(共22张PPT)
5．1 导数的概念及其意义
5．1.1变化率问题
[新课程标准]
1．借助物理背景了解平均速度与瞬时速度．
2．借助几何背景了解曲线的割线与切线，并会求切线方程．
3．体会极限思想，培养学生数学抽象、数学运算的核心素养．
2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为 ( )
A．6 B．18
C．54 D．81
3．抛物线f(x)＝3x2＋1在点(2,13)处的切线方程为________．
题型一 运动物体的平均速度
[学透用活]
[典例1] 已知s(t)＝5t2.
(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；
(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度．
[对点练清]
1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为
( )
A．0.41 B．3 C．4 D．4.1
2.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为 ( )
A．v2＝v3＜v1 B．v1＜v2＝v3
C．v1＜v2＜v3 D．v2＜v3＜v1
解析：由题意得，v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，由题图易知kOA＜kAB＜kBC，∴v1＜v2＜v3，故选C.
答案：C
题型二 求瞬时速度
[学透用活]
[典例2] 已知质点M做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：s)变化的函数为s＝2t2＋3.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求平均速度；
(2)求质点M在t＝2时的瞬时速度．
[对点练清]
一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)．
(1)求该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；
(2)求该质点在t＝1时的瞬时速度．
题型三 抛物线的切线
[学透用活]
[典例3] 已知函数f(x)＝x2，x0＝－2.
(1)分别令Δx＝2,1,0.5，求f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的相应割线的斜率，并画出过点(x0，f(x0))的相应割线；
(2)求函数f(x)＝x2在x＝x0处的切线的斜率，并画出曲线f(x)＝x2在点(－2,4)处的切线．
求曲线的切线方程，首先求割线的斜率，然后利用极限思想得切线的斜率，最后由切点在切线上求曲线切线方程．
2．已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2，f(2))，B(2＋Δx，f(2＋Δx))(Δx>0)．
(1)若割线AB的斜率不大于－1，求Δx的范围；
(2)求函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的方程．
[课堂思维激活]
一、应用性——强调学以致用
1．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为 ( )
A．2 B．1 C．－1 D．6(共38张PPT)
5．3 导数在研究函数中的应用
5．3.1 函数的单调性
[新课程标准]
1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
3．通过对函数单调性的判断，培养学生数学运算、数学抽象和直观想象的核心素养．
(一)教材梳理填空
1．函数的单调性与其导函数正负的关系
在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调 ；
在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调 ；
如果在区间(a，b)上恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上是常数函数．
递增
递减
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“ ”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较，函数的图象就比较“ ”．
陡峭
平缓
[微思考]
在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增． ( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． ( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大． ( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 ( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案：D
3．函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．
答案：上升
题型一 判断或讨论函数的单调性
[学透用活]
(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
1．利用导数判断或证明函数单调性的思路
2．含有参数的函数单调性的解题技巧
讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论，但要始终注意定义域以及分类讨论的标准．
含参数的二次不等式问题，一般从最高次项的系数、判别式Δ及根的大小关系等方面进行讨论．
又函数f(x)是奇函数，而奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性．
综上所述，当b>0时，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当b<0时，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
(3)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝－3x2＋6x.
令f′(x)>0，得0
令f′(x)<0，得x<0或x>2.
∴f(x)在(0,2)上单调递增，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．
求可导函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导函数f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)，并写出解集；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
题型三 已知函数的单调性求参数范围
[探究发现]
1．若已知函数f(x)在[a，b]上为增函数，那么其导函数f′(x)在[a，b]的值如何？
提示：f′(x)≥0.
2．若已知函数f(x)在[a，b]上为减函数，那么其导函数f′(x)在[a，b]的值如何？
提示：f′(x)≤0.
[解] 法一：直接法
f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，
由题意知(1,4) (1，a－1)且(6，＋∞) (a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
法三：转化为不等式的恒成立问题
f′(x)＝x2－ax＋a－1.
因为f(x)在(1,4)内单调递减，
所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．
即a(x－1)≥x2－1在(1, 4)上恒成立，所以a≥x＋1.
因为2所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1, 4)上恒成立，
又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1.
因为x＋1>7，
所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．
综上知5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
1．利用导数法解决参数问题的思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
2．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是 ( )
A．(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)
B．(－3，－1)∪(1,3)
C．(－2,2)
D．不存在这样的实数k
解析：由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根．
又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，
故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，
∴k－1<2∴1答案：B (共34张PPT)
第二课时 函数的最大(小)值
[新课程标准]
1．会求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
2．体会导数与最大(小)值的关系．
3．通过利用导数研究函数的最大(小)值，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养．
(一)教材梳理填空
1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是 的曲线，那么它必有最大值和最小值．
[微提醒]
(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．
(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件．
一条连续不断
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在区间 上的极值；
(2)将函数y＝f(x)的 与端点处的函数值 比较，其中 的一个是最大值， 的一个是最小值．
(a, b)
各极值
f(a)，f(b)
最大
最小
[微提醒] 函数极值与最值的关系
(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)函数的最大值一定是函数的极大值． ( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值． ( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x) ( )
A．最大值为4，最小值为－4
B．最大值为4，无最小值
C．最小值为－4，无最大值
D．既无最大值，也无最小值
答案：B
3．函数f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为________．
答案：1
4．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
答案：(－4，－2)
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
∴当x＝0时，f(x)取最小值0；
当x＝2π时，f(x)取最大值π.
求解函数在闭区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意以下几点：
(1)对函数进行准确求导；
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和区间端点的函数值；
(3)比较极值与区间端点函数值的大小．
2．[含参的函数最值问题]已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)．求函数y＝f(x)在区间[1,2]上的最小值．
题型二 由函数的最值确定参数的值
[学透用活]
[典例2] 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，
∴f(0)＝－29，即b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
已知函数最值求参数的步骤
(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；
(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；
(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
题型三 与最值有关的恒成立问题
[探究发现]
1．要使不等式f(x)提示：a>f(x)max.
2．要使不等式f(x)>g(x)＋k恒成立，则需满足什么条件？
提示：k<[f(x)－g(x)]min.
3．要使不等式f(x1)>g(x2)恒成立，则需满足什么条件？
提示：f(x)min>g(x)max.
4．若存在不等式a>f(x)成立，则需满足什么条件？
提示：a>f(x)min.
[学透用活]
[典例3] 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m，对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)＋2t＝－t3＋3t－1.
则g′(t)＝－3t2＋3＝－3(t－1)(t＋1)．
令g′(t)＝0，得t1＝1，t2＝－1(舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如表所示：
由表可知，g(t)在(0,2)内有最大值1.
∵h(t)<－2t＋m在(0,2)恒成立等价于m>g(t)在(0,2)内恒成立．∴m>1.即实数m的取值范围是(1，＋∞)．
恒成立问题向最值转化的方法
(1)要使不等式f(x)f(x)max，则上面的不等式恒成立．
(2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立．
二、应用性——强调学以致用
2.如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL，求它的底面半径等于多少时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．(共26张PPT)
第三课时 导数的应用问题
[新课程标准]
1．会利用导数解决与函数有关的问题．
2．会利用导数解决实际问题中的最大(小)问题．
3．通过学习，培养学生数学运算、数学建模的核心素养．
题型一 利用导数解决函数的综合问题
[学透用活]
[典例1] 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求f(x)的极值点；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
(3)法一：f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，
因为x>1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)>g(1)＝－3，
所以所求k的取值范围是为(－∞，－3]．
法二：直线y＝k(x－1)过定点(1,0)且f(1)＝0，
曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f′(1)＝－3，
由(2)中草图知要使x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值范围为(－∞，－3]．
1．利用函数的极值(最值)判断函数零点个数的方法
主要是借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负、函数单调性判断函数图象的走势，从而判断零点个数或者利用零点个数求参数范围．
2．画函数f(x)图象的一般步骤
(1)求出函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)及f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；
(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
(5)画出f(x)的大致图象．
[对点练清]
1．已知导函数f′(x)的下列信息：
当1＜x＜4时，f′(x)＞0；
当x＞4或x＜1时，f′(x)＜0；
当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.
试画出函数f(x)图象的大致形状，并判断其极值点情况．
解：当1＜x＜4时，f′(x)＞0，可知f(x)在此区间内单调递增；
当x＞4或x＜1时，f′(x)＜0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；
当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．
综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．
由图象知函数有一个极大值点、一个极小值点．
2．已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．
(1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最小值；
(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R，
由f(0)＝1－a＝2，得a＝－1，
所以f(x)＝ex－x＋1，求导得f′(x)＝ex－1.
易知f(x)在[－2,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，
所以当x＝0时，f(x)在[－2,1]上取得最小值2.
②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝ln(－a)．
在(－∞，ln(－a))上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x＝ln(－a)时，f(x)取最小值．
函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，
解得－e2综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．
题型二 几何中的最值问题
[学透用活]
[典例2] 用总长为14.8 m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
1．利用导数解决实际问题中最值的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．
2．几何中最值问题的求解思路
面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
[对点练清]
将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问：如何截可使正方形与圆面积之和最小？
题型三 利润最大、成本最低问题
[学透用活]
[典例3] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．
1．经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．
2．关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
[对点练清]
已知某型号手机总成本C万元是月产量Q万件的函数，且C＝10Q2＋200Q＋1 000,1≤Q≤30.将Q看成能取区间[1,30]内的每一个值，问：月产量Q为多少时，才能使每件产品的平均成本最低？最低平均成本为多少？
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2.如图所示，让一个木块从光滑斜面的上端自由滑落到下端．斜面
两端的水平距离为d，如何选择斜面和水平面之间的角度x，使
木块从上端滑到下端所用的时间最短？(共35张PPT)
5．3.2 函数的极值与最大(小)值
第一课时 函数的极值
[新课程标准]
1．借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值．
3．通过利用导数研究函数单调性、极值的关系，培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养．
(一)教材梳理填空
1．极小值、极大值的概念
极小值 极大值
定义 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 .我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 .我们把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值
f′(x)<0
f′(x)>0
f′(x)>0
f′(x)<0
[微提醒]
(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．
(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．
(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
(5)单调函数一定没有极值．
2．求函数y＝f(x)极值的方法
一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是 ；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是 ．
极大值
极小值
[微提醒]
一般来说，“f′(x0)＝0”是“函数y＝f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y＝f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则点x0不一定是函数y＝f(x)的极值点．
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．[多选]下列四个函数，在x＝0处取得极小值的是 ( )
A．y＝x3 B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
答案：BC
题型一 极值的图象特征
[学透用活]
[典例1] 已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)
( )
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
[解析] 由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0；x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以函数f(x)在x＝0处取得极大值，x＝2处取得极小值，x＝4处取得极大值，因此选C.
[答案] C
解决函数极值与函数、导函数图象的关系问题时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，图象在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的；
(2)对于函数的图象，重点考查函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点．
解析：观察函数y＝xf′(x)的图象可以发现，
当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，于是f′(x)>0，
故函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，A正确；
当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，于是f′(x)<0，
当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，于是f′(x)<0，
故函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，B、C错误；
由于f(x)在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故D正确．
答案：AD
题型二 运用导数解决函数的极值问题
[学透用活]
[典例2] (1)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是 ( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,0)
(2)求函数f(x)＝x2e－x的极值．
[解析] (1)选D f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
若a<－1则，f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意矛盾；
若－1若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，故选D.
(2)函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′
＝2xe－x－x2·e－x
＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
1．求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根；
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
2．已知函数极值求参数时的注意点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
[对点练清]
1．[已知极值求参数范围]若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．
解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，
则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得1答案：[1,5)
2．[已知极值求参数]已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
∴f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数．
∴f(x)在x＝－1时取得极小值，∴a＝2，b＝9.
3．[求极值]求函数f(x)＝3x3－3x＋1的极值．
题型三 函数极值的应用
[学透用活]
[典例3] 已知f(x)＝2ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)若关于x的方程f(x)＋b＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．
(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．
(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
[对点练清]
已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解：因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；当－1当x>1时，f′(x)>0.所以由f(x)的单调性可知，
f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象及直线y＝m如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知，m的取值范围是(－3,1)．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
如何用二阶导数判断极值？
能不能用一个简单的条件来判断导函数的图象是穿过x轴，还是碰一下就回头？如果碰一下就回头，那触碰点就成了导函数的极值点了，导函数的导函数在这一点就应当为0.反过来，如果导函数的导函数在此点处非零，此点就不是导函数的极值点，导函数的图象会在这里穿过x轴．
上面的讨论说明：函数f(x)在驻点c处的导数f′(c)＝0而f″(c)≠0，则x＝c是f(x)的极值点．
若f″(c)＞0，则f′(x)在x＝c附近递增到f′(c)＝0再递增，由负变正，所以f(x)由递减变为递增，在x＝c处取得极小值．
若f″(c)＜0，则f′(x)在x＝c附近递减到f′(c)＝0再递减，由正变负，所以f(x)由递增变为递减，在x＝c处取到极大值．
以函数f(x)＝ex－1－x为例．
由f′(x)＝ex－1＝0得f(x)的唯一驻点x＝0.
f″(x)＝ex＞0，说明导函数f′(x)在x＝0附近递增(穿x轴而过)，即f′(x)在x＝0附近由负变正，因此x＝0是f(x)的极值点，且f(0)＝0为极小值．
进一步，我们还可以得出f(x)＝ex－1－x≥f(0)＝0恒成立，当且仅当x＝0时等号成立．因此，ex＞1＋x对所有x≠0均成立．(共17张PPT)
高频考点一|求切线方程
[例1] 设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
[解析] 法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
法二：易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，
∵f(x)为奇函数，
∴函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，
∴a－1＝0，解得a＝1，
∴f(x)＝x3＋x，
∴f′(x)＝3x2＋1，
∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
[答案] D
求曲线的切线方程，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.
高频考点二|求切点坐标
[例2] 已知函数f(x)＝xln x在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．
[解析] ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，即f′(x0)＝1，∴ln x0＋1＝1，ln x0＝0，∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即P(1,0)．
[答案] (1,0)
求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标．
[集训冲关]
[多选]若曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标可能为 ( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(－2，－3) D．(1，－3)
解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选A、B.
答案：AB
[集训冲关]
1．若一直线与曲线y＝eln x和曲线y＝mx2相切于同一点P，则实数m＝________.
2．曲线y＝a－ln x在点(1，a)处的切线与曲线y＝－ex相切，则a＝________.
高频考点四|根据切线的性质求参数
[例4] 已知函数f(x)＝(x＋a)ln x，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行，求a的值．
一般已知曲线上一点P(x0，y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率k，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k＝f′(x0)＝tan α，其中倾斜角α∈[0，π)，根据范围进一步求得角α或有关参数的值．
2．若函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是
( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)(共31张PPT)
高频考点一|导数与函数的单调性
[例1] (2021·全国甲卷)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．
求函数的单调区间的方法步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)计算函数f(x)的导数f′(x)；
(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间．
[提醒] 求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．
1．求函数的极值的方法
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．
2．求函数的最值的方法
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．
[集训冲关]
1．函数f(x)＝1＋3x－x3 ( )
A．有极小值，无极大值 B．无极小值，有极大值
C．无极小值，无极大值 D．有极小值，有极大值
解析：f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0，得x＝±1.当x∈(－1,1)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3，故选D.
答案：D
∴[h(x)]min＝h(1)＝1>0，从而g′(x)>0，
故g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴[g(x)]min＝g(1)＝2，∴k≤2.
故实数k的取值范围为(－∞，2]．
[解] (1)f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)，
由f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.
当－21时，f′(x)>0；
当x<－2或0所以函数f(x)在(－2,0)和(1，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)和(0,1)上是减函数．
(2)证明：f(x)－g(x)＝x2ex－1－x3＝x2(ex－1－x)．
设h(x)＝ex－1－x，h′(x)＝ex－1－1，
由h′(x)＝0得x＝1，
则当x<1时，h′(x)<0，即函数h(x)在(－∞，1)上单调递减；
当x>1时，h′(x)>0，即函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
因此，当x＝1时，h(x)取最小值h(1)＝0.
即对任意实数x都有h(x)≥0，又x2≥0，
所以f(x)－g(x)≥0，
故对任意实数x，恒有f(x)≥g(x)．
1．利用导数解决不等式问题的策略
利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．其实质是这样的：
要证不等式f(x)>g(x)，则构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)，只需证φ(x)>0即可，由此转化成求φ(x)最小值问题，借助于导数解决．
2．解决恒成立问题的方法
(1)若关于x的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立，则转化为f(x)max≤m.
(2)若关于x的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立，则转化为f(x)min≥m.
(3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具．
3．证明不等式时的一些常见结论
(1)ln x≤x－1，等号当且仅当x＝1时取到；
(2)ex≥x＋1，等号当且仅当x＝0时取到；
(3)ln x0；
[集训冲关]
1．已知a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)．若对任意x∈[－2,1]，不等式f(x)<32恒成立，求a的取值范围．
解：因为f(x)＝ax(x2－4x＋4)＝ax3－4ax2＋4ax，
所以f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x2－8x＋4)
＝a(3x－2)(x－2)．
(2)证明：当a≥1时，
f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.
令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，
则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.
当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
所以g(x)≥g(－1)＝0.
因此f(x)＋e≥0.
讨论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用．问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解．
[集训冲关]
已知函数f(x)＝x3－kx＋k2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．