13.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
人教版 八年级上册
13.1.2　线段的垂直平分线的性质
第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定
情景导入
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
什么叫线段的垂直平分线？
想一想
合作探究
知识板块一　线段的垂直平分线的性质
探究
如图, 直线l垂直平分线段
AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点
A与点B的距离之间的数量关系.
A
B
l
P1
P2
P3
可以发现，点 P1，P2, P3,…到点A的距离与它们
到点B的距离分别相等.如果把线段AB沿直线l对折，
线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段 P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.
由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质.
例1
如图,直线l⊥AB，垂足为C，AC = CB，点P在l上.
求 证PA=PB.
证明：∵ l ⊥AB，
∠PCA=∠PCB.
又 AC=CB, PC=PC，
∴△ PCA ≌△ PCB (SAS).
∴PA=PB.
A
B
P
C
l
合作探究
知识板块二　线段的垂直平分线的判定
反过来，如果PA=PB, 那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
通过证明可以得到：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
例2
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.
求证：直线AD是CE的垂直平分线．
分析：根据角平分线的性质可得CD＝DE，所以点D在CE的垂直平分线上，只要再证点A也在CE的垂直平分线上，就能证明．
证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上；
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
AD＝AD，
CD＝ ED，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，
∴点A也在CE的垂直平分线上，
∴直线AD是CE的垂直平分线．
利用判定定理要证一条直线是线段的垂直平分线，必须证明这条直线上有两点到线段两端点的距离相等(即证有两点在线段的垂直平分线上)．
合作探究
知识板块三　作线段的垂直平分线
我们已能用尺规完成：
(1)作一条线段等于已知线段；
(2)作一个角等于已知角；
(3)作一个角的平分线；
(4)经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可.
那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？如何作出线段的垂直平分线？
想一想
基本作图 作线段的垂直平分线.
已知：线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线.
A
B
C
D
作法：
（2）作直线CD.
CD即为所求.
（1）分别以点A，B为圆心，
以大于 AB的长为半径
作弧，两弧交于C，D两点.
当堂演练
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
B
2.如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？
解：如图．连接AB，作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点即为所求水泵站的位置．
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)用尺规在边BC上求作一点P，使PA＝PB；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接AP，当∠B为多少度时，AP平分∠CAB.
解：(1)如图；
解： (2)∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠B.
∵AP平分∠CAB，∴∠PAB＝∠PAC， ∴∠PAB＝∠PAC＝∠B.
∵∠ACB＝90°，
∴∠PAB＋∠PAC＋∠B＝90°，
∴3∠B＝90°，即当∠B＝30°时，AP平分∠CAB.
板书设计
线段的垂直平分线的性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等.
判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的集合定义：
线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合.