专项培优③
考点一 函数的概念与表示
1．定义域、对应关系和值域是函数的三个不可分割的要素，其中定义域和对应关系是最本质的要素，这两个确定了，值域也就确定了．
2．通过对函数的概念与表示的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例1 (1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为( )
A．(－∞，) B．
C．D．
(2)已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．
①求函数f(x)的解析式；
②当x∈[1，2]时，求f(x)的值域．
跟踪训练1 (1)函数y＝的定义域是________．
(2)函数f(x)在R上为奇函数，当x＞0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
考点二 分段函数
1．分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题．
2．通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养．
例2 已知函数f(x)＝
求f(x)的定义域、值域；
(2)求f(f(1))；
(3)解不等式f(x＋1)＞.
跟踪训练2 设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2B．4
C．6D．8
考点三 函数的图象及应用
1．函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．
函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题．
2．通过对函数图象的考查，提升学生的直观想象、逻辑推理素养．
例3 (1)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A.a＞0，b＞0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
(2)向如图所示的容器甲中注水，下面图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是( )
跟踪训练3 (1)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则f(x)＜0的解为________．
考点四 函数的性质及应用
1．函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点．
2．通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例4 已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立．
(1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明．
(2)解不等式：f＜f.
(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝ax2＋2(1－a)x＋b(a，b∈R)．
(1)若a＜0，且函数f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)令f(x)＝xg(x)(x≠0)，且f(x)为偶函数，试判断g(x)的单调性，并加以证明．
专项培优③ 章末复习课
考点聚集·分类突破
例1 解析：(1)由题意知解得x<1且x≠，所以f(x)的定义域是.故选D.
(2)①由f(2)＝4a＋2b＝0，得2a＋b＝0，(*)
f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，
即ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
∴b－1＝0，∴b＝1.
将其代入(*)得a＝－，∴f(x)＝－x2＋x.
②由①知f(x)＝－(x－1)2＋，
显然f(x)在[1，2]上是减函数．
∴当x＝1时，f(x)max＝，
当x＝2时，f(x)min＝0，
故当x∈[1，2]时，函数的值域是.
答案：(1)D (2)见解析
跟踪训练1 解析：(1)要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，
即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7，
故所求函数的定义域是[－1，7].
(2)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝＋1，
∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－－1，
又∵f(0)＝0，
∴f(x)的解析式为
f(x)＝.
答案：(1)[－1，7] (2)f(x)＝
例2 解析：(1)f(x)的定义域为(0，1)＝.
易知f(x)在(0，1)上为增函数，
∴0
(2)f(1)＝＝.
f(f(1))＝f＝＝.
(3)f(x＋1)>等价于
①或
②或
③解①得－∴f(x＋1)>的解集为＝.
跟踪训练2 解析：方法一：当01，f(a)＝，
f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，解得a＝.
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6；
当a>1时，f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)，得2(a－1)＝2a，无解．
当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意．
综上，f＝6.
方法二：由当x≥1时，f(x)＝2(x－1)是增函数，可知若a≥1，则f(a)≠f(a＋1)，∴0由f(a)＝f(a＋1)，得＝2(a＋1－1)，解得a＝，
则f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
答案：C
例3 解析：(1)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，∴c<0.
令x＝0，得f(0)＝.又由图象知f(0)>0，∴b>0.
令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－>0，∴a<0.
(2)由容器甲的形状可知：注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越慢，即图象开始时陡峭，后来趋于平缓，观察图象可知只有B符合，故选B.
答案：(1)C (2)B
跟踪训练3 解析：(1)A项，由图象开口向下知a<0，由对称轴位置知－<0，所以b<0.又因为abc>0，所以c>0.而由题图知f(0)＝c<0，A错；B项，由题图知a<0，－>0，故b>0.又因为abc>0，所以c<0，而由题图知f(0)＝c>0，B错；选项C，D中，开口向上，故a>0，f(0)＝c<0.由abc>0知b<0，从而函数的对称轴x＝－>0，故C错，D正确．故选D.
(2)由于f(x)为R上的奇函数，图象关于原点对称，因此可作出函数在(－∞，0)上的图象如图所示．由图可知f(x)<0的解集为(－∞，－4)
答案：(1)D (2)(－∞，－4)
例4 解析：(1)f(x)在[－1，1]上单调递增．证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2)．
由已知得>0，又x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[－1，1]上单调递增．
(2)∵f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴解得－≤x<－1.
故原不等式的解集为.
(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴在[－1，1]上，f(x)≤1.
问题转化为m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对a∈[－1，1]恒成立．
设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1，1]恒成立．
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，
即解得m≤－2或m≥2.
故m的取值范围是{m|m＝0或m≤－2或m≥2}．
跟踪训练4 解析：(1)∵a<0，且函数f(x)在(－∞，3]上单调递增，
∴解得－≤a<0，
∴实数a的取值范围是－≤a<0.
(2)当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b<0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b>0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，0)和(0，)．
证明：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即ax2＋2(1－a)x＋b＝ax2－2(1－a)x＋b对任意x≠0都成立，
∴a＝1，则g(x)＝x＋(x≠0)．
设x1，x2为区间A上的任意两个数，且x1则g(x1)－g(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)，
①当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
②当b<0时，A＝(－∞，0)或(0，＋∞)，g(x1)－g(x2)<0，
∴g(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．
③当b>0时，A＝(－∞，－)或(，＋∞)，g(x1)－g(x2)<0，g(x)在区间(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增；
同理g(x)在区间(－，0)和(0，)上单调递减．
综上可知，当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b<0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b>0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，0)和(0，)．
1专项培优3章末复习课
考点一 求函数的定义域
1．函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
2．通过对函数的定义域的求解，提升学生的数学运算素养．
例1 (1)[2022·湖南长郡中学高一期末]函数f(x)＝的定义域是( )
A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，1)
(2)函数y＝的定义域是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(0，1)
D．(－∞，－1)
考点二 分段函数
1．分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题．
2．通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养．
例2 (1)己知函数f(x)＝，则f(f(5))＝________．
(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
考点三 求函数的解析式
1．求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．
(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f()，使用解方程组法．
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．
2．通过对函数解析式的求解，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3 (1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
(2)已知f()＝，则f(x)的解析式为________．
考点四 函数的单调性与奇偶性
1．函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点．
2．通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例4 已知函数f(x)＝是R上的偶函数．
(1)求实数m的值，判断函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性(不必证明)；
(2)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值和最小值．
考点五 函数模型的应用
1．对函数模型应用的考查以二次函数与分段函数为主．
2．通过对函数模型在实际问题上的掌握，提升学生的数学建模、逻辑推理素养．
例5 党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展．新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出2020年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝销售－成本)
(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
专项培优3 章末复习课
考点聚集·分类突破
例1 解析：(1)由解析式有意义可得，故x＞1，故函数的定义域为(1，＋∞)
(2)由题意可得：，解得：x＞0且x≠1，所以原函数的定义域为(0，1)
答案：(1)D (2)C
例2 解析：(1)因为函数f(x)＝，
所以f(5)＝f(3)＝f(1)＝12＝1，
所以f(f(5))＝f(1)＝12＝1.
(2)当a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，所以f(1－a)＝f(1＋a)，
2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－＜0，不满足，舍去；
当a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，所以－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－＜0，满足．
答案：(1)1 (2)－
例3 解析：(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.
∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
(2)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f()＝，得f(t)＝＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
所以所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)
答案：(1)f(x)＝
(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)
例4 解析：(1)若函数f(x)＝是R上的偶函数，
则f(－x)＝f(x)．
即＝，
解得m＝0.
所以f(x)＝.
函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
又函数f(x)是R上的偶函数，
所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，
所以函数f(x)在[－3，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减．
又f(－3)＝，f(0)＝1，f(2)＝，
所以f(x)min＝f(－3)＝，
f(x)max＝f(0)＝1.
例5 解析：(1)当0＜x＜40时，L(x)＝9×100x－10x2－500x－2500＝－10x2＋400x－2500；当x≥40时，L(x)＝9×100x－901x－＋4300－2500＝1800－(x＋)；所以L(x)＝
(2)当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－20)2＋1500，
当x＝20时，L(x)max＝1500；
当x≥40时，
L(x)＝1800－(x＋)≤1800－2＝1800－200＝1600.
(当且仅当x＝即x＝100时，“＝”成立)
因为1600＞1500
所以，当x＝100时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元．
1(共23张PPT)
专项培优③章末复习课
考点一 函数的概念与表示
1．定义域、对应关系和值域是函数的三个不可分割的要素，其中定义域和对应关系是最本质的要素，这两个确定了，值域也就确定了．
2．通过对函数的概念与表示的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例1 (1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为( )
A．(－∞，) B．
C． D．
(2)已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．
①求函数f(x)的解析式；
②当x∈[1，2]时，求f(x)的值域．
答案：(1)D (2)见解析
解析：(1)由题意知解得x<1且x≠，所以f(x)的定义域是.故选D.
(2)①由f(2)＝4a＋2b＝0，得2a＋b＝0，(*)
f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，
即ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
∴b－1＝0，∴b＝1.
将其代入(*)得a＝－，∴f(x)＝－x2＋x.
②由①知f(x)＝－(x－1)2＋，
显然f(x)在[1，2]上是减函数．
∴当x＝1时，f(x)max＝，
当x＝2时，f(x)min＝0，故当x∈[1，2]时，函数的值域是.
跟踪训练1 (1)函数y＝的定义域是________．
(2)函数f(x)在R上为奇函数，当x＞0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析
式为________________________．
[－1，7]
f(x)＝
解析：(1)要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，
即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7，
故所求函数的定义是[－1，7].
(2)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝＋1，
∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－－1，
又∵f(0)＝0，
∴f(x)的解析式为
f(x)＝.
考点二 分段函数
1．分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题．
2．通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养．
例2 已知函数f(x)＝
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)求f(f(1))；
(3)解不等式f(x＋1)＞.
解析：(1)f(x)的定义域为(0，1)＝.
易知f(x)在(0，1)上为增函数，
∴0(2)f(1)＝＝. f(f(1))＝f＝＝.
(3)f(x＋1)>等价于
①或②或
③解①得－∴f(x＋1)>的解集为＝.
跟踪训练2 设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案：C
解析：方法一：当01，f(a)＝，
f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，解得a＝.
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6；
当a>1时，f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)，得2(a－1)＝2a，无解．
当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意．
综上，f＝6.
方法二：由当x≥1时，f(x)＝2(x－1)是增函数，可知若a≥1，则f(a)≠f(a＋1)，
∴0由f(a)＝f(a＋1)，得＝2(a＋1－1)，解得a＝，
则f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
考点三 函数的图象及应用
1．函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．
函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题．
2．通过对函数图象的考查，提升学生的直观想象、逻辑推理素养．
例3 (1)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a＞0，b＞0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
C
解析：(1)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，∴c<0.
令x＝0，得f(0)＝.又由图象知f(0)>0，∴b>0.
令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－>0，∴a<0.
(2)向如图所示的容器甲中注水，下面图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是( )
B
解析：(2)由容器甲的形状可知：注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越慢，即图象开始时陡峭，后来趋于平缓，观察图象可知只有B符合，故选B.
跟踪训练3 (1)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则f(x)＜0的解为__________________________．
D
(－∞，－4)
解析：(1)A项，由图象开口向下知a<0，由对称轴位置知－<0，所以b<0.又因为abc>0，所以c>0.而由题图知f(0)＝c<0，A错；B项，由题图知a<0，－>0，故b>0.又因为abc>0，所以c<0，而由题图知f(0)＝c>0，B错；选项C，D中，开口向上，故a>0，f(0)＝c<0.由abc>0知b<0，从而函数的对称轴x＝－>0，故C错，D正确．故选D.
(2)由于f(x)为R上的奇函数，图象关于原点对称，因此可作出函数在(－∞，0)上的图象如图所示．由图可知f(x)<0的解集为(－∞，－4)
考点四 函数的性质及应用
1．函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点．
2．通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例4 已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立．
(1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明．
解析：(1)f(x)在[－1，1]上单调递增．证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2)．
由已知得>0，
又x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[－1，1]上单调递增．
(2)解不等式：f＜f.
解析：(2)∵f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴解得－≤x<－1.
故原不等式的解集为.
(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴在[－1，1]上，f(x)≤1.
问题转化为m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对a∈[－1，1]恒成立．
设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1，1]恒成立．
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，
即解得m≤－2或m≥2.
故m的取值范围是{m|m＝0或m≤－2或m≥2}．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝ax2＋2(1－a)x＋b(a，b∈R)．
(1)若a＜0，且函数f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：(1)∵a<0，且函数f(x)在(－∞，3]上单调递增，
∴解得－≤a<0，
∴实数a的取值范围是－≤a<0.
(2)令f(x)＝xg(x)(x≠0)，且f(x)为偶函数，试判断g(x)的单调性，并加以证明．
解析：(2)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即ax2＋2(1－a)x＋b＝ax2－2(1－a)x＋b对任意x≠0都成立，
∴a＝1，则g(x)＝x＋(x≠0)．
设x1，x2为区间A上的任意两个数，且x1则g(x1)－g(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)，
①当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
②当b<0时，A＝(－∞，0)或(0，＋∞)，g(x1)－g(x2)<0，
∴g(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．
③当b>0时，A＝(－∞，－)或(，＋∞)，g(x1)－g(x2)<0，g(x)在区间(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增；
同理g(x)在区间(－，0)和(0，)上单调递减．
综上可知，当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b<0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b>0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，0)和(0，)．(共18张PPT)
专项培优 3 章末复习课
考点一 求函数的定义域
1．函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
2．通过对函数的定义域的求解，提升学生的数学运算素养．
例1 (1)[2022·湖南长郡中学高一期末]函数f(x)＝的定义域是( )
A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，1)
答案：D
解析：由解析式有意义可得，故x＞1，故函数的定义域为(1，＋∞)
(2)函数y＝的定义域是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(0，1)
D．(－∞，－1)
解析：由题意可得：，解得：x＞0且x≠1，所以原函数的定义域为(0，1)
答案：C
考点二 分段函数
1．分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题．
2．通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养．
例2 (1)己知函数f(x)＝，则f(f(5))＝________．
解析：因为函数f(x)＝，
所以f(5)＝f(3)＝f(1)＝12＝1，
所以f(f(5))＝f(1)＝12＝1.
1
(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
－
解析：当a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，所以f(1－a)＝f(1＋a)，
2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－＜0，不满足，舍去；
当a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，所以－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－＜0，满足．
考点三 求函数的解析式
1．求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．
(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f()，使用解方程组法．
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．
2．通过对函数解析式的求解，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3 (1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的
解析式为____________________．
f(x)＝
解析：设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.
∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
(2)已知f()＝，则f(x)的解析式为________________________________．
解析：令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f()＝，得f(t)＝＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
所以所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)
考点四 函数的单调性与奇偶性
1．函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点．
2．通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例4 已知函数f(x)＝是R上的偶函数．
(1)求实数m的值，判断函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性(不必证明)；
(2)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值和最小值．
解析：(1)若函数f(x)＝是R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)．
即＝，解得m＝0.
所以f(x)＝.
函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
又函数f(x)是R上的偶函数，
所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，
所以函数f(x)在[－3，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减．
又f(－3)＝，f(0)＝1，f(2)＝，
所以f(x)min＝f(－3)＝，f(x)max＝f(0)＝1.
考点五 函数模型的应用
1．对函数模型应用的考查以二次函数与分段函数为主．
2．通过对函数模型在实际问题上的掌握，提升学生的数学建模、逻辑推理素养．
例5 党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展．新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2 500万元．每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出2020年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝销售－成本)
(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
解析：(1)当0＜x＜40时，L(x)＝9×100x－10x2－500x－2 500＝－10x2＋400x－2 500；当x≥40时，L(x)＝9×100x－901x－＋4 300－2 500＝1 800－(x＋)；所以L(x)＝
(2)当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－20)2＋1 500，
当x＝20时，L(x)max＝1 500；
当x≥40时，
L(x)＝1 800－(x＋)≤1 800－2＝1 800－200＝1 600.
(当且仅当x＝即x＝100时，“＝”成立)
因为1 600＞1 500
所以，当x＝100时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1 600万元．