二次项系数应该为-2，又此题告诉了某抛物线的顶点坐标为（1,4），故可利用顶点式求出此抛物线的解析式；
（2）设出抛物线的一般形式，将三点的坐标分别代入，得出关于a,b,c的三元一次方程组，求解得出a,b,c的值，从而求出抛物线的解析式；
（3）将y=5代入直线y＝2x﹣1，求出对应的自变量的值， 从而求出抛物线与直线y＝2x﹣1的交点坐标为（3，5），由于此题给出了抛物线与x轴的两个交点的坐标，故设出抛物线的交点式，再将（3,5）代入即可算出二次项的系数，从而求出抛物线的解析式.
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