冀教版九年级数学上册 第24章一元二次方程单元综合测试题 （含解析）

2022-2023学年冀教版九年级数学上册《第24章一元二次方程》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2
2．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（　　）
A．（x﹣2）（x+5）＝1 B．3（x﹣2）2＝x2﹣4
C．x2﹣3x+1＝0 D．9（x﹣1）2＝5
3．已知（x2+y2）（x2+y2﹣2）﹣8＝0，则x2+y2的值是（　　）
A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．2
4．已知一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　）
A．10 B．10或8 C．9 D．8
5．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．24
6．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（　　）
A．36 B．50 C．28 D．25
7．某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（　　）
A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600 B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000
C．5000（1﹣x）（1﹣）＝3600 D．3600（1+x）（1+2x）＝5000
8．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则设道路的宽为xm，根据题意，列方程（　　）
A．32×20﹣20x﹣30x＝540 B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540 D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．已知（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　．
10．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是m+1与2m﹣7，则m的值是 　 　．
11．若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的值为 　 　．
12．设x1与x2为一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则（x1﹣x2）2的值为 　 　．
13．设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝　 　．
14．已知关于x的一元二次方程的根为±3，那么关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝　 　．
15．已知a是方程x2﹣2021x+1＝0的根，则＝　 　．
16．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，每千克核桃应降价多少元？设每千克核桃应降价x元，根据题意可得方程为　 　．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．解下列方程：
（1）x2﹣7x+1＝0；
（2）2（2x﹣1）＝3（1﹣2x）．
18．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
请你按照上述解题思想解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
19．关于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数值时，求方程的两个根．
20．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．
（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．
（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC是等腰三角形？
21．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；
（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？
22．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
23．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动．
（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2？
（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：
k2﹣4＝0，
解得k1＝2，k2＝﹣2，
而k﹣2≠0，
所以k＝﹣2．
故选：A．
2．解：A、（x﹣2）（x+5）＝1适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；
B、由原方程得到x2﹣6x+8＝0，适合于因式分解法解方程，故本选项符合题意；
C、x2﹣3x+1＝0适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；
D、由原方程得到（x﹣1）2＝，最适合于直接开平方法解方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．解：∵（x2+y2）（x2+y2﹣2）﹣8＝0，
设x2+y2＝t，
∴t（t﹣2）﹣8＝0，
∴t2﹣2t﹣8＝0，
∴（t﹣4）（t+2）＝0，
∴t1＝4，t2＝﹣2，
又∵x2+y2＝t≥0，
∴x2+y2＝t＝4，
故选：B．
4．解：∵（x﹣3）2＝1，
∴x﹣3＝±1，
解得，x1＝4，x2＝2，
∵一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，
∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2+2，此时不能构成三角形；
②当底边长和腰长分别是2和4时，
∴△ABC的周长为：2+4+4＝10；
故选：A．
5．解：法1：方程x2﹣10x+24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为×4×6＝12；
法2：设a，b是方程x2﹣10x+24＝0的两根，
∴ab＝24，
则这个菱形的面积为ab＝12．
故选：C．
6．解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a，b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×4＝28，
故选：C．
7．解：设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，
根据题意，得：5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600，
故选：A．
8．解：设道路的宽为x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：∵（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|+1＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
10．解：根据题意得m+1+2m﹣7＝0，
解得m＝2．
即m的值为2．
故答案为：2．
11．解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，m+n＝2，
∴m2＝2m+1，n2＝2n+1，
∴2m2+4n2﹣4n+2022
＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+2022
＝4m+2+8n+4﹣4n+2022
＝4（m+n）+2028
＝4×2+2028
＝2036，
故答案为：2036．
12．解：由题意可知：x1+x2＝﹣6，x1x2＝4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2
＝（﹣6）2﹣4×4
＝36﹣16
＝20，
故答案为：20．
13．解：∵α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，
∴α2+2020α﹣2＝0，
β2+2020β﹣2＝0
∴α2+2020α＝2，
β2+2020β＝2
∴（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）
＝（2﹣1）（2+2）＝4．
故答案为4．
14．解：∵关于x的一元二次方程的两个根为±3，
∴关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b可得y2+1＝x2＝9，
解得y＝﹣2和2．
故答案为：﹣2和2．
15．解：∵a是方程x2﹣2021x+1＝0的根，
∴a2﹣2021a+1＝0，
∴a2＝2021a﹣1，
∴
＝2（2021a﹣1）﹣4041a+
＝a+﹣2
＝﹣2
＝﹣2
＝2021﹣2
＝2019．
故答案为：2019．
16．解：设每千克核桃应降价x元，则实际售价为（60﹣x）元，销售质量为（100+10x）千克，
根据题意，得：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．解：（1）Δ＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（2）2（2x﹣1）﹣3（1﹣2x）＝0，
﹣5（1﹣2x）＝0，
解得x＝．
18．解：y＝x2+x，则由原方程，得
y2﹣4y﹣12＝0，
整理，得
（y﹣6）（y+2）＝0，
解得y＝6或y＝﹣2，
当y＝6时，x2+x＝6，即（x+3）（x﹣2）＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝2．
当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，即x2+x+2＝0，该方程无解．
综上所述，该方程的解为：x1＝﹣3，x2＝2．
19．解：∵方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，
∴k＜1，
∴当k＜1时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵k＜1，
∴k的最大整数值为0，
把k＝0代入方程x2+2x+2k﹣1＝0，
得方程x2+2x﹣1＝0，
解得，．
20．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，
∴无论k取何值时方程总有两个实数根．
（2）解：∵方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的解为：
x＝＝，即x1＝k+2，x2＝k+1，
∵AB、AC是方程的两个实数根，
∴AB≠AC，
∵BC＝5，
∴当k+2＝5，或k+1＝5时，△ABC是等腰三角形，
∴k＝3或4，
故当k为3或4时，△ABC是等腰三角形．
21．解：（1）设BC＝xm，则AB＝ m，
依题意得：x ＝300，
整理得：x2﹣62x+600＝0，
解得：x1＝12，x2＝50．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12m时，矩形花园的面积为300m2．
（2）不能围成面积为480m2的矩形花园，理由如下：
设BC＝ym，则AB＝ m，
依题意得：y ＝480，
整理得：y2﹣62y+960＝0，
解得：y1＝30，y2＝32．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴y1＝30，y2＝32均不符合题意，舍去，
∴不能围成面积为480m2的矩形花园．
22．解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，
依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，
化简，得：y2+4y﹣12＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
23．解：当运动时间为ts时，AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）依题意得：（5﹣t）×2t＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4，
当t＝1时，2t＝2×1＝2＜7，符合题意；
当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去．
答：1s后，△PBQ的面积为4cm2．
（2）依题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝25，
整理得：t2﹣2t＝0，
解得：t1＝0（不符合题意，舍去），t2＝2．
答：2s后，PQ的长度为5cm．