北师大版数学九年级下册第三章 圆 教案

第三章 圆
3.1圆
一、教学目标
知识与技能
1．圆的相关概念；
2．点与圆的位置关系．
过程与方法
1． 经历形成圆的概念的过程，经历探索点和圆位置关系的过程。
2． 理解圆的概念，理解点和圆的位置关系，并能根据条件画出符合条件的点或图形，初步形成集合的现念。
情感态度与价值观
1． 让学生在经历圆的概念的形成过程中，通过探索与交流，进一步发展学生探索交流的能力和数学表达能力。
2．在学习中体会圆的实际应用，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生的定义理论，为依据分析问题、解决问题的良好习惯。
二、教学过程分析
第一环节：情境引入（实际生活原感受，概括定义）
录用一幅大会的开幕词，展示几种车子的图形，留心观察，车轮的形状，以及一幅游戏的画面，这几幅图从不同的角度去选用，从离自己较远的方面到涉及到自己有关的方面，逐渐引入。
第二环节：探讨研究
通过学生的动手实践，向圆形靶飞镖，直至出现有点出现在圆周上，圆内、圆外为止，然后通过选用有代表性的五个点A、B、C、D、E，来研究点和圆的位置关系。
第三环节：练习理解。
1、体育教师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个半径为3m圆，你能帮他想想办法吗？
2、小明和小华正在练习投铅球，小明投了5.2m，小华投了6.7m，他们投的球分别落在下图中哪个区域内？
3、如图，一根5m长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域。
4、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点0，它的四个顶点A、B、C、D是否在以点0为圆心的一个圆上，为什么？
5、如图，已知△ABC中，BD，CE是高，求证：A、B、C、D、E在同一个圆上。
6、设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：
（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形。
（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。
第四环节：链接生活
1、举出成圆形的一些物体的实例，并研讨人们为什么将它们制作成圆形。
2、下图是一张靶纸，靶纸上的1、2…10表示击中该靶区的环数，靶中每个圆环的宽度相等，正中小圆的半径与各圆环的宽度相等，已知小明射击了一次，且已肯定中靶，求小明此次击中10环的概率。
3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超四级，则称为受台受影响。
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；
（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
第五环节：课堂小结
师生互相交流总结点和圆的三种位置关系；怎样判断其位置关系，日常生活中利用圆的例子，与圆有关计算、证明的题目等。
活动目的：
鼓励学生结合本课的学习，谈自己的收获与感性（学生畅所欲言，教师给予鼓励），包括日常生活中利用圆的例子，点和圆的位置关系，如何判断，怎样利用圆的知识计算、证明。
实际教学效果：
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获：通过飞镖很容易理解点和圆的位置关系，观察或量度可判定其关系；同学们互相讲解，加深了印象，也使大家学到了许多日常的知识。
第六环节：布置作业
P68页习题3.1
三、教学反思
对于较为显浅的问题学生往往反应较快，容易接受，但要运用合情的推理和初步演泽推理时，学生通常没有了激情，甚至没有信心和勇气。因此教师及时适当的启发、引导、鼓励、明确证明的意义和证明的过程要步步有据，帮助学生，树立克服困难的信心和毅力。
3.2 圆的对称性
学习目标：利用旋转的方法得到圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我探究圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理。
学习重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理及应用
学习难点：。圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理的证明
学习过程：
课前热身：
请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答： （投影）它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定在一起。 然后将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个圆还重合吗
自主学习：
1、圆的旋转不变性
归纳：圆具有旋转不变性,即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆重合。因此,圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例.
2、做一做
按下面的步骤做一做
（1）、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O 和⊙O′上分别作相等的圆心角 ∠A O B和∠A′O′B′,然后将两圆的圆心固定在一起。
（2）、将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与O′A′重合。
你能从中发现哪些等量关系 说一说你的理由.
3、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
4、想一想：
（1）、在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗 你是怎么想的？
（2）、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？
5、推理格式：
(1)∵⊙O 和⊙O′是等圆,且∠ A O B= ∠ A′O′B′,
∴A B=A′B′，A B= A′B′.
（2）∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′,
∴ A B=A′B′，∠ A O B= ∠ A′O′B′.
（3）∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′,
∴ A B=A′B′，∠ A O B= ∠ A′O′B′.
6、归纳：
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
7、例题 P71
课堂小结：
利用旋转的方法得到圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我探究圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理。
反馈检测：P72随堂练习
布置作业：p72 习题3.2
3.3垂径定理
一、教学目标
知识与技能：
1．理解圆的轴对称性及其相关性质；
2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
过程与方法：
1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
情感态度与价值观：
1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
教学难点：和圆有关的相关概念的辨析理解。
三、教学过程分析
第一环节 课前准备
复习圆的对称性有关概念
第二环节 创设问题情境，引入新课
教师提出问题：轴对称图形的定义是什么？我们是用什么方法研究了轴对称图形？学生回忆并回答。
第三环节 讲授新课
（1） 想一想圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的？
（2） 认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念。
（3） 探索垂径定理。
做一做
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图
问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。
总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
（4） 讲解例题及完成随堂练习。
[例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
练习：完成课本P76随堂练习：1
（5） 探索垂径定理逆定理并完成随堂练习。
想一想：
如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．
同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）上图是轴对称图形吗 如果是，其对称轴是什么 （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。
总结得出垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
练习：完成课本P76随堂练习：2
第四环节 课堂小结
师生互相交流总结：
1. 本节课我们探索了圆的轴对称性；
2. 利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；
3. 垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
第五环节 课后作业
课本P76习题3.3
四、教学反思
本教学设计在实试过程中，时间会较为紧迫，因此，相应的练习安排得较少，这样可能会影响了学生对新定理的应用的训练，同时教师要鼓励学困生敢于发表自己的看法，并帮助他们去记忆和运用垂径定理及其逆定理。
3．4圆周角和圆心角的关系（一）
一、教学目标
知识与技能
1． 了解圆周角的概念。
2．理解圆周角定理的证明。
过程与方法
1．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。
2．体会分类、归纳等数学思想方法。
情感态度与价值观
通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法。
教学重点：圆周角概念及圆周角定理。
教学难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。
二、教学过程分析
第一环节 创设问题情境，引入新课
通过一个问题情境，引入课题
情境：在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的？为什么呢？你能观察到这三个角有什么共同特征吗
第二环节 新知学习
（一）圆周角的定义的学习
为解决这个问题我们先来研究一种角。观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？
可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。
请同学们考虑两个问题：
（1）顶点在圆上的角是圆周角吗？
（2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？
判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角？并说明理由。
通过学生完成练习自己总结出圆周角的特征。
圆周角有两个特征：
①角的顶点在圆上；
两边在圆内的部分是圆的两条弦。
（二）圆周角定理的学习
我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。
请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。
归纳同学们的意见我们得到以下几种情况：
引导学生通过小组交流讨论的方式，分别考虑这三种情况下，∠ABC和∠AOC之间的大小关系．
由此得到：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
第三环节 练习
P80页随堂练习
第四环节 课堂小结
到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个 它们各有什么特点 相互之间有什么关系
第五环节 布置作业P80页习题3.4
三、教学反思
把射门游戏问题抽象为数学问题，研究圆周角和圆心角的关系，研究圆周角和圆心角的关系，应该说，学生解决这一问题是有一定难度的，尽管如此，教学时仍应给学生留有时间和空间，让他们进行思考。让学生经历观察、想象、推理、操作、描述、交流等过程，多种角度直观体验数学模型，而这也正符合本章学习的主要目标。
3．4圆周角和圆心角的关系（二）
一、教学目标
知识与技能
1． 掌握圆周角定理几个推论的内容。
2． 会熟练运用推论解决问题。
过程与方法
1．培养学生观察、分析及理解问题的能力。
2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式。
情感态度与价值观
培养学生的探索精神和解决问题的能力
教学重点：圆周角定理的几个推论的应用。
教学难点：理解几个推论的“题设”和“结论”。
三、教学过程分析
第一环节 复习引入新课
（一）复习
1．如图，∠BOC是 角， ∠BAC是 角。若∠BOC=80°，∠BAC= 。
第1题图 第2题图
2．如图，点A，B，C都 在⊙O上，若∠ABO=65° ，则∠BCA=（ ）
A. 25° B. 32.5° C. 30° D. 45°
（二）引入新课
观察图①，∠ABC， ∠ADC和∠AEC各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？
解决上一课时中遗留的问题：如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的？为什么呢？
因为这三个角都对着AC弧，所以它们相等。
第二环节 新知学习
议一议
1．通过对上面问题的讨论，引导学生总结：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。
提问：如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？
进一步得到：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议。
2．观察图②，BC是⊙O的直径，它所对和圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？观察图③，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？
由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
第三环节 练习 P83
第四环节 课时小结
1．要理解好圆周角定理的推论。
2．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。
3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一。
4．圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化。但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角等。
第五环节 布置作业
课本第83页 习题3.5
三、教学反思
本节充分利用现实生活和数学中的素材，使学生探索与圆有关的概念和性质，尽可能地设计具有挑战性的情境，激发学生求知、探索的欲望。在得出本节结论的过程中，鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法。如度量与证明、分类与转化，以及类比等。本节容量较大，教学时要控制好时间。
3．5确定圆的条件
一、教学目标
知识与技能
1． 了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；
2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
过程与方法
1．经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力。
2．通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略。
情感态度与价值观
形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。
教学重点：确定圆的条件
教学难点：确定圆的条件
二、教学过程分析
第一环节：课前准备
布置学生在课前复习，回答如下的问题：
（1）经过一点、两点、三点你能否画出一条直线吗？若能，可以画出几条直线？
（2）通过以上问题的回答，你有什么体会？
（3）已知线段AB，求作线段AB的中垂线？
第二环节：情景引入
学生小组讨论如下问题：某地区一空地上新建了三个居住小区A、B、C。现要规划一间学校，使学校到三个小区的距离相等，你如何选取这所学校的地点？
第三环节：实践探究，解决问题
参照教材提供的三个问题：
①、作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？为什么有这样多个圆？
②、作圆，使它经过已知点A、B，你是如何做的？依据是什么？你能作出几个这样的圆？其圆心分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
③、作圆，使它经过不在同一直线的已知点A、B、C，你是如何做到的。你能作出几个这样的圆？为什么？
④、你现在能解决课前的问题了吗？动手做一做？
第四环节：练习提高
活动内容：
（1）完成课本随堂练习；
（2）判断题：
①经过三点一定可以作圆。 （ ）
②任意一个三角形有且只有一个外接圆。 （ ）
③三角形的外心是三角形三边中线的交点。 （ ）
④三角形外心到三角形三个顶点的距离相等。 （ ）
(3)如图是一块残缺的圆形木盖，现要重新制作一块与原来一样大小的圆形木盖，你是如何制作的？
第五环节：课堂小结
活动内容：
1、学生小组交流本节课学习的体会及要掌握的知识和方法；
2、个人仍存在的问题；
3、师生共同完成如下的问题：
（1）确定圆的条件——
（2）锐角三角形 在三角形的内部
直角三角形 外心的位置 在斜边上
钝角三角形 在三角形的外部
而三角形的外心具有的特征是：到三个顶点的距离相等，因它是三边中垂线的交点。
第六环节：布置作业
1、 教材P87习题3.6
2、 预习下节课内容，搜集现实生活中的直线和圆的位置关系的现象。
三、教学反思
（1）学生的探究活动时间要得到保证，让学生真正成为学习的主人，教师只是组织者、引导者，不要用教师的讲来代替学生的做。
（2）教学过程中发现少数困难生在探究活动中态度欠积极，教师要及时给予指导和引导，焕起他们学习的积极性。
（3）线段中垂线的性质与找三角形的外心的相互关系有少数学生理解得还不是很透彻，今后在进行“线段中垂线”的教学时仍要加以改进。
3.6直线和圆的位置关系（一）
一、教学目标
知识与技能
1．理解理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关系来判定它。
2．直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切，并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关系来判定它。
过程与方法
1．培养学生类比、归纳、观察及想象的能力以及使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩正唯物主义观点。
2．渗透从特殊到一般、数学转化的思想及运动的观点
情感态度与价值观
创设问题的情景，让学生主动地发展
教学重点：理解直线与圆的三种位置关系的定义，并能准确的判定
教学难点：（1）理解“切线”定义中的：“唯一”;
（2）灵活准确应用相关性质解决问题
二、教学过程
第一环节 创设情境引入课题
活动内容：
1．观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的
这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种
2．观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的
这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种
3．作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺
（1）直线和圆有哪几种位置关系
（2）直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点.
（以下是不同小组的学生的总结）
发言1：太在地平线下，刚好在地平线上，离开地平线三种关系。
发言2：我们如果把地平线看作是一条直线，把太阳看作是一个圆，那么就有三种情况，即直线穿过圆，直线贴着圆，直线离开圆。
发言3：我们可以把直线穿过圆称为相交，直线离开圆称为相离，而直线贴着圆我暂时还不能命名。
发言4：我们认为上面关系要在一个平面内。
综合上述几个同学的想法，我们可以这样命名：在同一平面内，直线与圆的位置有三种情况，相交、相切、相离。
第二环节 直线与圆的位置关系量化揭密
1．如图,圆心O到直线l的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系
你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗
2．你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？
第三环节 探索切线的性质
活动内容：
1．下面的三个图形是轴对称图形吗 如果是,你能画出它们的对称轴吗 你能由此悟出点什么？
2．如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系 说说你的理由.
实际教学效果：
学生可以利用对称性、反证法等不同的方法解决这个问题。
第四环节 例题讲解
活动内容：
例1 已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.
(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切
(2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系
例2 直线BC与半径为r的⊙O相交,且点O到直线BC的距离为5,求r的取值范围。
例3 一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离是多少
第五环节 练习
活动内容：
1．已知:如图,P是⊙O外一点,PA,PB都是⊙O的切线,A,B是切点.请你观察猜想,PA,PB有怎样的关系 并证明你的结论.
2．由1所得的结论及证明过程,你还能发现那些新的结论 如果有,仍请你予以证明.
第六环节 布置作业
课本P91:习题3.7
三、教学反思
教师的行为直接影响着学生的学习方式，要让学生真正成为学习的主人，积极参与课堂学习活动，因此在教学中让学生想象、观察、动手实践、发现内在的联系并利用类比归纳的方法，探索规律，指导学生合作、研究并尝试用学到的知识解决实际问题。
3.6直线和圆的位置关系（二）
一、教学目标
知识与技能
（1）能判定一条直线是否为圆的切线．
（2）会过圆上一点画圆的切线．
（3）会作三角形的内切圆．
过程与方法
（1）通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．
（2）会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．
情感态度与价值观
（1）经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
（2）经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
教学重点：
探索圆的切线的判定方法，并能运用．
作三角形内切圆的方法．
教学难点
探索圆的切线的判定方法．
二、教学过程第一环节 引入新课
上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．
由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢 本节课我们就继续探索切线的判定条件．
第二环节 新课讲解
1．探索切线的判定条件
如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时，
(1)随着∠α的变化，点O到l的距离(d如何变化 直线l与⊙O的位置关系如何变化
(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r 此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系 为什么
在教学中，教师可以引导学生，画一个圆并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．
以下是实际教学中，学生得到的结论：
生1：如上图，直线l1与AB的夹角为α,点O到l的距离为d1，d1生2：当∠α=90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切．
生3：这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
2．做一做
已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可．
如右图．
(1)连接OA．
(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．
3．如何作三角形的内切圆．
如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．
分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．
解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如右上图)．
(2)过I作ID⊥BC，垂足为D．
(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I．⊙I就是所求的圆．
∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上．∵ID＝IN，∵ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的，所以I到△ABC三边的距离相等
因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter)．
4．（补充）例题讲解
如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT＝AB．
求证：AT是⊙O的切线．
分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB=45°．
由三角形内角和可证∠TAB=90°，即AT⊥AB．
证明：∵AB=AT，∠ABT＝45°．
∴∠ATB＝∠ABT＝45°．
∴∠TAB=180°-∠ABT-∠ATB=90°．
∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．
第三环节 课堂练习
随堂练习
1． 以边长为3,4,5的三角形的三个顶点为圆心,分别作圆与对边相切,则这三个圆的半径分别是多少
2． 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况
第四环节 课时小结
本节课学习了以下内容：
1．探索切线的判定条件．
2．会经过圆上一点作圆的切线．
3．会作三角形的内切圆．
4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念．
第五环节 课后作业
必做： P93习题3.8 1,2题
选做：
已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD． 求证：DC是⊙O的切线．
三、教学反思
课堂教学问题的设计，是教师传授知识与了解学生掌握知识程度的重要途径，是能否调动学生学习兴趣的重要手段，本节课我觉得自己所设计的问题在把握在新旧知识的衔接点上，在围绕教学内容的重难点上，从学生学习效果上看，似乎并不是那么完满。
3.7切线长定理
教学目标
1、了解切线长的概念．
2、理解切线长定理，熟练掌握它的应用．
3、复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切线长的概念和切线长定理，最后应用它们解决一些实际问题．
重难点、关键
1、重点：切线长定理及其运用．
2、难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．
教学过程
一、复习引入
1、回顾切线的判定方法及切线的性质定理？
2、问题1、经过⊙O上一个已知点A，作已知圆的切线怎样作？能作几条？
3、问题2、经过圆外一点P，如何准确地作已知⊙O的切线？
二、探索新知
从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条。那么经过圆外一点P，如何准确地作已知⊙O的切线？（学生讨论，教师点拔）
连结OP，以OP为直径作⊙′交⊙O于A、B两点，作射线PA、PB，则PA、PB为⊙O的切线，切点为A、B，为什么？（学生回答）
1、我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2、切线与切线长的区别
3、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
符号语言：PA、PB切⊙O于点A、B，则PA=PB，OP平分APB
下面，请学生给予逻辑证明．
如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．
求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．
证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线．
∴OA⊥AP，OB⊥BP
又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB
思考：我们知道切线的性质有哪些？学生回答，教师总结。
小结：切线常用的6条性质：
1、切线和圆只有一个公共点；
2、切线和圆心的距离等于圆的半径；
3、切线垂直于过切点的半径；
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系：
（2）写出图中与∠OAC、∠PAC相等的角：
（3）写出图中所有的全等三角形：
（4）写出图中所有的等腰三角形：
（5）写出与∠AOB互补的角：
（6）写出与弧AD、AE相等的弧：
（5）若PA=4、PD=2，求半径OA
归纳：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
三、当堂反馈P95随堂练习
四、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆的切线长概念；
2．切线长定理；
3．三角形的内切圆及内心的概念．
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
五、布置作业：P96习题3.9
3.8圆内接正多边形
学习目标：
1、理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。
2、掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行有关正三角形，正方形，正六边形的计算。
1学习过程：
1、复习回顾
正n边形的有关计算公式：
每个内角= ，每个外角= 。
2、预习、交流并展示
阅读课本97页到98页，回答下列问题
2、 都在同一个圆上的正多边形叫做 ，这个圆叫做该正多边形的 。
如上图，五边形ABCDE是☉O的 ，☉O是五边形ABCDE的 圆， 叫做正五边形ABCDE的中心， 是正五边形ABCDE的半径， 是正五边形ABCDE的中心角，中心角是
度，OM⊥BC，垂足为M， 是正五边形ABCDE的边心距。
（3）利用尺规作一个已知圆的内接正多边形以圆内接正六边形为例,由于正六边形的中心角为 ，因此它的边长和外接圆的半径R ，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形。
作法如下：
（1）☉O的任意一条直径AD，如图（1）
（2）分别以A、D为圆心，以☉O的半径R为半径作弧，与☉O相交于B、F和C，E则A，B，C，D，E，F是☉O的六等分点。
（3）顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA，便得到正六边形ABCDEF，
如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求正六边形的中心角、边长和边心距。
当堂训练：
1、正六边形的边心距为2，则该正六边形的边长是 。
2、中心角为30度的圆内接正n边形的n为 。
4、求半径为6cm的圆内接正三角形的边长和边心距
5、如图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE，求这个正六边形的面积。
6、如图，正五边形ABCDE内接于☉O，点F在劣弧AB上，求∠CFD的大小
布置作业：P99习题3.10
3.9弧长及扇形的面积
一、教学目标
知识与技能
1．经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程；
2．了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题。
过程与方法
1．经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力；
2．了解弧长和扇形面积公式后，能运用公式解决问题，训练学生的数学运用能力。
情感态度与价值观
1．经历探索弧长和扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2．通过用弧长和扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力。
3. 进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型,建立数学模型的能力,综合运用所学知识的分析问题和解决问题的能力.
教学重点：经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程；了解弧长和扇形面积计算公式；
教学难点：会运用公式解决问题。
二、教学过程分析
第一环节 创设情境，引入新课
生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小里已经学过了有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？让我们来探索吧。
第二环节 新课讲授
（一）复习圆的周长与面积公式
我们上体育课掷铅球练习时,要在指定的圆圈内进行,这个圆的直径是2.135m。这个圆的周长与面积是多少？
（二）复习圆心角的概念
（三）想一想
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米
(2)转动轮转1o,传送带上的物品A被传送多少厘米
(3)转动轮转no,传送带上的物品A被传送多少厘米
（四）议一议：
（1）已知⊙O的半径为R，1o的圆心角所对的弧长是多少？
（2）no的圆心角所对的弧长是多少？
根据上面的计算，你能想到解决的方法了吗？请大家互相交流。
总结出计算弧长的公式：
若⊙O的半径为R， no的圆心角所对的弧长l是
（五）开心练一练：
（1）1o的弧长是 。半径为10厘米的圆中，60o的圆心角所对的弧长是
（2）如图，同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆与C、D，且OC∶OA=1∶2，则弧CD与弧AB长度之比为（ ）
（A）1∶1 （B）1∶2
（C）2∶1 （D）1∶4
（六）例题讲解
例1. 制作弯形管道需要先按中心线计算“展直长度”再下料。试计算如图所示的管道的展直长度，即弧AB的长度（精确到0.1mm）
例2 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的一端栓着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）若这只狗只能绕柱子转过no的角，那么它的最大活动区域有多大？这个活动区域是一个什么图形呢
解 （1）如图①，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π；
（2）如图②，这只狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360o的圆心角对应的圆面积是πR2，1o的圆心角对应圆面积的，即，no的圆心角对应圆面积为
（七）总结扇形面积公式（若⊙O的半径为R，圆的面积是πR2）
1o圆心角所对的扇形的面积是，no圆心角所对的扇形的面积是
（八）弧长公式与扇形的面积公式之间的联系：
弧长和扇形的面积都和圆心角n，半径R有关系，因此l 和s之间也有一定的关系，你能猜出来吗？请大家互相交流。
扇形所对的弧长，扇形的面积是
（九）扇形的面积是应用：
例:已知扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120o,求AB的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)
第三环节 练习
（一）开心做一做：
1. 一个扇形的圆心角为90o，半径为2，则弧长= ，扇形面积= .
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该扇形的圆心角为 .
3. 已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的弧长是 （ ）
A. 3π B.4π C.5π D.6π
（二）随堂练习：P102
第四环节 课时小结：
1． 知识点：弧长、扇形面积的计算公式
2． 能力：弧长、扇形面积的计算公式的记忆法，及它们之间的关系，并能已知一方求另一方。
第五环节 课后作业：
1．习题3.10
2．活动与探究：如图，在半径为1的圆中，有一弦长AB=的扇形，求此扇形的周长及面积。
四、教学反思
在分组探索的时候，时间把握不够好，教师忽略了学生存在着个别差异，各组学生的已有学习经验和能力是不同的，这时教师应综合各组解决问题的程度，适时进行调控，然后在反馈环节中让学生进行交流也能达到预期的效果。
A
D
B
C
0
D
A
B
C
E
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
A
D
110
220
B
A
O
C
①
A
B
C
O
②
B
A
C
O
③
A
B
C
O
A
B
C
O
B
A
E
C
D
O
A
B
C
O
图②
B
C
A
O
图③
不在同一直线上的三点
圆心、半径
●O
●O
●O
●O
●O
●O
C
D
B
●O
A
●O
●O
●O
A
C
B
┐
A
B
P
●O
3、
O
D
C
B
A
A
B
110o
R=40mm
no
n
O
图②
O
A
B
C