北师大版数学九年级上册2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
第 二 章 一元二次方程
*5 一元二次方程的根与系数的关系
数学 九年级 上 BS
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系.（重点）
2.会利用根与系数的关系解决有关的问题.（难点）
学习目标
问题：如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
新知导入
探究一元二次方程的根与系数的关系
一
例1：完成下表.
方程 x1 x2 x1 + x2 x1 · x2
x2 - 2x + 1 = 0
2x2 - 3x + 1 = 0
1
1
2
-1
-1
1
(1)两根之和与两根之积与系数有和关系？
学习新知
(2)如何证明以上发现的规律呢？
证明：当Δ≥ 0 时，由求根公式得：
x1 + x2=
+
=
=
+
x1 x2=
=
=
=
如果方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0)有两个实数根x1 , x2 ，那么
一元二次方程的根与系数的关系的应用
二
例2：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
1.已知方程 5x2 + kx - 6 =0的一个根是2求它的另一个根及k的值.
解：原方程可化为：
设另一个根为 x1 ,则 2x1 =
∴x1 = . 又∵x1 + 2=
∴ ,∴k = -7.
你还能用其它方法解答吗？
知识拓展
解:根据根与系数的关系得：
（1）(x1 + 2)(x2 + 2) = x1 x2 + 2 (x1 + x2) + 4 =
（2）
例3：设x1,x2是方程2x2 + 3x – 1 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.
(1) (x1 + 2)(x2 + 2); (2)
例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得
Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,
解得 k1= 0 , k2 = 4 .
经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
1.不解方程，求方程两根的和与两根的积：
（1）x2 + 3x -1= 0; （2）2x2 - 4x + 1 = 0.
课堂检测
解：(1) 这里 a = 1 , b = 3 , c = -1.
Δ = b2 - 4ac = 32 - 4 × 1 × (-1) = 13 > 0 ∴有实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -3 , x1 x2 = -1 .
(2) 这里 a = 2 , b = -4 , c = 1.
Δ = b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 × 1× 2 = 8 > 0 ∴有实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = 2 , x1 x2 = .
2.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则：
1 × x1 =
∴x1 =
3.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解:根据根与系数的关系得：
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=
（2）
一元二次方程的
根与系数的关系
如果方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）
有两个实数根x1，x2，那么x1 + x2
= ，x1 x2 =
关系
应用
1.应用利用根与系数的关系求代数式的值.
2.已知方程一根，利用根与系数的关系求方
程的另一根或字母系数的值.
3.判别式及根与系数的关系的综合应用.
课堂小结