(共19张PPT)
第 二 章 二次函数
九年级数学 下 BS
2 二次函数的图象与性质
第5课时 二次函数 y=ax2+bx+c的图象与性质
问题：我们已经认识了 的图象和性质，你能研究函数 的图象和性质吗？
怎样直接作出函数y=2x2-4x+5的图象
化成 y=a(x-h)2+k 的形式呗！
情境导入
怎样直接作出函数y=2x2-4x+5的图象
1.配方:
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号
配方后的表达式通常称为顶点式
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.
3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
∵a=2>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,3).
4.画对称轴，描点，连线：作出二次函数 的图象.
例1 求次函数y=2x -8x+7的对称轴和顶点坐标．
解:
y = 2x2－8x+7
= 2(x2－4x)+7
= 2(x2－4x+4)－8+7
= 2(x－2)2－1
因此，二次函数 y=2x2－8+7 图像的对称轴是直线 x = 2，顶点坐标为（2，-1）.
确定下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
做一做
例2 求次函数y=ax +bx+c的对称轴和顶点坐标．
一般地,对于二次函数y=ax +bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
配方:
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
归纳结论
顶点坐标公式
因此,二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物线.
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号
这个结果通常称为求顶点坐标公式.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
答案:（1）对称轴：x=3, 顶点:(3,-5)
（2）对称轴：x=8, 顶点:(8,1)
（3）对称轴：x= , 顶点：
（4）对称轴：x= , 顶点：
做一做
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x +0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称．
y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
运用新知
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流.
y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
∴这条抛物线的顶点坐标是（-20,1）.
由此可知桥面最低点到桥面对的距离是1m.
解：
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流.
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗
y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
⑶你还有其他方法吗？与同伴交流.
直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．
y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：
1.容易配方时，采用配方法；
2.当a,b,c比较复杂时，可直接用公式确定。
课堂小结
a>0,开口向上;
a<0,开口向下.
a>0,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.;
a<0,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
完成本课时的习题。
课后作业(共20张PPT)
第 二 章 二次函数
九年级数学 下 BS
2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数 y=a（x-h）2的图象与性质
二次函数 y=3(x-1)2的图象是什么形状 它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象。
情境导入
比较二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象。
(1) 完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关系
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3x2
3(x-1)2
27
48
0
3
12
3
12
27
48
27
0
3
12
3
12
27
获取新知
y=3(x-1)2
y=3x2
(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2和 y=3(x-1)2的图象．
图象是轴对称图形,
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
顶点坐标
是点(1,0).
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系
它是轴对称图形吗
它的对称轴和顶点坐标分别是什么
二次项系数
相同a>0,
开口都向上.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置
y=3x2
二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向右平移了1 个单位.
在对称轴(直线x=1)左侧
(即x<1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而减少.
顶点是最低点,函数
有最小值.当x=1时,
最小值是0。
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
在对称轴(直线x=1)右侧
(即x>1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而增大,.
想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样
二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的增减性类似.
1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
2. x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大
x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和 y=3(x+1)2的图象．
完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
图象是轴对称图形,
对称轴是平行于
y轴的直线:x= -1.
顶点坐标
是点(-1,0).
1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样
二次函数y=3(x+1)2
与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向左平移了1 个单位.
在对称轴(直线x=-1)左侧
(即x<-1时),函数y=3(x+1)2
的值随x的增大而减少.
顶点是最低点,函数
有最小值.当x=-1时,
最小值是0.
2. x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
在对称轴(直线x=-1)
右侧(即x>-1时),
函数y=3(x+1)2的值
随x的增大而增大.
猜一猜:函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象的位置和形状.
请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
二次函数y=3(x+1)2
与y=3x2的增减性类似.
2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
y
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
x=-1
x=1
1.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线x=-1.
y
3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(直线x=1)的左侧(即当x<1时), y随着x的增大而增大;在对称轴(直线x=1)右侧(即当x>1时), y随着x的增大而减小;当x=1时,函数y的值最大(是0).抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(直线x=-1)的左侧(即当x<-1时), y随着x的增大而增大;在对称轴(直线x=-1)右侧(即当x>-1时), y随着x的增大而减小;当x=-1时,函数y的值最大(是0).
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
x=-1
x=1
y
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.
x=-1
x=1
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
开口大小
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
（h，0）
直线x=h
直线x=h
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
越小,开口越大.
越大,开口越小.
1.抛物线y=3（x-3） 的开口方向是 ，对称是 ，顶点是 。
上
x=3
（3,0）
2.若抛物线y=a（x-h） 的顶点是（-3,0），它是由抛物线y=-2x 通过平移而得到的，则a= h=
-2
-3
随堂演练
(2)对于二次函数y=2(x+3)2,
当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大
当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小
3.(1)二次函数y=2(x+3)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
1.抛物线y=ax 与y=ax +c和抛物线y=ax 与y=a（x-h） 有哪些共同点，又有哪些不同点？
2.将抛物线y=ax 上下平移与左右平移所得到的表达式在形式上有何区别？
课堂小结
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax a＞0，开口向上
a＜0，开口向下
y轴
（0, 0）
y=a（x-h）
a＞0，开口向上
a＜0，开口向下
直线x=h
（h，0）
函数y=ax 与y=a（x-h） 的图像及其性质
完成本课时的习题。
课后作业(共24张PPT)
第 二 章 二次函数
九年级数学 下 BS
2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数 y=ax2+c的图象与性质
汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因素有关
刹车距离与二次函数
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗
雨天行驶时:
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明, 速度为v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式确定:
晴天行驶时:
S =
1
100
v2
S =
1
50
v2
情境导入
比较函数 与 的图象
完成下表：
在同一直角坐标系中作出函数(1)(2)的图象
(先想一想,在函数(2)中,v可以取任何值吗 为什么 )．
v 0 20 40 60 80 100 120 140
0 8 32 72 128 200 288 392
0 4 16 36 64 100 144 196
S =
1
100
v2
S =
1
50
v2
S =
1
100
v2
S =
1
50
v2
V/(km/h)
S(m)
0
20
40
80
100
120
140
描点,连线
60
100
S=
1
v2
50
S=
1
v2
40
80
100
两个图象有什么相同与不同
观察图象,回答问题串
相同点：
1.它们都是抛物线的一部分；
2.二者都位于y轴的右侧.
3.函数值都随y值的增大而增大.
不同点：
(2)的图象在(1)的图象的内侧.
(2)的S比(1)中的S增长速度快.
(2)如果行车速度是60km／h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米 你是怎么知道的
刹车距离相差一半(36m),由图象,表格或解析式都可以获知.
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象．
(1)完成下表：
(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象．
x
y=x2
y=2x2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2
y=2x2
x
… 9 4 1 0 1 4 9 …
x
… …
… 18 8 2 0 2 8 18 …
思考探究
顶点都是
原点(0,0).
二次函数y=2x2的
图象形状与y=x2
一样,仍是抛物线.
(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状 它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
只是开口
大小不同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样
二次项系数a>0,开口都向上;对称轴都是y轴;增减性与也相同.
顶点都是
原点(0,0).
二次函数y=-2x2的
图象形状与y=-x2
一样,仍是抛物线.
(4)二次函数y=-2x2的图象是什么形状 它与二次函数y=-x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
只是开口
大小不同.
请你总结二次函数y=ax2的图象和性质.
二次项系数a<0,开口都向下;对称轴都是y轴;增减性与也相同.
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
二次函数y=ax2的性质
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
二次函数y=ax2的性质
4. |a| 越大,开口越小, |a| 越小,开口越大.
在同一坐标系中作出二次函数y=2x +1的图象与二次函数y=2x 的图象.
二次函数y=2x +1的图象与二次函数y=2x 的图象有什么关系 它们是轴对称图形吗 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 作图看一看．
二次项系数为2,开口向上;
开口大小相同;对称轴都是
y轴;增减性与也相同.
顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,1).
二次函数y=2x2+1的
图象形状与y=2x2
一样,仍是抛物线.
二次函数y=2x2+1的图象是什么形状 它与二次函数y=2x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
位置不同;
最小值不同:
分别是1和0.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-2x2+1和y=-2x2的图象,会是什么样
y=2x2+1
y=2x2
y
二次项系数为-2,开口向下;
开口大小相同;对称轴都是
y轴;增减性与也相同.
顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,1).
二次函数y=-2x2+1的
图象形状与y=-2x2
一样,仍是抛物线.
二次函数y=-2x2+1的图象是什么形状 它与二次函数y=-2x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
位置不同;
最大值不同:
分别是1和0.
想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象和性质
y=-2x2+1
y=-2x2
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=3x -1的图象与二次函数y=3x 的图象.
二次函数y=3x -l的图象与二次函数y=3x 的图象有什么关系 它们是轴对称图形吗 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
二次项系数为正数3,开口
向上;开口大小相同;对称
轴都是y轴;增减性与也相同.
顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,-1).
二次函数y=3x2+1的
图象形状与y=3x2
一样,仍是抛物线.
二次函数y=3x2-1的图象是什么形状 它与二次函数y=3x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
位置不同;
最小值不同:
分别是-1和0.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和y=-3x2的图象,会是什么样
y=3x2-1
y=3x2
二次函数y=-3x2-1的图象是什么形状 它与二次函数y=-3x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.
二次项系数为-3,开口
向下;开口大小相同;对称
轴都是y轴;增减性与也相同.
顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,-1).
二次函数y=-3x2-1的
图象形状与y=-3x2
一样,仍是抛物线.
位置不同;
最大值不同:
分别是0和-1.
y=-3x2-1
y=-3x2
二次函数y=ax2+c的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2 +c(a>0)
y=ax2 +c(a<0)
（0，c）
（0，c）
y轴
y轴
当c>0时,在x轴的上方(经过一二象限);
当c<0时,与x轴相交(经过一二三四象限).
当c<0时,在x轴的下方(经过三四象限);
当c>0时,与x轴相交(经过一二三四象限).
向上
向下
当x=0时,最小值为c.
当x=0时,最大值为c.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
1、对于二次函数y=-x2+2,其开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。它是
由 的图象 得到的
向下
y轴（或直线x=0)
（0，2）
y=-x2
向上平移2个单位
y=x2
y=x2+2
-5
y=-３x2-５
它是由y=-３x2的图象向下平移5个单位得到的
2、将抛物线y=x2+1的图象向下平移一个单位，将得到的___________图象；如果向上平移一个单位，将得到 的图象.
3、若抛物线y=-3x2+c的顶点坐标为（0，-5），则ｃ＝＿＿＿，二次函数关系式为 ,那么它的图象是由y=-3x2怎样移动得来的？
运用新知
4、物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系是:h=4.9t2,填表表示物体在前5s下落的高度：h是t的 函数，它的图象是 ，顶点坐标 。
5、上题中若物体从100米高的地方落下，则它离地面的高度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=100-4.9t2,则h是t的
函数，图象是 ___________ ，顶点坐标是 。
二次
抛物线在第一象限的一部分
（0，0）
二次
抛物线在第一象限的一部分
（0，100）
一.二次函数y=ax +c与=ax 的关系
1.相同点: (1)图象都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同.
(2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在y轴左侧,y都随x的增大而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0).
(2)最值不同:分别是c和0.
3.联系: y=ax +c(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象沿y轴整体平移|c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).
课堂小结
二.二次函数y=ax2+c的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
完成本课时的习题。
课后作业(共22张PPT)
第 二 章 二次函数
九年级数学 下 BS
2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数 y=ax2的图象与性质
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗
x
y=x2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2
x
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
<列表>
情境导入
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
描点,连线
y=x2
y=x2
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
1
观察图象,回答问题串
(1)你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流.
(5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么 请你找出几对对称点,并与同伴交流.
(2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么
(3)当x<0时,随着x的值增大,y的值如何变化？当x>0呢？
(4)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？你是如何知道的？
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
当x<0 (在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.
当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大.
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
在学中做——在做中学
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x
y=-x2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2
x
… -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
描点,连线
y=-x2
观察图象,回答问题串
（1)你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流.
（2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么
（3)当x<0时,随着x的值增大y的值如何变化？当x>0呢？
（4)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？你是如何知道的？
（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么 请你找出几对对称点,并与同伴交流.
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y= -x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
y
当x<0 (在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.
当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而减小.
y
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
当x=1时,y= -1
当x=2时,y= -4
抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
y=x2
y=-x2
x
y
0
y
x
0
它们之间有何关系？
思考探究
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=x2
y=-x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方(除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象
x
0
y
y=x2
y=-x2
y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1时的特殊例子.a的符号确定着抛物线的……
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
二次函数y=ax2的性质
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,
解得a=-2,所求函数解析式为y=-2x2.
运用新知
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, ，所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是 与 .
（2）因为-4≠-2（-1）2 ,所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
2.填空:
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在
侧,y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
2.理解并熟记抛物线y=ax2的性质。
1.由二次函数y=x2和y=-x2知：抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
课堂小结
完成本课时的习题。
课后作业(共15张PPT)
第 二 章 二次函数
九年级数学 下 BS
2 二次函数的图象与性质
第4课时 二次函数 y=a（x-h）2+k的图象与性质
二次函数 y=3(x-1)2+2 的图象是什么形状 它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系
情境导入
完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
29 14 5 2 5 14 29
获取新知
在同一坐标系中作出二次函数y=3x ，y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
二次函数y=3x ，y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系？它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？作图看一看．
对称轴仍是平行于y轴的直
线x=1;增减性与y=3x2类似.
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x ,y=3(x-1)2有什么关系 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
x=1
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x ,y=3(x-1)2有什么关系 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
x=1
顶点是(1,2).
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x ,y=3(x-1)2有什么关系 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
x=1
开口向上,当
x=1时有最小
值,且最小值为2.
x=1
二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上平移2个单位后得到的.
二次函数y=a(x-h) +k与y=ax 的关系
一般地,由y=ax 的图象便可得到二次函数y=a(x-h) +k的图象:
y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h) +k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
1.指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标:
2.(1)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
随堂演练
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系
(3)对于二次函数y=-3(x-2)2+4,
当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大
当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小
二次函数y=a(x-h) +k与y=ax 的关系:
y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质:
(1)a>0时，开口向上；a<0，开口向下；
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点坐标是（h，k）.
课堂小结
完成本课时的习题。
课后作业
