二次函数图像的性质与应用
1．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0），且不等式2x≤f（x）≤x2+2对一切实数x都成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对一切实数x∈[﹣1，1]，不等式f（x+t）＜f（）恒成立，求实数t的取值范围．
2．已知函数f（x）＝mx2﹣（m+1）x+1．
（1）若m＞0，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若对任意x∈[1，2]，f（x）≤2恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若a，b，c为正实数，且的最大值等于f（2），求实数m的值．
3．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c．
（1）若f（x）＜0的解集为（1，2），求不等式cx2+bx+a＜0的解集；
（2）若对任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求的最大值；
（3）若对任意x∈R，2x+2≤f（x）≤2x2﹣2x+4恒成立，求ab的最大值．
4．已知函数f（x）＝x2．
（1）当x∈（﹣1，1）时，不等式f（x）＜（2﹣a）x﹣1+a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式：f（x）＜k（x﹣1）+x（k∈R）．
5．已知二次函数f（x）＝x2+2ax+2．
（1）若x∈[1，5]时，不等式f（x）＞3ax恒成立，求实数a的取值范围．
（2）解关于x的不等式（a+1）x2+x＞f（x）（其中a∈R）．
6．已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1
（1）若不等式f（x）＜1的解集为R，求m的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）≥（m+1）x；
（3）若不等式f（x）≥0对一切恒成立，求m的取值范围．
7．已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．
（1）若不等式f（x）＜0的解集是空集，求m的取值范围；
（2）当m＞﹣2时，解不等式f（x）≥m；
（3）若不等式f（x）≥0的解集为D，若[﹣1，1] D，求m的取值范围．
8．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2，a∈R．
（1）当a＞0时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，求实数a的取值范围．
9．设二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），且f（1）≤2，则+的取值范围为 ．
（多选）10．记，已知x＞0，y＞0，x+2y+xy＝30，则（ ）
A．xy的最大值为18
B．x+2y的最大值为12
C．x+y的最小值为
D．max{x+2，2y+2}得最小值为8
（多选）11．已知关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b，下列结论正确的是（ ）
A．当a＜b＜1，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为
B．当a＝2时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式
C．不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝
D．不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b﹣a＝4二次函数图像的性质与应用
1．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0），且不等式2x≤f（x）≤x2+2对一切实数x都成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对一切实数x∈[﹣1，1]，不等式f（x+t）＜f（）恒成立，求实数t的取值范围．
2．已知函数f（x）＝mx2﹣（m+1）x+1．
（1）若m＞0，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若对任意x∈[1，2]，f（x）≤2恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若a，b，c为正实数，且的最大值等于f（2），求实数m的值．
3．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c．
（1）若f（x）＜0的解集为（1，2），求不等式cx2+bx+a＜0的解集；
（2）若对任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求的最大值；
（3）若对任意x∈R，2x+2≤f（x）≤2x2﹣2x+4恒成立，求ab的最大值．
4．已知函数f（x）＝x2．
（1）当x∈（﹣1，1）时，不等式f（x）＜（2﹣a）x﹣1+a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式：f（x）＜k（x﹣1）+x（k∈R）．
5．已知二次函数f（x）＝x2+2ax+2．
（1）若x∈[1，5]时，不等式f（x）＞3ax恒成立，求实数a的取值范围．
（2）解关于x的不等式（a+1）x2+x＞f（x）（其中a∈R）．
6．已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1
（1）若不等式f（x）＜1的解集为R，求m的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）≥（m+1）x；
（3）若不等式f（x）≥0对一切恒成立，求m的取值范围．
7．已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．
（1）若不等式f（x）＜0的解集是空集，求m的取值范围；
（2）当m＞﹣2时，解不等式f（x）≥m；
（3）若不等式f（x）≥0的解集为D，若[﹣1，1] D，求m的取值范围．
8．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2，a∈R．
（1）当a＞0时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，求实数a的取值范围．
9．设二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），且f（1）≤2，则+的取值范围为 ．
（多选）10．记，已知x＞0，y＞0，x+2y+xy＝30，则（ ）
A．xy的最大值为18
B．x+2y的最大值为12
C．x+y的最小值为
D．max{x+2，2y+2}得最小值为8
（多选）11．已知关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b，下列结论正确的是（ ）
A．当a＜b＜1，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为
B．当a＝2时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式
C．不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝
D．不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b﹣a＝4
参考答案与试题解析
1．【考点】二次函数的性质与图象；函数恒成立问题．
【分析】（1）通过图象过一点得到a、b、c一关系式，观察发现1≤f（1）≤1，又可得一关系式，再将b、c都有a表示．不等式x≤f（x）≤x2+2对一切实数x都成立可转化成两个一元二次不等式恒成立，即可解得．
（2）由题意可得3x2+（8+8t）x+4t2+16t＜0 恒成立．设g（x）＝3x2+（8+8t）x+4t2+16t，则，由此求得t的范围．
【解答】解：（1）根据二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0），可得4a﹣2b+c＝0 ①，
∵不等式2x≤f（x）≤x2+2对一切实数x都成立，∴当x＝2时也成立，即4≤4a+2b+c≤4，
∴4a+2b+c＝4 ②．
由①②求得 b＝1，4a+c＝2，∴f（x）＝ax2+x+2﹣4a，∴2x≤ax2+x+2﹣4a≤x2+2，
即 恒成立，∴．
求得a＝，∴c＝2﹣4a＝1，
∴f（x）＝x2+x+1．
（2）∵对一切实数x∈[﹣1，1]，不等式f（x+t）＜f（）恒成立，
化简可得 3x2+（8+8t）x+4t2+16t＜0 恒成立．
设g（x）＝3x2+（8+8t）x+4t2+16t，则，即，即，
即 ，∴﹣＜t＜﹣．
【点评】本题考查了函数恒成立问题，以及二次函数的性质，赋值法（特殊值法）可以使问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法，属于中档题．
2．【考点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其应用．
【分析】（1）分m＝1，m＞1，0＜m＜1三种情况，利用一元二次不等式的解法求解即可；
（2）分x＝1和x∈（1，2]两种情况，利用对勾函数的单调性求解最值，即可得到答案；
（3）利用均值不等式求解最大值，列出关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）函数f（x）＝mx2﹣（m+1）x+1，
不等式f（x）＜0，即mx2﹣（m+1）x+1＜0，变形为（mx﹣1）（x﹣1）＜0，
①当m＝1时，（x﹣1）2＜0，所以不等式无解；
②当m＞1时，则，所以不等式的解集为（，1）；
③当0＜m＜1时，则＞1，所以不等式的解集为（1，）．
综上所述，当m＝1时，不等式的解集为 ；
当m＞1时，不等式的解集为（，1）；
当0＜m＜1时，不等式的解集为（1，）．
（2）因为对任意x∈[1，2]，f（x）≤2恒成立，
所以（x2﹣x）m≤x+1对任意x∈[1，2]恒成立，
①当x＝1时，不等式为0≤2恒成立；
②当x∈（1，2]时，不等式可变形为m≤，
令t＝x+1，则t∈（2，3]，
所以＝，
所以的最小值为，
则m≤．
综上所述，实数m的取值范围为；
（3）因为a，b，c为正实数，
所以＝＝，
当且仅当时取等号，
又因为的最大值等于f（2），
所以，解得m＝．
【点评】本题考查了函数恒成立问题，含有参数的一元二次不等式的解法，均值不等式求解最值的应用，对勾函数性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
3．【考点】不等式恒成立的问题；二次函数的性质与图象；一元二次不等式及其应用．
【分析】（1）利用一元二次方程的跟与不等式的解的关系可得；
（2）（3）将恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求解；
【解答】解：（1）因为 ax2+bx+c＜0 的解集（1，2），
所有ax2+bx+c＝0 的根为 1 和 2，且a＞0．
所以，故b＝﹣3a，c＝2a，
所以cx2+bx+a＜0，
即2ax2﹣3ax+a＜0，2x2﹣3x+1＜0，
所以，
即不等式cx2+bx+a＜0 的解集为．
（2）因为对任意x∈R，y≥0 恒成立，
所以Δ＝b2﹣4ac≤0，
即b2≤4ac，
又 a＞0，所以c≥0，故，
所以，当c＝a，b＝2a 时等号成立，
所以 的最大值为 1．
（3）令x＝1，则4≤a+b+c≤4，
所以a+b+c＝4，
对任意x∈R，2x+2≤ax2+bx+c 恒成立，
所以ax2+（b﹣2）x+c﹣2≥0 恒成立，
所以 Δ＝（b﹣2）2﹣4a（c﹣2）＝（a+c﹣2）2﹣4a（c﹣2）＝（a﹣c+2）2≤0
所以c＝a+2，
此时b＝2﹣2a，
当 时等号成立，
此时 成立，
故ab最大值为．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解与方程根的关系，含参数的一元二次不等式恒成立问题，属于中档题．
4．【考点】不等式恒成立的问题；一元二次不等式及其应用．
【分析】（1）将不等式变形为（x﹣1）[x﹣（1﹣a）]＜0，因为x∈（﹣1，1），可得x＞1﹣a，即x﹣1＞﹣a，恒成立，求出x﹣1＞﹣2即可得a的取值范围；
（2）将不等式变形整理为（x﹣1）（x﹣k）＜0，根据k和1的大小关系进行分类讨论即可．
【解答】解：（1）当x∈（﹣1，1）时，f（x）＜（2﹣a）x﹣1+a，
得x2+（a﹣2）x+1﹣a＜0，
即（x﹣1）[x﹣（1﹣a）]＜0，
∵x∈（﹣1，1），∴x﹣1＜0，
∴x＞1﹣a，即x﹣1＞﹣a恒成立，
又∵x﹣1＞﹣2，∴﹣2≥﹣a，即a≥2，
∴实数a的取值范围是[2，+∞）．
（2）由f（x）＜k（x﹣1）+x，即x2﹣（k+1）x+k＜0，
即（x﹣1）（x﹣k）＜0，
①当k∈（﹣∞，1）时，不等式的解集为（k，1）；
②当k＝1时，不等式的解集为 ；
③当k∈（1，+∞）时，不等式的解集为（1，k）；
综上，当k∈（﹣∞，1）时，不等式的解集为（k，1）；
当k＝1时，不等式的解集为 ；
当k∈（1，+∞）时，不等式的解集为（1，k）．
【点评】本题考查了含参数的不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
5．【考点】不等式恒成立的问题；二次函数的性质与图象．
【分析】（1）不等式化为x2+2ax+2＞3ax，
方法一：利用分离常数法得出，求出右边函数的最小值，即可得出实数a的取值范围；
方法二：不等式化为x2﹣ax+2＞0，设g（x）＝x2﹣ax+2，x∈[1，5]；求出g（x）的最小值，令最小值大于0，从而求出实数a的取值范围．
（2）不等式化为（x﹣2）（ax+1）＞0，讨论a的取值，从而求出对应不等式的解集．
【解答】解：（1）不等式f（x）＞3ax即为：x2+2ax+2＞3ax，
方法一：当x∈[1，5]时，不等式可变形为：＝，
因为≥2＝，当x＝时取等号，
且，所以，
所以实数a的取值范围是a＜；
方法二：不等式化为x2﹣ax+2＞0，设g（x）＝x2﹣ax+2，x∈[1，5]；
函数g（x）是二次函数，图象是抛物线，开口向上，对称轴为x＝；
当＜1，即a＜2时，函数g（x）＝x2﹣ax+2在x∈[1，5]上单调递增，最小值为g（x）min＝g（1）＝1﹣a+2＞0，解得a＜3；
当＞5，即a＞10时，函数g（x）＝x2﹣ax+2在x∈[1，5]上单调递减，最小值为g（x）min＝g（5）＝25﹣5a+2＞0，解得a＜，不合题意，舍去；
当1≤≤5，即2≤a≤10时，函数g（x）＝x2﹣ax+2在x∈[1，5]上先减后增，最小值为g（x）min＝g（）＝﹣+2＞0，解得﹣2＜a＜2，即2≤a＜2；
综上知，实数a的取值范围是a＜；
（2）不等式 （a+1）x2+x＞f（x），即 （a+1）x2+x＞x2+2ax+2，
等价于 （a+1）x2+x﹣2ax﹣x2﹣2＞0，即 ax2+（1﹣2a）x﹣2＞0，
转化为 （x﹣2）（ax+1）＞0；
①当 a＝0 时，不等式为x﹣2＞0，解得x＞2；
②当 a＞0 时，因为﹣＜0＜2，
所以不等式 （x﹣2）（ax+1）＞0 的解集为{x| 或 x＞2}；
③当 时，因为 ，
所以不等式 （x﹣2）（ax+1）＞0 的解集为{x|2＜x＜﹣}；
④当 时，因为 ，
所以不等式 （x﹣2）（ax+1）＞0 的解集为 ；
⑤当 时，因为 ，
所以不等式 （x﹣2）（ax+1）＞0 的解集为{x|}；
综上知，a＝0 时，不等式的解集为（2，+∞）；
a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；
当 时，不等式的解集为（2，﹣）；
当时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为（﹣，2）．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，以及转化法和分类讨论思想，是中档题．
6．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质与图象；一元二次不等式及其应用．
【分析】（1）对二次项系数m+1的情况分类讨论，由不等式f（x）＜1的解集为R，可得，解之即可求得m的取值范围；
（2）f（x）≥（m+1）x [（m+1）x﹣（m﹣1）]（x﹣1）≥0，对m+1＝0，m+1＞0与m+1＜0分类讨论，可分别求得其解集；
（3）（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0 m（x2﹣x+1）≥﹣x2﹣x+1 m≥，通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）①当m+1＝0即m＝﹣1时，f（x）＝2x﹣3，不合题意； …（1分）
②当m+1≠0即m≠﹣1时，，即，…（3分）
∴，
∴m＜…（5分）
（2）f（x）≥（m+1）x即（m+1）x2﹣2mx+m﹣1≥0
即[（m+1）x﹣（m﹣1）]（x﹣1）≥0
①当m+1＝0即m＝﹣1时，解集为{x|x≥1}…（7分）
②当m+1＞0即m＞﹣1时，（x﹣）（x﹣1）≥0，
∵＝1﹣＜1，
∴解集为{x|x≤或x≥1}…（9分）
③当m+1＜0即m＜﹣1时，（x﹣）（x﹣1）≥0，
∵＝1﹣＞1，
∴解集为{x|}…（…（11分）
（3）（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0，即m（x2﹣x+1）≥﹣x2﹣x+1，
∵x2﹣x+1＞0恒成立，
∴m≥＝﹣1+…（13分）
设1﹣x＝t，则t∈[，]，x＝1﹣t，
∴＝＝＝，
∵t+≥2，当且仅当t＝1时取等号，
∴≤1，当且仅当x＝0时取等号，
∴当x＝0时，＝1，
∴m≥1…（16分）
【点评】本题考查函数恒成立问题，突出考查二次函数的性质及一元二次不等式的解法，突出分类讨论思想与构造函数思想及比较大小方法的综合应用，属于难题．
7．【考点】其他不等式的解法．
【分析】（1）不等式f（x）＜0的解集是空集，分m＝﹣1和m+1≠0两种情况求解；
（2）分m＝﹣1，m＞﹣1和﹣2＜m＜﹣1三种情况解不等式；
（3）由条件知对任意的x∈[﹣1，1]，不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1≥0恒成立，即恒成立，然后解出y＝的最大值可得m的范围．
【解答】解：（1）①当m+1＝0，即m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2，不合题意；
②当m+1≠0，即m≠﹣1时，，
解得，∴m的取值范围是；
（2）∵f（x）≥m，∴（m+1）x2﹣mx﹣1≥0，即[（m+1）x+1]（x﹣1）≥0，
①当m+1＝0即m＝﹣1时，不等式的解集为[1，+∞）；
②当m+1＞0即m＞﹣1时，，
∵，∴不等式的解集为；
③当m+1＜0即﹣2＜m＜﹣1时，，
∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣1＜m+1＜0，∴，
∴不等式的解集为；
（3）不等式f（x）≥0的解集为D，若[﹣1，1] D，
即对任意的x∈[﹣1，1]，不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1≥0恒成立，
即m（x2﹣x+1）≥﹣x2+1恒成立，
∵x2﹣x+1＞0恒成立，∴恒成立，
设t＝2﹣x，则t∈[1，3]，x＝2﹣t，
∴，，
∵，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当时取等号，
∴当时，的最大值为，
∴m的取值范围是．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，集合与集合间的关系和基本不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
8．【考点】函数的零点与方程根的关系；一元二次不等式及其应用．
【分析】（1）由题意可得，f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2≥0，即（ax﹣2）（x﹣1）≥0，解方程（ax﹣2）（x﹣1）＝0，解得x1＝，x2＝1，分，， 三种情况讨论，即可求解．
（2）先令t＝，由m＞0，则可得t≥3，再将关于x的方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，转化为ax2﹣（a+2）x+2﹣t＝0 有两个不同正根，结合根与系数的关系，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2≥0，即（ax﹣2）（x﹣1）≥0，
解方程（ax﹣2）（x﹣1）＝0，解得x1＝，x2＝1，
①当 时，即0＜a＜2，此时f（x）≥0的解集为{x|x≤1或x}，
②当 时，即a＝2，此时f（x）≥0的解集为R，
③当 时，即a＞2，此时f（x）≥0的解集为{x|x≥1或x}，
综上所述，当0＜a＜2时，f（x）≥0的解集为{x|x≤1或x}，
当a＝2时，f（x）≥0的解集为R，
当a＞2时，f（x）≥0的解集为{x|x≥1或x}．
（2）当m＞0时，令t＝m+ ，
则关于x的方程f（|x|）＝t可化为a|x|2﹣（a+2）|x|+2﹣t＝0，
关于x的方程a|x|2﹣（a+2）|x|+2﹣t＝0有四个不等实根，
即ax2﹣（a+2）x+2﹣t＝0 有两个不同正根，
则，
由①可知，存在t∈[3，+∞）使不等式4at+（a+2）2﹣8a＞0 成立，
故4a×3+（a+2）2﹣8a＞0，即a2+8a+4＞0，解得a＜﹣4﹣2或a＞﹣4+，
由②③式可得，a＜﹣2，
故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4﹣2）．
【点评】本题主要考查了函数零点与方程根的关系，以及分类讨论求解不等式，需要学生较强的综合能力，属于难题．
9．【考点】二次函数的性质与图象．
【分析】根据二次函数的性质以及基本不等式的性质求出代数式的取值范围即可．
【解答】解：二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），
若函数f（x）的值域为[0，+∞），
则Δ＝4﹣4mn＝0，解得：mn＝1，且m＞0，
又f（1）＝m﹣2+n≤2，n＝，
则m+≤4，
∴+
＝+
＝
＝
＝m2+﹣1，
而由m+≤4，m＞0，
得2≤m2+≤14，
故m2+﹣1的取值范围是[1，13]，
即+的取值范围是[1，13]，
故答案为：[1，13]．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是中档题．
10．【考点】基本不等式及其应用．
【分析】利用基本不等式的性质、一元二次不等式的解法即可得出．
【解答】解：对于A：∵x＞0，y＞0，且x+2y+xy＝30，
∴30≥+xy，
化为（）2+﹣30≤0，
解得0＜．当且仅当x＝2y＝6时取等号．
则xy的最大值为18．所以A正确；
对于B：由x+2y+xy＝30，得x＝＝﹣2+，
又x＞0，y＞0，∴x+2y＝﹣2++2（y+1）﹣2，当且仅当，即y＝3（x＝6）时取等号．
∴x+2y的最小值为12．所以B不正确；
对于C：因为x，y∈（0，+∞），30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，
当且仅当x+1＝y时取等号，
所以（x+1+y）2+4（x+1+y）﹣124≥0，
解可得，x+y+1或x+y+1（舍），
故x+y≥﹣3，所以x+y的最小值为﹣3，所以C正确；
对于D：max{x+2，2y+2}＝max{﹣2++2，2y+2}＝max{，2y+2}，
令＝2y+2，得y＝3，因为x＝＞0，即0＜y＜15，
所以max{，2y+2}＝，
当0＜y＜3，∈（8，32），
当3＜y＜15，2y+2∈[8，32），
所以max{x+2，2y+2}∈[8，32），
即max{x+2，2y+2}得最小值为8，所以D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，应用条件的配凑是求解问题的关键．
11．【考点】一元二次不等式及其应用．
【分析】A：由x2﹣3x+4≤b，利用判别式即可判断；
B：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2﹣3x+4＝（x﹣2）2+1的图象以及y＝a和y＝b，利用图象可判断；
C：根据不等式的解集求出b的值，再判断a是否小于1；
D：利用不等式求出a的值，即可得到结论．
【解答】解：对于A：由x2﹣3x+4≤b，可得3x2﹣12x+16﹣4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48（b﹣1）＜0，
从而不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为 ，故A正确；
对于B：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2﹣3x+4＝（x﹣2）2+1的图象以及y＝a和y＝b，
如图所示，由图可知，当a＝2时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xB≤x≤xD}的形式，故B错误；
由不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，可知a≤ymin，即a≤1，
因此当x＝a，x＝b时函数值都是b，
由当x＝b时，函数值是b，可得b2﹣3b+4＝b，解得b＝或b＝4，
由a2﹣3a+4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故C错误；
当b＝4时，由a2﹣3a+4＝b＝4，解得a＝0或a＝4，a＝0满足a≤1，此时b﹣a＝4﹣0＝4，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查利用函数图象解决不等式的取值范围及最值问题，考查了学生对于不等式的基本理解，属于中档题．
