2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册重点题型突破不等式及基本不等式（PDF含解析））

高一不等式及基本不等式重点题型突破
考点一、不等式性质及比较大小
1．下列结论正确的是（ ）
A．若ac bc ，则 a b B．若a2 b2 ，则a b
C．若 a b， c 0，则ac bc D．若 a b ，则 a b
2．若a b 0，则下列不等式一定成立的是（ ）
b b 1 1 1
A． B．a b
a a 1 a b
b a 2a b a
C．a b D．
a b a 2b b
3．设M 2a a 2 7 ，N a 2 a 3 ，则M 与 N 的大小关系是（ ）
A．M N B．M N C．M N D．无法确定
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果ac bc ，那么 a b B．如果ac2 bc2 ，那么a b
a b
C．如果 ，那么 a b D．如果a b,c d ，那么a c b d
c c
5．已知a 0,b 0，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A．b a 0 B． a b
1 1
C．a2 ab D．
a b
6．已知 c＞1，且 x＝ c 1 － c ，y＝ c － c 1 ，则 x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随 c而定
考点二、利用不等式性质求范围
a
7．已知1 a 3， 2 b 5，则2a 3b 1的取值范围为______， 的取值范围为______．
b2
8．已知实数 x ， y 满足 4 x y 1， 1 4x y 5，则 z 9x y的取值范围是（ ）
A． z 7 z 26 B． z 1 z 20
C． z 4 z 15 D． z 1 z 15
9．已知2 x 3， 2 y 3，则下列说法正确的是（ ）
A．2x y 的取值范围为 (6,9) B． 2x y 的取值范围为 (2,3)
x 2 3
C． 的取值范围为 ( , ) D． xy的取值范围为 (4,9)
y 3 2
10．已知a b 0,1 ,a b 2,4 .则4a 2b的取值范围是（ ）
A． 1,5 B． 1,6 C． 2,7 D． 2,8
考点三、基本不等式的概念及利用基本不等式比较大小
11．已知a，b为实数，且a b 0，则下列命题错．误．的是（ ）
a b a b
A．若a 0，b 0，则 ab B．若 ab ，则a 0，b 0
2 2
a b a b
C．若 a b，则 ab D．若 ab ，则 a b
2 2
12．下列不等式恒成立的是（ ）
1
A． x 2 B．a b 2 ab
x
2
a b a
2 b2
C． D．a
2 b2 2ab
2 2
13．下列命题中正确的是（ ）
1 1
A．当 x 1时， x 的最小值为2 B．当 x 0 时， x 2
x x
1 2
C．当0 x 1时， x 的最小值为2 D．当 x 2时， x 2 2
x x
14．下列不等式正确的是（ ）
2 3 a b 4
A． x 2 3 B．a2 b2 4ab C． ab D．a 4
x2 2 a
考点四、直接利用基本不等式求最值
15．下列选项正确的是（ ）
1
A．对 x R, x 的最小值为 1
x 1
a b
B．若ab 0 ，则 的最大值为 2
b a
1 1 4
C．若a 0,b 0，则
a b ab
2 1
D．若正实数 x, y满足 x 2y 1，则 的最小值为 8
x y
16．已知实数 x 0, y 0满足 x y xy ，则 x 4y 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C． 7 D．10
1 4
17．已知 x，y都是正数，若 x y 2，则 的最小值为（ ）
x y
7 9 13
A． B． C． D．1
4 2 4
2
18．已知 a 1，则 a 的最小值为（ ）
a 1
2a
A．2 B．2 2 1 C．2 2 D．2 2 1
a 1
2 1
19．已知正实数 a，b满足2a b 6 ，则 的最小值为（ ）
a b 2
4 4 9 9
A． B． C． D．
5 3 8 4
2 1
20．若 x，y均为正实数，且 1，则 x y 的最小值为________.
2x y x 3y
2 1
21．已知正数 a，b满足a b 5，则 的最小值为___________.
a 1 2b
考点五、利用基本不等式求最值（有条件型）
22．已知 x 0, y 0，且 x y2 4 ，则（ ）
1 1 9
A． x y 的最大值为 2 B．
4x y2
的最小值为
16
C． x 4y 的最大值为 ． x2 48 D y 的最小值为 8
23．若 x 0, y 0，且 xy 2x y 6，则 x y 的最小值为_________．
24．已知a 2,b 1，且满足ab a 2b 1，则2a b的最小值为_______.
25．已知正数 a ，b 满足2a b 1，则（ ）
1
2 2 1A．ab的最大值为 B．4a b 的最小值为
8 2
1 2 1
C． 的最小值为 8 D．a 的最小值为 2
a b a
2a 1
26．已知正实数 a b 满足a b 2 ，则 的最小值是（ ）
b a
5 9
A． B．3 C．2 D．
2 2
x2 3x 3
27．函数 y (x 1) 的最大值为（ ）
x 1
A．3 B．2 C．1 D．-1
xy
28．设正实数 x 、 y 、 z 满足4x2 3xy y2 z 0，则 的最大值为（ ）
z
A． 0 B．2 C．1 D．3
x 1
29． x 1 的最大值为______.
x2 4x 7
3 x x2
30．当 x 0时，函数 y 的最小值为（ ）
1 x
A．2 3 B．2 3 1
C．2 3 1 D．4
考点六、利用基本不等式解决恒成立问题
1 1
31．若不等式 0对任意 a b c恒成立，则实数 的取值范围是 （ ）
a b b c c a
A． ，4 B． ，4 C． 4， D． 4，
4 1
32．若两个正实数 x ，y 满足 1，且不等式 x 4 y m2 6m恒成立，则实数m 的取值范围是__________．
x y
3 1 m
33．已知a 0,b 0，若不等式 恒成立，则m 的最大值为________．
a b a 3b
2x
34．若对任意 x 0,a 2 恒成立，则实数 a的取值范围是（ ） x x 1
2
A．[ 1, ) B．[3, ) C． , D． ( ,1]
3
考点七、不等式和基本不等式的综合应用
35．下列结论正确的是（ ）
1 1
A．若 a b，则ac bc B．若 a b，则
a b
C．若 a b，则 a c b c D．若 a b，则a2 b2
1 2
36．已知正实数 x 、 y 满足 x 2y 2，则 的取值可能为（ ）
x y
7 11 16 21
A． B． C． D．
2 3 5 4
37．下列结论中正确的是（ ）
A．若ac bc ，则 a b
B．a2 b2 2ab
1
C．函数 y x (x 1) 最小值为3
x 1
2 8
D．若a b 6，则 的最小值为3
a b
1 1
38．已知实数a 0，b 0， 1，则a 4b的值可能是（ ）
a 1 b
A．7 B．8 C．9 D．10
a2 b2
39．已知 a b，且ab 8，则 2的最小值是（ ）
a b
A．6 B．8 C．14 D．16
2 2a 1
40．若对任意正数 x ，不等式 2 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） x 4 x
1 1 1
A． 0, B． , C． , D． ,
4 4 2
41．下列说法正确的是（ ）
1
A．若 x 2，则函数 y x 的最小值为 3
x 1
3 1
B．若 x 0， y 0， 5，则5x 4y的最小值为 5
x y
C．若 x 0， y 0， x y xy 3，则 xy的最小值为 1
1 2
D．若 x 1， y 0， x y 2，则 的最小值为3 2 2
x 1 y
42．已知实数 x，y满足1 x 6，2 y 3，则（ ）
A．3 x y 9 B． 1 x y 3
1 x
C．2 xy 18 D． 2
2 y
43．若a 0，b 0且2ab 2a b 3，则2a b的最小值为______．
44．若正数 a ，b ，满足a 2b 1．
(1)求 ab的最大值；
4 1
(2)求 的最小值．
a 1 b
参考答案：
1．C
【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.
【详解】A 选项，ac bc ，如 2 1 1 1 ，而 2 1，所以 A 选项错误.
B 选项，a2
2
b2，如 1 02，而 1 0，所以 B 选项错误.
C 选项，a b,a b 0,c 0，则ac bc a b c 0，所以ac bc，所以 C 选项正确.
D 选项， a b ，如 1 2 ，而1 2，所以 D 选项错误.
故选：C
2．C
【分析】对 A，B，C，D 选项作差与 0 比较即可得出答案.
b b 1 b a b b 1
【详解】对于 A，因为a b 0，故 0，即 ，故 A 错误；
a a 1 a(a 1) a a 1
1 1 1
对于 B，a b (a b) 1 ，无法判断，故 B 错误；
a b ab
b a a b
对于 C，因为a b 0，a b (a b) 1 0，故 C 正确；
a b ab
2a b a (b a)(b a) 2a b a
对于 D，因为a b 0，故 0，即 ，故 D 错误．
a 2b b (a 2b)b a 2b b
故选：C．
3．A
【分析】利用作差法解出M N 的结果，然后与 0 进行比较，即可得到答案
【详解】解：因为M 2a a 2 7 ， N a 2 a 3 ，
2
2
1 3
所以M N 2a 4a 7 a2 5a 6 a2 a 1 a 0，
2 4
∴M N ，
故选：A
4．B
【分析】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案
【详解】解：对于 A，如果 ac bc ，c 0，那么a b ，故 A 错误；
对于 B，易得c 0，所以c2 0，所以ac2 bc2 化简得 a b，故 B 正确；
a b
对于 C，如果 ，c 0，那么a b ，故 C 错误；
c c
对于 D，因为a 1,b 0,c 1,d 0满足a b,c d ，那么a c b d 0，故 D 错误；
故选：B
5．ACD
【分析】由不等式的性质可判断 ACD，由特值法可判断 B．
【详解】若 a 0，b 0，则 a 0，
则b a 0，故 A 成立；
a b 不一定成立，如a 5,b 6，故 B 不成立；
∵ a 0，b 0，
∴a2 0 ab，故 C 成立，
因为a 0,b 0
1 1 1 1
所以 0 ， 0，则 ，成立，故 D 正确，
a b a b
故选：ACD．
6．C
x
【分析】应用作商法比较 ,1的大小关系即可.
y
x c 1 c c c 1
【详解】由题设，易知 x，y＞0，又 1，
y c c 1 c 1 c
∴x＜y.
故选：C.
1 3
7． 12,1 ,
25 4
a
【分析】分别根据2 2a 6， 15 3b 6可得2a 3b 1的取值范围，再根据1 a 3 与4 b2 25可得 的
b2
范围即可.
【详解】∵1 a 3，∴2 2a 6．
∵ 2 b 5，∴ 15 3b 6，∴ 12 2a 3b 1 1．
1 1 1 1 a 3
∵1 a 3，∴1 a 3 ．∵2 b 5，∴4 b2 25，∴
25 b2
，∴ ．
4 25 b2 4
1 3
故答案为： 12,1 ； , 25 4

8．B
8 5
【分析】令m x y，n 4x y，可得 z 9x y n m，再根据m,n的范围求解即可.
3 3
n m
x 8 5 5 5 20
【详解】令m x y
3
，n 4x y，则 ，所以 z 9x y n m．因为 4 m 1，所以 m ．因
n 4m 3 3 3 3 3y
3
8 8 40
为 1 n 5，所以 n ，所以 1 z 20 .
3 3 3
故选：B
9．ACD
【分析】根据不等式的性质，对各个选项进行计算，即可求出结果.
【详解】对于A ，因为2 x 3，所以 4 2x 6，所以2x y 的取值范围为 (6,9)，故A 正确；
对于B，因为2 x 3，2 y 3，所以4 2x 6， 3 y 2，所以 2x y 的取值范围为 (1,4)，故B不正确；
1 1 1 x 2 3
对于C ，因为2 y 3，所以 ，又2 x 3，所以 的取值范围为 ( , ) ，故C 正确；
3 y 2 y 3 2
对于D，因为2 x 3，2 y 3，所以 xy的取值范围为 (4,9) ，故D正确；
故选：ACD.
10．C
【分析】用a b,a b表示4a 2b，由此求得4a 2b的取值范围.
【详解】因为a b 0,1 ,a b 2,4 ，且4a 2b a b 3 a b ，
而a b 2,4 ,3 a b 0,3 ，
所以2 0 4a 2b 4 3，即4a 2b 2,7 .
故选：C
11．C
【分析】对于 A，利用基本不等式判断，对于 B，由已知结合完全平方式判断，对于 C，举例判断，对于 D，利用
基本不等式判断
a b
【详解】对于 A，由基本不等式可知当a 0，b 0时， ab ，当且仅当a b时取等号，所以 A 正确，
2
a b a b 0 2
对于 B，因为 ab ，a b 0，所以 ，且 a b 0，所以a 0，b 0，当且仅当a b时取等
2 ab 0
号，所以 B 正确，
a b 5
对于 C，若a 1,b 4，则 ab 4 2，所以 C 错误，
2 2
a b a b 0 2
对于 D，因为 ab ，a b 0，所以 ，且 a b 2 ab 0，所以a 0,b 0， a b 0 ，所以
2 ab 0
a 0,b 0且 a b，所以 D 正确，
故选：C
12．D
【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.
【详解】解：对于 A 选项，当 x 0 时，不等式显然不成立，故错误；
对于 B 选项，a b 2 ab 成立的条件为a 0,b 0，故错误；
对于 C 选项，当a b 0时，不等式显然不成立，故错误；
2
对于 D 选项，由于a2 b2 2ab a b 0，故a2 b2 2ab，正确.
故选：D
13．BD
【分析】由基本不等式逐项判断即可得解.
1 1
【详解】对于 A，当 x 1时， x 2 x 2 ，当且仅当 x 1时，等号成立，
x x
1
所以当 x 1时， x 2，故 A 错误；
x
1 1 1
对于 B，当 x 0 时， x x 2 x 2，
x x x
当且仅当 x 1时，等号成立，故 B 正确；
1 1
对于 C，当0 x 1时， x 2 x 2 ，当且仅当 x 1时，等号成立，
x x
1
所以当0 x 1时， x 2，故 C 错误；
x
2 2
对于 D，当 x 2时， x 2 x 2 2 ，当且仅当 x 2时，等号成立，
x x
故 D 正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
14．A
【解析】根据基本不等式的条件，公式依次判断选项，得到正确答案.
2 3 3 3 2 3
【详解】A. x 0, 02 ， x
2 2 x2 2 3 ，等号成立的条件是当且仅当 x 时，即 x2 3 .
x x2 x2 x
2
B.当a 1,b 1时，a2 b2 4ab，故不成立；
a b
C.当a 0,b 0时， ab ，故不成立；
2
4 4
D.当 a 0时，a 4不成立，只有当a 0时，a 4成立，故不成立.
a a
故选：A
【点睛】本题考查基本不等式的判断，属于基础概念题型.
15．BD
【分析】根据特殊值 A，由均值不等式判断 BC，根据“1”的技巧及均值不等式判断 D.
1
【详解】对 A，取 x 2， x 3 1，故 A 错误；
x 1
a b a b a b
对 B，ab 0 ，则 ( ) 2 ( ) ( ) 2，当且仅当a b 时等号成立，故 B 正确；
b a b a b a
1 1 2 2 4
对 C，因为a 0,b 0，所以 ，而 ，故 C 错误；
a b ab ab ab
2 1 2 1 4y x 4y x 4y x 1 1
对于 D， ( )(x 2y) 4 4 2 8，当且仅当 ，即 x , y 时等号成立，故 D
x y x y x y x y x y 2 4
正确.
故选：BD
16．B
【分析】利用基本不等式“1”的代换求 x 4y 的最值，注意等号成立条件.
1 1
【详解】由题设， 1，
x y
1 1 4y x 4y x
所以 x 4y (x 4y)( ) 5 5 2 9，
x y x y x y
3
当且仅当 x 3, y 时等号成立，
2
所以 x 4y 的最小值为9 .
故选：B
17．B
【分析】利用基本不等式求解.
1 4 1 4 x y 1 y 4x
【详解】因为 x y 2，所以 1 4 ．
x y x y 2 2 x y
y 4x y 4x
因为 x，y都是正数，由基本不等式有： 2 4，
x y x y
1 4 1 y 4x 9 y 2x,
所以 1 4 ，当且仅当
x y 2 x y 2 x y 2,
2
x ,
3
即 时取“＝”．故 A，C，D 错误.
4y
3
故选：B．
18．D
【分析】配凑后直接利用基本不等式化简求解即可．
2 2 2 2
【详解】解：a 1，则 a a 1 1 2 (a 1) 1 2 2 1，当且仅当 a 1 即a 2 1时取等号．
a 1 a 1 a 1 a 1
故选：D．
19．C
【分析】利用乘 1 法即得.
【详解】∵2a b 6，
2 1 4 1 1 4 1
∴ 2a b 2
a b 2 2a b 2 8 2a b 2
1 2a 4 b 2 1 9
4 1 5 2 4 ，
8 b 2 2a 8 8
2a 4 b 2 2 8
当且仅当 ,即b ， a 时，取等号.
b 2 2a 3 3
故选：C.
9
20． ## 1.8
5
2 1 4 1
【分析】令 x y t，则 y t x，由 1得 1,根据
2x y x 3y 2x 2t 3t 2x
4 1 4(3t 2x) 2x 2t
(2x 2t) (3t 2x) 5t ，得5t 5 ，再根据基本不等式可求出结果.
2x 2t 3t 2x 2x 2t 3t 2x
【详解】令 x y t，则 y t x，
2 1 2 1 2 1
由 1得 1，即 1，
2x y x 3y 2x t x x 3t 3x x t 3t 2x
4 1
所以 1，
2x 2t 3t 2x
因为 x 0, y 0，所以2x 2t 0 ，3t 2x 0，
4 1
所以 (2x 2t) (3t 2x) 5t ，
2x 2t 3t 2x
4(3t 2x) 2x 2t
所以4 1 5t ，
2x 2t 3t 2x
4(3t 2x) 2x 2t 4(3t 2x) 2x 2t
所以5t 5 2 4，
2x 2t 3t 2x 2x 2t 3t 2x
9 6 3
所以5t 9 ，即 t ，当且仅当 x ， y 时，等号成立.
5 5 5
9
故答案为： .
5
3
21． ##0.75
4
2 1 1 2 1
【分析】结合a b 5，将 转化为 a 1 b ，再结合基本不等式求解即可.
a 1 2b 6 a 1 2b
【详解】因为a b 5，所以
2 1 1 2 1 1 a 1 2b 1 1 a 1 2b 1 3
a 1 b 2 2 2 ，
a 1 2b 6 a 1 2b 6 2b a 1 2 6 2b a 1 2

4
当且仅当a 1 2b，即a 3,b 2时，等号成立.
3
故答案为： .
4
22．ABD
【分析】A 选项，由基本不等式直接求出 x y 的最大值；B 选项，用基本不等式“1”的妙用求解最值；C 选项，用
含 y 的式子表达 x，配方后结合 y 的取值范围求最值；D 选项，使用
【详解】由4 x y2 2 xy，所以 xy 2，当且仅当 x y
2 2时等号成立，所以 A 正确；
1 1 1 1 1 2 1 5 y
2 x 1 5 y2 x 9 y2 x
4 2 6因为 2 2 x y 2 2 2 ，当且仅当 ，即 x , y 4x y 4 4x y 4 4 4x y 4 4 4x y 16 4x y
2
3 3
时等号成立，所以 B 正确；
2
因为 x 4y 4 y2 4y 8 y 2 ，且0 y 2，所以 x 4y 无最大值，所以 C 不正确；
2
x y2 ，两边平方得： 2 2 2 4 2 4 4 2x y x 2xy y 2 x2 y4 ，所以 x y 8，当且仅当 x y 2时，等号成立，
所以 D 正确，
故选：ABD
23．3
4
【分析】由已知得 x 1 ，代入 x y ，然后由基本不等式得最小值．
y 2
4
【详解】因为 xy 2x y 6，所以 x 1 ，
y 2
4 4 4
x y 1 y (y 2) 1 2 (y 2) 1 3，当且仅当 x 3, y 0时，等号成立．
y 2 y 2 y 2
故答案为：3．
24．2 6 5 ##5 2 6
a 1 3 3 3
【分析】由题意，ab a 2b 1 b 1 ，故2a b 2a 1 2(a 2) 5，结合均值不等
a 2 a 2 a 2 a 2
式，即得解
【详解】∵a 2,b 1，且满足ab a 2b 1，
a 1 3
∴b 1 ，
a 2 a 2
3 3 3
2a b = 2a 1 2 a 2 5 2 2 a 2 5 2 6 5，
a 2 a 2 a 2
3
当且仅当2(a 2) 时，2a b的最小值为2 6 5 .
a 2
故答案为：2 6 5
25．ABC
【分析】A、B、D 应用基本不等式求最值即可，C 应用基本不等式“1”的代换求最值，注意等号成立条件.
1 1
【详解】A：由2a b 1 2 2ab ，则ab ，当且仅当2a b 时等号成立，正确；
8 2
2
2 2 (2a b) 1 1B：由4a b ，当且仅当2a b 时等号成立，正确；
2 2 2
1 2 1 2 b 4a b 4a 1
C：由 ( )(2a b) 4 4 2 8，当且仅当2a b 时等号成立，正确；
a b a b a b a b 2
1 1 1
D：由a 2 a 2 ，当且仅当a 1时等号成立，而2a b 1且a ，b 0，所以等号取不到，即a 2，无
a a a
最小值，错误.
故选：ABC
26．A
2a 1 4 1
【分析】由题可得 2，然后利用“乘 1 法”即得.
b a b a
【详解】∵正实数a b 满足a b 2 ，
2a 1 2 2 b 1 4 1
∴ 2，
b a b a b a
4 1 1 4 1 1 4a b 1 4a b 9
又 a b 4 1 5 2 ，
b a 2 b a 2 b a 2 b a 2
4a b 2 4
当且仅当 ，即a ,b 等号成立，
b a 3 3
2a 1 9 5
∴ 2 .
b a 2 2
故选：A.
27．D
【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；
x2 3x 3 (x 1)2 (x 1) 1
【详解】 y
x 1 x 1
1
[ (x 1) ] 1
(x 1)
1
2 [ (x 1)]( ) 1 1，
x 1
1
当且仅当 x 1 1 ,即 x 2等号成立.
x 1
故选：D.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.
28．C
xy 1
xy
【分析】计算得出 z 4x y ，利用基本不等式可求得 的最大值.
3 z
y x
【详解】因为正实数 x 、 y 、 z 满足4x2 3xy y2 z 0，则 z 4x2 3xy y2 ，
xy xy 1 1
1
2
则 z 4x 3xy y
2 4x y
3 4x y ，当且仅当 y 2x 0时取等号. 2 3
y x y x
xy
故 的最大值为1.
z
故选：C.
1
29．
2
t 1

【分析】令 x 1 t ， t 0，则可将原式化为 t2 2t 4 4 ，再利用基本不等式即可求出其最大值.
t 2
2
【详解】令 x 1 t ，则 x t 1， t 0，
x 1 t t 1 1 1

x2
4
所以 4x 7 (t 1)
2 4(t 1) 7 t 2 2t 4 4 2
t 2 4 ，当且仅当 t ，即 t 2时，等号成立. 2 t 2 t
t t
x 1 1
所以 x 1 的最大值为 .
x2 4x 7 2
1
故答案为： .
2
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活
变形，配凑出和或积为常数的形式.
30．B
3 x x2 3 x x2 3 3
【分析】使用变量分离，将 y 化为 y x x 1 1，使用基本不等式解决.
1 x 1 x 1 x 1 x
3 x x2 3 3 3
【详解】因为 x 0，所以 y x x 1 1 2 x 1 1 2 3 1，当且仅当
1 x 1 x 1 x 1 x
3
x 1 ，即 x 3 1时，等号成立．
1 x
故选：B．
31．A
1 1
【分析】根据已知条件及分离参数将不等式恒成立转为为 a c ，再利用基本不等式即可求
a b b c min
解.
1 1
【详解】由不等式 0对任意 a b c恒成立转化为
a b b c c a
1 1
a c ，其中 a b c ,即可.
a b b c min
b c a b
a b c, a b 0,b c 0, 0, 0，
a b b c
1 1 1 1
a c a b b c
a b b c

a b b c
b c a b b c a b
2 2 2 · 4
a b b c a b b c
b c a b a c
当且仅当 ，即b 时，等号成立，
a b b c 2
即 4，
所以实数 的取值范围是 ，4 .
故选：A.
32． 2,8
【分析】根据题意，只要m2 6m ( x 4 y)min 即可，再根据基本不等式中的“1”的妙用，求得 ( x 4 y)min 16，
解不等式m2 6m 16 0即可得解.
【详解】根据题意先求 x 4 y 得最小值，
由 x 0, y 0，
4 1
得 x 4 y ( x 4 y )( )
x y
16 y x 16 y x
4 4 8 2 8 8 16，
x y x y
所以若要不等式 x 4 y m2 6m恒成立，
只要16 m2 6m，即m2 6m 16 0，
解得 2 m 8，所以m 2,8 .
故答案为： 2,8
33．12
【分析】根据将m 分离出来，基本不等式求最值即可求解.
3 1 m 3 1 9b a
【详解】由 得m a 3b 6．
a b a 3b a b a b
9b a 9b a
又 6 2 9 6 12 ，当且仅当 ，即当a 3b时等号成立，
a b a b
∴m 12，∴m 的最大值为12．
故答案为：12
34．C
2x 2x
【分析】依题意a 2 ，利用基本不等式求出 2 的最大值，即可得解；
x x 1 max x x 1
2x 2 2 2

2 1 2x
【详解】解：因为 x 0，所以 x x 1 1 1 3x 1 ，当且仅当 x 即 x 1时取等号，因为a 2 x 1 x x2 x 1
x x
2 2
恒成立，所以a ，即 a , ；
3 3
故选：C
35．C
【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.
【详解】对于 A;若 a b，c 0时，则ac bc，故 A 错；
1
对于 B;若取a 1,b 0，则 无意义，故 B 错；
b
对于 C；根据不等式的可加性可知：若 a b，则 a c b c ，故 C 正确；
对于 D;若取a 1,b 2，但a2 b2 ,故 D 错；
故选：C
36．D
1 2
【分析】利用基本不等式求得 的最小值判断.
x y
【详解】解：因为正实数 x 、 y 满足 x 2y 2，
1 2 1 1 2 1 2y 2x
所以 x 2y 5 ，
x y 2 x y 2 x y
1 2y 2x 9
5 2
，
2 x y 2
2y 2x 2
当且仅当 ，即 x y 时，等号成立，
x y 3
故选：D
37．C
【分析】根据不等式的性质、基本不等式确定正确选项.
【详解】A 选项，若ac bc,c 0，则a b ，A 选项错误.
B 选项，根据基本不等式可知a2 b2 2ab，当且仅当a b时等号成立，B 选项错误.
C 选项， x 1, x 1 0，
1 1 1 1
x x 1 1 2 x 1 1 3，当且仅当 x 1 , x 2时等号成立，C 选项正确.
x 1 x 1 x 1 x 1
2 8 2 8
D 选项，当a 2,b 8时，a b 6， 0，D 选项错误.
a b 2 8
故选：C
38．BCD
【分析】根据题中条件配凑，再运用“1”的代换与基本不等式求出原式范围即可得到答案.
1 1
【详解】因为a 0，b 0， 1，
a 1 b
1 1 4b a 1
所以a 4b a 1 4b 1 a 1 4b 1 1 4 1
a 1 b a 1 b
4b a 1
a 2
4b a 1 a 1 b
4 2 8 ，当且仅当 ，即 3 时取等号，
a 1 b 1 1 b 1 2
a 1 b
所以a 4b 8，可能为 8,9,10.
故选：BCD
39．A
【分析】利用基本不等式可求解.
2 2 2 a b 2ab
【详解】因为ab 8，所以 a b 16 a b .因为 a b，所以a b 0，所以
a b a b a b
16 16 a b2
a b 2 (a b) 8 ，即 8，
a b a b a b
a2 b2
当且仅当a b 4时，等号成立，故 2的最小值是 6.
a b
故选：A
40．B
2 2
2a 1
【分析】原不等式即 4 ，再利用基本不等式求得 4 的最大值，可得a 的范围．
x x
x x
2x 2
2a 1
【详解】依题意得，当 x 0时， x2 4 4 恒成立，
x
x
4
又因为 x 4，当且仅当 x 2时取等号，
x
2
1
所以， 4 的最大值为 ，
x 2
x
1 1
所以 2a 1 ，解得a 的取值范围为[ , )．
2 4
故选：B
41．D
【分析】选项 A：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，
选项 B：由基本不等式进行判断即可，
选项 C：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，
y 2 x 1
选项 D：对式子进行变形得到1 2，再利用基本不等式进行判断即可．
x 1 y
1 1 1 2
【详解】解：选项 A： y x x 1 1 2 x 1 1 3，当且仅当 x 1 1时可以取等号，
x 1 x 1 x 1
但题设条件中 x 2，故函数最小值取不到 3，故 A 错误；
3 1
选项 B：若 x 0， y 0， 5，
x y
1 3 1 1 5x 12y 1 5x 12y 19 4 15 5x 12y
则5x 4y 5x 4y 19 19 2 ，当且仅当 时不等式可
5 x y 5 y x

5 y x 5 y x
取等号，故 B 错误；
选项 C：3 xy x y 2 xy xy 2 xy 3 0当且仅当 x y时取等号，
令 xy t t 0 ， t2 2t 3 0，解得 3 t 1，即0 xy 1，故 xy的最大值为 1，故 C 错误；
选项 D： x y 2， x 1 y 1，
1 2 1 2 y 2 x 1 y 2 x 1
· x 1 y 1 2 3 2 3 2 2，
x 1 y x 1 y x 1 y x 1 y
当且仅当 y 2x 2 时取等号，
x 2
又因为 x y 2，故 时等号成立，
y 2 2
1 2
即 最小值可取到3 2 2 ， 故 D 正确．
x 1 y
故选：D．
42．AC
【分析】直接由不等式的性质依次判断 4 个选项即可.
【详解】由1 x 6，2 y 3，知3 x y 9，2 xy 18，A、C 正确；
1 1 1 1 x
3 y 2，故 2 x y 4，B 错误； ，故 3，D 错误.
3 y 2 3 y
故选：AC.
43．6
2
2a b
【分析】利用基本不等式可得2a b 3 ，设 x 2a b 0，解不等式即可求得结果.
2
2 2
2a b 2a b
【详解】 2ab （当且仅当2a b时取等号）， 2a b 3 ，
2 2
x2
设 x 2a b 0，则 x 3 ，解得： x≤ 2（舍）或 x 6 ，
4
即 2a b 6， 2a b 6 .
min
故答案为：6 .
1
44．(1)
8
(2)3 2 2
【分析】（1）对a 2b 1直接利用基本不等式，即可得出ab的最大值；
4 1 1 4 2
（2）将a 1看作一个整体，由 (a 1 2b)，展开后，再利用基本不等式，即可得出答案.
a 1 b 2 a 1 2b
（1）
因为a 2b 2 2ab ，所以1 2 2ab ，当且仅当a 2b时等号成立，
1 1 1
所以当a ，b 时， ab ．
2 4 max 8
（2）
4 1 1 4 2 1 8b a 1
(a 1 2b) 6 3 2 2 ，
a 1 b 2 a 1 2b 2 a 1 b
8b a 1
当且仅当 时等号成立，
a 1 b
4 1
∴当 a 3 2 2 ，b 2 1时， 3 2 2 ．
a 1 b min