(共14张PPT)
专项培优 2 章末复习课
考点一 不等式性质的应用
1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．
2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．
例1 (1)下列结论正确的是( )
A．若＜，则a＜b B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac＞bc，则a＞b
答案：A
解析：＜，显然a，b均大于等于0，两边平方得：a＜b，A正确；
当a＝－1，b＝0时，满足a2＞b2，但a＜b，B错误；
若a＞b，当c＝0时，则ac2＝bc2＝0，C错误；
若ac＞bc，当c＜0，则a＜b，D错误．
(2)(多选)下列命题为真命题的有( )
A．若a＜b＜0, 则a2＜ab＜b2
B．若a＜b＜0，则＞
C．若a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0，则＞
D．若a，b，m均为正数，则＞
答案：BC
解析：对A，取a＝－2，b＝－1，则a2＞b2.A错误；
对B，由a＜b＜0 ＞0，所以a·＜b· ＜.B正确；
对C，由c＜d＜0 －c>－d>0，则a－c＞b－d＞0 ＞＞0，又m＜0，所以＜.C正确；
对D，＝，而a，b，m均为正数，但若a＜b a－b＜0，则＜0 ＜，D错误．
考点二 一元二次不等式的解法
1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽．
(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．
(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．
(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．
2．通过对一元二次不等式解法的考查，提升学生逻辑推理、数学运算素养．
例2 已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式cx2－(ac＋b)x＋ab＞0(其中c为实数).
解析：(1)不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2－3x＋2＝0的解，
所以a－3＋2＝0，解得a＝1；
由根与系数的关系知1×b＝，解得b＝2；
所以a＝1，b＝2；
(2)由(1)知，不等式cx2－(ac＋b)x＋ab＞0为cx2－(c＋2)x＋2＞0，
即(x－1)(cx－2)＞0，
当c＝0时，不等式化为－2(x－1)＞0，解得x＜1；
当c＜0时，解不等式得＜x＜1；当c＞0时，若＞1，即0＜c＜2时，解不等式得x＜1或x＞，若＝1，即c＝2时，解不等式得x≠1，若＜1，即c＞2，解不等式得x＜或x＞1，
综上知，c＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；
c＜0时，不等式的解集为
0＜c＜2时，不等式的解集为；
c＝2时，不等式的解集为{x|x≠1}；
c＞2时，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}．
考点三 基本不等式
1．基本不等式为，其变式为ab≤()2，()2≤等．基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等．
2．通过对基本不等式考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3 (1)若x＞2，则x＋的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：C
解析：因为x＞2，则x－2＞0，则x＋＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x＝3时，等号成立，故当x＞2时，x＋的最小值为4.
(2)(多选)设正实数m，n满足m＋n＝2，则( )
A. 的最小值为2
B．的最小值为2
C．的最大值为1
D．m2＋n2的最小值为2
答案：CD
解析：对于选项A，＝()()＝≥2 ＝，
当且仅当＝且m＋n＝2时，即m＝2－2，n＝4－2 时取等号，则A错误；
对于选项B，() 2＝m＋n＋2＝2＋2≤2＋m＋n＝4，当且仅当m＝n＝1时等号成立，则≤2，即的最大值为2，则B错误；
对于选项C，m＋n≥2，即mn≤()2＝1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，则C正确；
对于选项D，m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4－2mn≥4－2()2＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，则D正确．专项培优②章末复习课
考点一 不等式性质的应用
1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．
2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．
例1 (1)(多选)下列说法错误的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1
C．若a＞b＞0，m＞0，则＜
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
(2)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求ab，的取值范围．
跟踪训练1 (1)设a，b，c，d，x均为实数，且b＞a＞0，c＞d，则下列不等式正确的是( )
A．d－a＜c－bB．
C．bc＜adD．
(2)已知a＜b＜c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小．
考点二 一元二次不等式的解法
1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽．
(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．
(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．
(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．
2．通过对一元二次不等式解法的考查，提升学生逻辑推理、数学运算素养．
例2 (1)若关于x的不等式ax2－3x＋2＞0(a∈R)的解集为{x|x＜1或x＞b}(b∈R)，求a，b的值；
(2)解关于x的不等式ax2－3x＋2＞5－ax(a∈R)．
跟踪训练2 某同学解关于x的不等式x2－7ax＋3a＜0(a＞0)时，得到x的取值为{x|－2＜x＜3}，若x的取值的端点有一个是错误的，那么正确的x的取值范围应是( )
A．{x|－2＜x＜－1}B．
C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}
考点三 基本不等式
1．基本不等式为，其变式为ab≤等．基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等．
2．通过对基本不等式考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3 (1)设x＞0，则函数y＝x＋的最小值为( )
A．0B．
C．1D．
(2)设a＞0，b＞0，2a＋b＝1，则的最小值为________．
跟踪训练3 已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝1，则的最小值是________.
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考点聚集·分类突破
例1 解析：(1)对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A中说法错误；对于B，因为1
b>0，所以<，又因为m>0，所以<，故C中说法正确；对于D，只有当a>b>0，c>d>0时，才有ac>bd，故D中说法错误．故选ABD.
(2)因为－2所以－6因为－2因为2答案：(1)ABD (2)见解析
跟踪训练1 解析：(1)取a＝2，b＝4，c＝3，d＝2，d－a＝0，c－b＝－1，此时d－a>c－b，A错误；取a＝2，b＝3，x＝－1，则＝＝2，此时<，B错误；取b＝3，a＝，c＝1，d＝－3，则ad＝－，bc＝3，此时ad0，∴＝≤0，D正确．故选D.
(2)a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)
＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)
＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)
＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)
＝(a－b)(a－c)(b－c)．
∵a∴a－b<0，a－c<0，b－c<0，
∴(a－b)(a－c)(b－c)<0.
∴a2b＋b2c＋c2a答案：(1)D (2)见解析
例2 解析：(1)由题意可知方程ax2－3x＋2＝0的两个不相等的实根分别为x1＝1，x2＝b，于是有解得
(2)原不等式等价于ax2＋(a－3)x－3>0，即(x＋1)(ax－3)>0，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当a≠0时，方程(x＋1)(ax－3)＝0的两根为x1＝－1，x2＝，当a>0时，原不等式的解集为，
当a<0时，①若>－1，即a<－3，则原不等式的解集为；
②若<－1，即－3③若＝－1，即a＝－3，则原不等式的解集为 .
综上所述，当a>0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当－3当a＝－3时，原不等式的解集为 ；
当a<－3时，原不等式的解集为.
跟踪训练2 解析：由题意，实数x的取值为{x|－2所以－2和3只有一个可以满足方程x2－7ax＋3a＝0，另一个不满足，
将x＝－2代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝－，与条件a>0矛盾，所以x≠－2；
将x＝3代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝，满足条件a>0；
所以将a＝代入不等式x2－7ax＋3a<0中，得到不等式为2x2－7x＋3<0，
解得故选B.
答案：B
例3 解析：(1)y＝x＋＝x＋＝－2.
又由x>0，则有y＝(x＋)＋－2≥2－2＝0，
当且仅当x＝时，等号成立，
即函数y＝x＋的最小值为0.故选A.
(2)∵a>0，b>0，且2a＋b＝1，
∴＝(2a＋b)＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当即时等号成立．∴的最小值为8.
答案：(1)A (2)8
跟踪训练3 解析：＝＝(x＋3y)＝4＋≥4＋2，
当且仅当即时取“＝”号．
答案：4＋2
1专项培优2章末复习课
考点一 不等式性质的应用
1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．
2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．
例1 (1)下列结论正确的是( )
A．若＜，则a＜bB．若a2＞b2，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac＞bc，则a＞b
(2)(多选)下列命题为真命题的有( )
A．若a＜b＜0, 则a2＜ab＜b2
B．若a＜b＜0，则＞
C．若a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0，则＞
D．若a，b，m均为正数，则＞
考点二 一元二次不等式的解法
1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽．
(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．
(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．
(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．
2．通过对一元二次不等式解法的考查，提升学生逻辑推理、数学运算素养．
例2 已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式cx2－(ac＋b)x＋ab＞0(其中c为实数).
考点三 基本不等式
1．基本不等式为，其变式为ab≤()2，()2≤等．基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等．
2．通过对基本不等式考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3 (1)若x＞2，则x＋的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(多选)设正实数m，n满足m＋n＝2，则( )
A.的最小值为2
B．的最小值为2
C．的最大值为1
D．m2＋n2的最小值为2
专项培优2 章末复习课
考点聚集·分类突破
例1 解析：(1)＜，显然a，b均大于等于0，两边平方得：a＜b，A正确；
当a＝－1，b＝0时，满足a2＞b2，但a＜b，B错误；
若a＞b，当c＝0时，则ac2＝bc2＝0，C错误；
若ac＞bc，当c＜0，则a＜b，D错误．
(2)对A，取a＝－2，b＝－1，则a2＞b2.A错误；
对B，由a＜b＜0 ＞0，所以a·＜b· ＜.B正确；
对C，由c＜d＜0 －c>－d>0，则a－c＞b－d＞0 ＞＞0，又m＜0，所以＜.C正确；
对D，＝，而a，b，m均为正数，但若a＜b a－b＜0，则＜0 ＜，D错误．
答案：(1)A (2)BC
例2 解析：(1)不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2－3x＋2＝0的解，
所以a－3＋2＝0，解得a＝1；
由根与系数的关系知1×b＝，解得b＝2；
所以a＝1，b＝2；
(2)由(1)知，不等式cx2－(ac＋b)x＋ab＞0为cx2－(c＋2)x＋2＞0，
即(x－1)(cx－2)＞0，
当c＝0时，不等式化为－2(x－1)＞0，解得x＜1；
当c＜0时，解不等式得＜x＜1；
当c＞0时，若＞1，即0＜c＜2时，解不等式得x＜1或x＞，若＝1，即c＝2时，解不等式得x≠1，若＜1，即c＞2，解不等式得x＜或x＞1，
综上知，c＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；
c＜0时，不等式的解集为
0＜c＜2时，不等式的解集为；
c＝2时，不等式的解集为{x|x≠1}；
c＞2时，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}．
例3 解析：(1)因为x＞2，则x－2＞0，则x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝3时，等号成立，故当x＞2时，x＋的最小值为4.
(2)对于选项A，＝()()＝≥2＝，
当且仅当＝且m＋n＝2时，即m＝2－2，n＝4－2时取等号，则A错误；
对于选项B，() 2＝m＋n＋2＝2＋2≤2＋m＋n＝4，当且仅当m＝n＝1时等号成立，则≤2，即的最大值为2，则B错误；
对于选项C，m＋n≥2，即mn≤()2＝1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，则C正确；
对于选项D，m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4－2mn≥4－2()2＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，则D正确．
答案：(1)C (2)CD
1(共14张PPT)
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考点一 不等式性质的应用
1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．
2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．
例1 (1)下列结论正确的是( )
A．若＜，则a＜b B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac＞bc，则a＞b
答案：A
解析：＜，显然a，b均大于等于0，两边平方得：a＜b，A正确；
当a＝－1，b＝0时，满足a2＞b2，但a＜b，B错误；
若a＞b，当c＝0时，则ac2＝bc2＝0，C错误；
若ac＞bc，当c＜0，则a＜b，D错误．
(2)(多选)下列命题为真命题的有( )
A．若a＜b＜0, 则a2＜ab＜b2
B．若a＜b＜0，则＞
C．若a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0，则＞
D．若a，b，m均为正数，则＞
答案：BC
解析：对A，取a＝－2，b＝－1，则a2＞b2.A错误；
对B，由a＜b＜0 ＞0，所以a·＜b· ＜.B正确；
对C，由c＜d＜0 －c>－d>0，则a－c＞b－d＞0 ＞＞0，又m＜0，所以＜.C正确；
对D，＝，而a，b，m均为正数，但若a＜b a－b＜0，则＜0 ＜，D错误．
考点二 一元二次不等式的解法
1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽．
(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．
(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．
(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．
2．通过对一元二次不等式解法的考查，提升学生逻辑推理、数学运算素养．
例2 已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式cx2－(ac＋b)x＋ab＞0(其中c为实数).
解析：(1)不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2－3x＋2＝0的解，
所以a－3＋2＝0，解得a＝1；
由根与系数的关系知1×b＝，解得b＝2；
所以a＝1，b＝2；
(2)由(1)知，不等式cx2－(ac＋b)x＋ab＞0为cx2－(c＋2)x＋2＞0，
即(x－1)(cx－2)＞0，
当c＝0时，不等式化为－2(x－1)＞0，解得x＜1；
当c＜0时，解不等式得＜x＜1；当c＞0时，若＞1，即0＜c＜2时，解不等式得x＜1或x＞，若＝1，即c＝2时，解不等式得x≠1，若＜1，即c＞2，解不等式得x＜或x＞1，
综上知，c＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；
c＜0时，不等式的解集为
0＜c＜2时，不等式的解集为；
c＝2时，不等式的解集为{x|x≠1}；
c＞2时，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}．
考点三 基本不等式
1．基本不等式为，其变式为ab≤()2，()2≤等．基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等．
2．通过对基本不等式考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3 (1)若x＞2，则x＋的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：C
解析：因为x＞2，则x－2＞0，则x＋＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x＝3时，等号成立，故当x＞2时，x＋的最小值为4.
(2)(多选)设正实数m，n满足m＋n＝2，则( )
A. 的最小值为2
B．的最小值为2
C．的最大值为1
D．m2＋n2的最小值为2
答案：CD
解析：对于选项A，＝()()＝≥2 ＝，
当且仅当＝且m＋n＝2时，即m＝2－2，n＝4－2 时取等号，则A错误；
对于选项B，() 2＝m＋n＋2＝2＋2≤2＋m＋n＝4，当且仅当m＝n＝1时等号成立，则≤2，即的最大值为2，则B错误；
对于选项C，m＋n≥2，即mn≤()2＝1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，则C正确；
对于选项D，m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4－2mn≥4－2()2＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，则D正确．(共16张PPT)
专项培优②章末复习课
考点一 不等式性质的应用
1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．
2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．
考点一 不等式性质的应用
1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．
2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．
例1 (1)(多选)下列说法错误的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1
C．若a＞b＞0，m＞0，则＜
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
(2)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求ab，的取值范围．
答案：(1)ABD (2)见解析
解析：(1)对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A中说法错误；对于B，因为1b>0，所以<，又因为m>0，所以<，故C中说法正确；对于D，只有当a>b>0，c>d>0时，才有ac>bd，故D中说法错误．故选ABD.
(2)因为－2所以－6因为－2因为2跟踪训练1 (1)设a，b，c，d，x均为实数，且b＞a＞0，c＞d，则下列不等式正确的是( )
A．d－a＜c－b B．
C．bc＜ad D．
D
解析：(1)取a＝2，b＝4，c＝3，d＝2，d－a＝0，c－b＝－1，此时d－a>c－b，A错误；取a＝2，b＝3，x＝－1，则＝＝2，此时<，B错误；取b＝3，a＝，c＝1，d＝－3，则ad＝－，bc＝3，此时ad0，
D正确．故选D.
(2)已知a＜b＜c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小．
解析：a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)
＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)
＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)
＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)
＝(a－b)(a－c)(b－c)．
∵a∴a－b<0，a－c<0，b－c<0，
∴(a－b)(a－c)(b－c)<0.
∴a2b＋b2c＋c2a考点二 一元二次不等式的解法
1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽．
(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．
(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．
(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．
2．通过对一元二次不等式解法的考查，提升学生逻辑推理、数学运算素养．
例2 (1)若关于x的不等式ax2－3x＋2＞0(a∈R)的解集为{x|x＜1或x＞b}(b∈R)，求a，b的值；
解析：(1)由题意可知方程ax2－3x＋2＝0的两个不相等的实根分别为x1＝1，x2＝b，于是有解得
(2)解关于x的不等式ax2－3x＋2＞5－ax(a∈R)．
综上所述，当a>0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当－3当a＝－3时，原不等式的解集为 ；
当a<－3时，原不等式的解集为.
解析：原不等式等价于ax2＋(a－3)x－3>0，即(x＋1)(ax－3)>0，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当a≠0时，方程(x＋1)(ax－3)＝0的两根为x1＝－1，x2＝，当a>0时，原不等式的解集为，
当a<0时，①若>－1，即a<－3，则原不等式的解集为；
②若<－1，即－3③若＝－1，即a＝－3，则原不等式的解集为 .
跟踪训练2 某同学解关于x的不等式x2－7ax＋3a＜0(a＞0)时，得到x的取值为{x|－2＜x＜3}，若x的取值的端点有一个是错误的，那么正确的x的取值范围应是( )
A．{x|－2＜x＜－1} B.
C．{x|1＜x＜3} D. {x|2＜x＜3}
答案：B
解析：由题意，实数x的取值为{x|－2所以－2和3只有一个可以满足方程x2－7ax＋3a＝0，另一个不满足，
将x＝－2代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝－，与条件a>0矛盾，所以x≠－2；
将x＝3代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝，满足条件a>0；
所以将a＝代入不等式x2－7ax＋3a<0中，得到不等式为2x2－7x＋3<0，
解得考点三 基本不等式
1．基本不等式为，其变式为ab≤等．基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等．
2．通过对基本不等式考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3 (1)设x＞0，则函数y＝x＋的最小值为( )
A．0 B．
C．1 D．
(2)设a＞0，b＞0，2a＋b＝1，则的最小值为________．
A
8
解析：(1)y＝x＋＝x＋＝－2.
又由x>0，则有y＝(x＋)＋－2≥2－2＝0，
当且仅当x＝时，等号成立，
即函数y＝x＋的最小值为0.故选A.
(2)∵a>0，b>0，且2a＋b＝1，
∴＝(2a＋b)
＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当即时等号成立．∴的最小值为8.
跟踪训练3 已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝1，则的最小值是________.
4＋2
解析：＝＝(x＋3y)＝4＋≥4＋2，
当且仅当即时取“＝”号．专项培优2章末复习课
考点一 不等式性质的应用
1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．
2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．
例1 (1)下列结论正确的是( )
A．若＜，则a＜bB．若a2＞b2，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac＞bc，则a＞b
(2)(多选)下列命题为真命题的有( )
A．若a＜b＜0, 则a2＜ab＜b2
B．若a＜b＜0，则＞
C．若a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0，则＞
D．若a，b，m均为正数，则＞
考点二 一元二次不等式的解法
1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽．
(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．
(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．
(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．
2．通过对一元二次不等式解法的考查，提升学生逻辑推理、数学运算素养．
例2 已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式cx2－(ac＋b)x＋ab＞0(其中c为实数).
考点三 基本不等式
1．基本不等式为，其变式为ab≤()2，()2≤等．基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等．
2．通过对基本不等式考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3 (1)若x＞2，则x＋的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(多选)设正实数m，n满足m＋n＝2，则( )
A.的最小值为2
B．的最小值为2
C．的最大值为1
D．m2＋n2的最小值为2
专项培优2 章末复习课
考点聚集·分类突破
例1 解析：(1)＜，显然a，b均大于等于0，两边平方得：a＜b，A正确；
当a＝－1，b＝0时，满足a2＞b2，但a＜b，B错误；
若a＞b，当c＝0时，则ac2＝bc2＝0，C错误；
若ac＞bc，当c＜0，则a＜b，D错误．
(2)对A，取a＝－2，b＝－1，则a2＞b2.A错误；
对B，由a＜b＜0 ＞0，所以a·＜b· ＜.B正确；
对C，由c＜d＜0 －c>－d>0，则a－c＞b－d＞0 ＞＞0，又m＜0，所以＜.C正确；
对D，＝，而a，b，m均为正数，但若a＜b a－b＜0，则＜0 ＜，D错误．
答案：(1)A (2)BC
例2 解析：(1)不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2－3x＋2＝0的解，
所以a－3＋2＝0，解得a＝1；
由根与系数的关系知1×b＝，解得b＝2；
所以a＝1，b＝2；
(2)由(1)知，不等式cx2－(ac＋b)x＋ab＞0为cx2－(c＋2)x＋2＞0，
即(x－1)(cx－2)＞0，
当c＝0时，不等式化为－2(x－1)＞0，解得x＜1；
当c＜0时，解不等式得＜x＜1；
当c＞0时，若＞1，即0＜c＜2时，解不等式得x＜1或x＞，若＝1，即c＝2时，解不等式得x≠1，若＜1，即c＞2，解不等式得x＜或x＞1，
综上知，c＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；
c＜0时，不等式的解集为
0＜c＜2时，不等式的解集为；
c＝2时，不等式的解集为{x|x≠1}；
c＞2时，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}．
例3 解析：(1)因为x＞2，则x－2＞0，则x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝3时，等号成立，故当x＞2时，x＋的最小值为4.
(2)对于选项A，＝()()＝≥2＝，
当且仅当＝且m＋n＝2时，即m＝2－2，n＝4－2时取等号，则A错误；
对于选项B，() 2＝m＋n＋2＝2＋2≤2＋m＋n＝4，当且仅当m＝n＝1时等号成立，则≤2，即的最大值为2，则B错误；
对于选项C，m＋n≥2，即mn≤()2＝1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，则C正确；
对于选项D，m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4－2mn≥4－2()2＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，则D正确．
答案：(1)C (2)CD
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专项培优②章末复习课
考点一 不等式性质的应用
1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．
2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．
考点一 不等式性质的应用
1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．
2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．
例1 (1)(多选)下列说法错误的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1
C．若a＞b＞0，m＞0，则＜
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
(2)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求ab，的取值范围．
答案：(1)ABD (2)见解析
解析：(1)对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A中说法错误；对于B，因为1b>0，所以<，又因为m>0，所以<，故C中说法正确；对于D，只有当a>b>0，c>d>0时，才有ac>bd，故D中说法错误．故选ABD.
(2)因为－2所以－6因为－2因为2跟踪训练1 (1)设a，b，c，d，x均为实数，且b＞a＞0，c＞d，则下列不等式正确的是( )
A．d－a＜c－b B．
C．bc＜ad D．
D
解析：(1)取a＝2，b＝4，c＝3，d＝2，d－a＝0，c－b＝－1，此时d－a>c－b，A错误；取a＝2，b＝3，x＝－1，则＝＝2，此时<，B错误；取b＝3，a＝，c＝1，d＝－3，则ad＝－，bc＝3，此时ad0，
D正确．故选D.
(2)已知a＜b＜c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小．
解析：a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)
＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)
＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)
＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)
＝(a－b)(a－c)(b－c)．
∵a∴a－b<0，a－c<0，b－c<0，
∴(a－b)(a－c)(b－c)<0.
∴a2b＋b2c＋c2a考点二 一元二次不等式的解法
1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽．
(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．
(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．
(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．
2．通过对一元二次不等式解法的考查，提升学生逻辑推理、数学运算素养．
例2 (1)若关于x的不等式ax2－3x＋2＞0(a∈R)的解集为{x|x＜1或x＞b}(b∈R)，求a，b的值；
解析：(1)由题意可知方程ax2－3x＋2＝0的两个不相等的实根分别为x1＝1，x2＝b，于是有解得
(2)解关于x的不等式ax2－3x＋2＞5－ax(a∈R)．
综上所述，当a>0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当－3当a＝－3时，原不等式的解集为 ；
当a<－3时，原不等式的解集为.
解析：原不等式等价于ax2＋(a－3)x－3>0，即(x＋1)(ax－3)>0，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当a≠0时，方程(x＋1)(ax－3)＝0的两根为x1＝－1，x2＝，当a>0时，原不等式的解集为，
当a<0时，①若>－1，即a<－3，则原不等式的解集为；
②若<－1，即－3③若＝－1，即a＝－3，则原不等式的解集为 .
跟踪训练2 某同学解关于x的不等式x2－7ax＋3a＜0(a＞0)时，得到x的取值为{x|－2＜x＜3}，若x的取值的端点有一个是错误的，那么正确的x的取值范围应是( )
A．{x|－2＜x＜－1} B.
C．{x|1＜x＜3} D. {x|2＜x＜3}
答案：B
解析：由题意，实数x的取值为{x|－2所以－2和3只有一个可以满足方程x2－7ax＋3a＝0，另一个不满足，
将x＝－2代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝－，与条件a>0矛盾，所以x≠－2；
将x＝3代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝，满足条件a>0；
所以将a＝代入不等式x2－7ax＋3a<0中，得到不等式为2x2－7x＋3<0，
解得考点三 基本不等式
1．基本不等式为，其变式为ab≤等．基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等．
2．通过对基本不等式考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3 (1)设x＞0，则函数y＝x＋的最小值为( )
A．0 B．
C．1 D．
(2)设a＞0，b＞0，2a＋b＝1，则的最小值为________．
A
8
解析：(1)y＝x＋＝x＋＝－2.
又由x>0，则有y＝(x＋)＋－2≥2－2＝0，
当且仅当x＝时，等号成立，
即函数y＝x＋的最小值为0.故选A.
(2)∵a>0，b>0，且2a＋b＝1，
∴＝(2a＋b)
＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当即时等号成立．∴的最小值为8.
跟踪训练3 已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝1，则的最小值是________.
4＋2
解析：＝＝(x＋3y)＝4＋≥4＋2，
当且仅当即时取“＝”号．专项培优②章末复习课
考点一 不等式性质的应用
1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．
2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．
例1 (1)(多选)下列说法错误的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1
C．若a＞b＞0，m＞0，则＜
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
(2)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求ab，的取值范围．
跟踪训练1 (1)设a，b，c，d，x均为实数，且b＞a＞0，c＞d，则下列不等式正确的是( )
A．d－a＜c－bB．
C．bc＜adD．
(2)已知a＜b＜c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小．
考点二 一元二次不等式的解法
1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽．
(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．
(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．
(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．
2．通过对一元二次不等式解法的考查，提升学生逻辑推理、数学运算素养．
例2 (1)若关于x的不等式ax2－3x＋2＞0(a∈R)的解集为{x|x＜1或x＞b}(b∈R)，求a，b的值；
(2)解关于x的不等式ax2－3x＋2＞5－ax(a∈R)．
跟踪训练2 某同学解关于x的不等式x2－7ax＋3a＜0(a＞0)时，得到x的取值为{x|－2＜x＜3}，若x的取值的端点有一个是错误的，那么正确的x的取值范围应是( )
A．{x|－2＜x＜－1}B．
C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}
考点三 基本不等式
1．基本不等式为，其变式为ab≤等．基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等．
2．通过对基本不等式考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3 (1)设x＞0，则函数y＝x＋的最小值为( )
A．0B．
C．1D．
(2)设a＞0，b＞0，2a＋b＝1，则的最小值为________．
跟踪训练3 已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝1，则的最小值是________.
专项培优② 章末复习课
考点聚集·分类突破
例1 解析：(1)对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A中说法错误；对于B，因为1b>0，所以<，又因为m>0，所以<，故C中说法正确；对于D，只有当a>b>0，c>d>0时，才有ac>bd，故D中说法错误．故选ABD.
(2)因为－2所以－6因为－2因为2答案：(1)ABD (2)见解析
跟踪训练1 解析：(1)取a＝2，b＝4，c＝3，d＝2，d－a＝0，c－b＝－1，此时d－a>c－b，A错误；取a＝2，b＝3，x＝－1，则＝＝2，此时<，B错误；取b＝3，a＝，c＝1，d＝－3，则ad＝－，bc＝3，此时ad0，∴＝≤0，D正确．故选D.
(2)a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)
＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)
＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)
＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)
＝(a－b)(a－c)(b－c)．
∵a∴a－b<0，a－c<0，b－c<0，
∴(a－b)(a－c)(b－c)<0.
∴a2b＋b2c＋c2a答案：(1)D (2)见解析
例2 解析：(1)由题意可知方程ax2－3x＋2＝0的两个不相等的实根分别为x1＝1，x2＝b，于是有解得
(2)原不等式等价于ax2＋(a－3)x－3>0，即(x＋1)(ax－3)>0，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当a≠0时，方程(x＋1)(ax－3)＝0的两根为x1＝－1，x2＝，当a>0时，原不等式的解集为，
当a<0时，①若>－1，即a<－3，则原不等式的解集为；
②若<－1，即－3③若＝－1，即a＝－3，则原不等式的解集为 .
综上所述，当a>0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当－3当a＝－3时，原不等式的解集为 ；
当a<－3时，原不等式的解集为.
跟踪训练2 解析：由题意，实数x的取值为{x|－2所以－2和3只有一个可以满足方程x2－7ax＋3a＝0，另一个不满足，
将x＝－2代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝－，与条件a>0矛盾，所以x≠－2；
将x＝3代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝，满足条件a>0；
所以将a＝代入不等式x2－7ax＋3a<0中，得到不等式为2x2－7x＋3<0，
解得故选B.
答案：B
例3 解析：(1)y＝x＋＝x＋＝－2.
又由x>0，则有y＝(x＋)＋－2≥2－2＝0，
当且仅当x＝时，等号成立，
即函数y＝x＋的最小值为0.故选A.
(2)∵a>0，b>0，且2a＋b＝1，
∴＝(2a＋b)＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当即时等号成立．∴的最小值为8.
答案：(1)A (2)8
跟踪训练3 解析：＝＝(x＋3y)＝4＋≥4＋2，
当且仅当即时取“＝”号．
答案：4＋2
1